Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

19. Броуновское движение

Рассмотрим одномерное движение классической броуновской частицы. Наиболее удобный подход к описанию такого движения

опирается на уравнение Ланжевена

Здесь — скорость частицы, у — коэффициент трения, — масса частицы, представляет собой случайную силу, создаваемую хаотическими ударами молекул о частицу.

Пусть при скорость частицы равна нулю. Тогда согласно (79) имеем

Если среднее значение силы то и среднее значение скорости равно нулю. Однако среднеквадратичное значение отлично от нуля и равно

Так как удары молекул совершаются очень часто, то сила имеет очень малый масштаб временной корреляции, так что приближенно можно считать Здесь — характерный масштаб квадрата силы, характерное время корреляции. После этого выражение (81) принимает вид

Как мы видим, при малых среднеквадратичное значение возрастает со временем как а при оно стремится к постоянному значению Но при тепловом равновесии это предельное значение должно равняться так что получаем

Здесь мы ввели обозначение для коэффициента диффузии по скорости. Согласно (82) при малых значениях величина Введем еще в рассмотрение функцию распределения по скоростям Если бы случайная функция отсутствовала, то все значения скорости убывали бы как В этом случае функция распределения изменялась бы по закону где — распределение по скоростям при

Легко видеть, что при этом

С другой стороны, если у обратилась бы в нуль, а случайная сила присутствовала, то возникла бы диффузия по скоростям. В самом деле, при этом

где можно найти по формуле (80). Усредняя, получим Соответственно, разлагая левую часть по и устремляя к нулю, получим уравнение диффузии. Вместе с членом с у оно имеет вид

Это уравнение называется уравнением Фоккера-Планка. При больших временах достигается стационарное распределение, которое в силу соотношения (83) принимает вид распределения Максвелла

Время установления максвелловского распределения обычно бывает очень мало.

Если условиться рассматривать промежутки времени значительно большие то движение частицы по координате х можно рассматривать как диффузию. В самом деле, найдем величину

Поскольку выражается с помощью формулы (80) через интеграл от случайной силы, а силу мы считаем -коррелированной, то

и выражение (86) приводит к соотношению где коэффициент диффузии равен . Соответственно, по аналогии с

выкладками, приведшими к уравнению (84), нетрудно получить уравнение для вероятности распределения частицы по координате

Итак, описание эволюции частицы по скорости приводит к уравнению Фоккера-Планка, а диффузия частицы с установившимся по скорости распределением при описывается уравнением (87).

Если вначале частица локализована по скорости и по координате и ее энтропия очень мала, то со временем энтропия будет монотонно возрастать. В распределении по скорости это происходит за счет приближения к максвелловскому распределению, а конфигурационная составляющая энтропии увеличивается благодаря тому, что частица диффузионно занимает все больший и больший интервал по х.

Перейдем теперь к обсуждению броуновского движения квантовой частицы. Здесь нам хочется подчеркнуть качественную сторону вопроса, и поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь крайне упрощенного варианта движения. А именно, рассмотрим уже обсуждавшийся качественно в разделе 13 пример частицы в ограниченном одномерном сосуде со стенками, находящимися при разных температурах. Тем самым мы сразу учтем возможность протекания неравновесного процесса.

Итак, пусть частица с массой находится внутри сосуда длиной которого один торец находится при температуре а второй при температуре Температуру холодильника мы будем всегда считать ниже температуры нагревателя Рассматриваем только одномерное движение.

Пусть в начальный момент частица была локализована в интервале Если величина b не очень мала, то в течение некоторого времени, пока волновой пакет не расплылся, можно использовать классическое рассмотрение. Пусть — скорость частицы. При столкновении со стенками эта скорость будет случайно изменяться, так что в течение некоторого времени для изменения скорости можно использовать уравнение Ланжевена. Что касается геометрического перемещения частицы по координате х, то оно нас мало интересует: ведь это просто свободный пролет от одной стенки к другой и обратно. Время пролета от одной стенки к другой составляет величину так что частота столкновений с каждой из стенок равна

Допустим, что при каждом столкновении со стенкой частица может терять часть импульса, так что ее скорость уменьшается на величину

где а коэффициент а есть просто число, меньшее единицы. Тогда потерю импульса при столкновении с одной из стенок можно описать как равномерное торможение с темпом

Если приближенно считать, что потери импульса на горячей и холодной стенках не сильно отличаются от этого значения, то для потерь на обеих стенках величина Существует хорошо известная флуктуационно-диссипационная теорема, согласно которой тот же самый механизм, который отвечает за диссипацию, порождает и сами флуктуации. В нашем случае — это нагрев частицы за счет диффузии. Учитывая соотношение (83), мы можем записать уравнение Фоккера - Планка в прежнем виде (84), но при мы имеем разные коэффициенты диффузии на левой и правой стенках, так что

Нетрудно видеть, что распределение частицы по скоростям приближается к максвелловскому со средней температурой

Обсудим теперь вопрос, как долго нам позволительно пользоваться классическим подходом. Для этого нужно понять, как быстро волновой пакет будет расплываться со временем. Сначала посмотрим, что происходит с температурой частицы, если она еще не достигла равновесного значения. Умножим уравнение (84) на и проинтегрируем его по скоростям. Предполагая, что распределение по скоростям близко к максвелловскому, получим

Мы воспользовались здесь соотношением (88) для величины

Согласно (89) частица стремится к равновесию с каждым из торцов с темпом . В равновесии, т.е. при частица получает тепло от горячей стенки с темпом и точно с таким же темпом передает это тепло холодной стенке. Другими словами, — это величина теплового потока, переносимого частицей. В результате теплопереноса в холодную стенку поступает поток энтропии, равный

Но за счет этого потока энтропии в стенке могут происходить необратимые процессы типа запоминания информации о факте удара частицы о стенку. Можно сказать, что этот рост энтропии свидетельствует о своего рода "измерении", проведенным над частицей. Его можно представить себе как некоторый процесс разрушения взаимно когерентных частей волнового пакета. Грубо говоря, если величина то волновой пакет может расщепиться на две взаимно некогерентные половины. При этом осуществляется коллапс волновой функции: одна из ее половин уничтожается, и тем самым увеличивается запас информации, т.е. "знания" у холодной стенки в отношении пакета, но это знание "покупается" ценой увеличения энтропии стенки Если такой процесс повторяется многократно, то волновой пакет частицы будет в среднем удерживаться в локализованном состоянии. Ширину локализации пакета можно оценить с помощью соотношения (61), которое описывает расширение пакета со временем, если его начальная локализация была равна Если пакет "поджимается" при последовательных столкновениях с холодной стенкой, то ширина расползания должна быть масштаба начальной ширины пакета. Другими словами, при имеем Отсюда находим ширину локализации:

Согласно соотношению (90) при температуре заметно большей величина имеет порядок величины где а — численный множитель, который можно считать порядка единицы. Таким образом, согласно (91) получаем оценку где введенная нами раньше величина представляет собой характерную ширину локализации матрицы плотности. Даже для электрона при см и эВ оценка для b дает сравнительно малую величину: см. Другими словами, неравновесность приводит к сильной локализации частицы с появлением у нее тех свойств, которые мы обычно и связываем с микрочастицей.

Если то поведение такой частицы можно описывать классической механикой. Каждый из возможных волновых пакетов будет иметь ширину "по скорости" масштаба Следовательно, распределение частицы по скоростям можно считать непрерывным с некоторой функцией распределения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление