Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

21. Поведение микрочастицы

Любой предмет или живое существо при взаимодействии с окружающим миром проявляют только малую часть своих свойств или структурных возможностей. Обычный атомарный подход предполагает, что все эти внутренние свойства можно шаг за шагом исчерпать, т.е. полностью их объяснить, если узнать все свойства малых составных элементов объекта в их взаимодействии между собой. Идя по этому пути, мы естественно приходим к простейшему объекту, а именно, к малой частице, проявляющей только свою динамику, т.е. механические свойства.

В классической механике такой объект называется материальной точкой, т.е. телом очень малого размера, не имеющим никакой внутренней структуры. Все, чем обладает такая точка, — это ее масса, положение в пространстве и отклик на внешние силы в соответствии со вторым законом Ньютона. В одномерном случае — это

Здесь — координата точки, — ее масса, — импульс, — скорость, — ускорение, — сила, действующая на точку. В случае потенциального поля сил где — потенциальная энергия. Такой подход к малой частице кажется абсолютно безупречным и самым точным. Однако он не всегда адекватно описывает взаимодействие такой частицы с внешним миром. Действительно, если эта частица помещена в термостат и с ней производятся очень медленные действия, типа изменения занимаемого ею объема или ее средней кинетической энергии, то более правильным становится ее термодинамическое описание в терминах термодинамических величин — температуры, объема, энтропии, внутренней и свободной энергий и т.д. Описание объекта должно точно соответствовать взаимодействию этого объекта с внешним окружением.

При термодинамическом описании нет нужды интересоваться мгновенным положением частицы в пространстве, а достаточно лишь знать ее усредненные характеристики. Естественно, что в этом случае описание проводится с неполной информацией о частице. Более общий подход к неполному описанию частицы основан на введении функции распределения для вероятности нахождения координаты

и скорости частицы соответственно вблизи так что величина соответствует вероятности попадания координаты в интервал а скорости — в интервал Эволюция функции определяется кинетическим уравнением

Для малой частицы описание (94) кажется наиболее адекватным. Оно, естественно, охватывает оба предельных случая: в одном случае, когда распределение по скоростям и по координате успевает восстанавливаться к распределению Максвелла-Больцмана, получается термодинамический предел, а при

мы имеем дело с материальной точкой с координатами . В соотношении (95) формально стоят -функции, равные всюду нулю, кроме точек, где их аргумент обращается в нуль. Для физических рассуждений удобно считать, что х и являются не непрерывными величинами, а дискретными, так что пространство разбито на очень малые ячейки размером Тогда функция (95) должна равняться величине только в одной ячейке, а во всех остальных ячейках она обращается в нуль.

Если подставить функцию (95) в уравнение (94) и проинтегрировать его с весом х, а затем с весом то получится уравнение (93). Таким образом, описание движения частицы в терминах динамических переменных отвечает максимальной локализации (95). Будем считать, что координата х изменяется только в пределах ограниченного отрезка длиной а скорость ограничена сверху некоторым пределом с. Тогда полное число ячеек фазового пространства будет равно Соответственно, функция (95) отвечает состоянию только с одной занятой ячейкой, т.е. с максимальной информацией и нулевой энтропией. Если выбирать более гладкие распределения, то соответствующие им значения энтропии будут тем больше, чем больше число занятых ячеек . Соответственно, информация будет уменьшаться: . В пределе, когда частица заполнит равномерно весь интервал а распределение по скоростям станет максвелловским, энтропия достигнет своего максимального значения при заданной средней энергии. Соответственно, информацию такого состояния следует считать равной нулю, так что предельное значение скорости при заданной температуре Травно просто

Итак, описание с помощью функции распределения легко справляется с задачей перехода к термодинамическому пределу. Однако и у такого описания есть свой собственный, пока еще не очень заметный дефект, — оно относится только к малой частице макромира. Такая частица, по сути дела, находится в постоянном информационном "общении" с внешним миром, причем соответствующее информационное взаимодействие является настолько слабым, что оно никак не сказывается на ее динамике.

В самом деле, кинетическое описание допускает решение вида (95). С помощью кинетического уравнения (94) легко устанавливается, что удовлетворяют уравнению (93). Соответственно, это означает, что если координата х равнялась величине в момент времени и величине в момент времени ее скорость определяется как Другими словами, для измерения скорости требуется дважды измерить координату: в момент времени и в момент времени Только будучи уверенным, что повторное измерение не нарушает состояния частицы при первом измерении, можно говорить о существовании скорости и, соответственно, об импульсе который входит в уравнение динамики (93). Разумеется, измерение и взаимодействие частицы с прибором — это объективно протекающие процессы. Поэтому более правильным является утверждение, что уравнения динамики базируются на предположениях о том, что частица находится в постоянной информационной связи с внешним миром, и эта связь не нарушает динамических свойств частицы. Именно эти характеристики уместно связать с объектами макромира. Однако для частиц микромира, как показало открытие квантовой механики, исходные положения об одновременном существовании координаты и импульса частицы оказываются неверными.

В основе квантовой механики лежит совершенно новый подход к процессу измерения, точнее сказать, к информационному взаимодействию микрочастицы с предметами макромира. А именно, основной принцип квантовой теории состоит в том, что сам процесс измерения, который, казалось бы, может допускать предельно малый обмен энергией между частицей и прибором, тем не менее оказывает существенное влияние на динамику микрочастицы. Каждое измерение существенно меняет состояние микрочастицы, поэтому повторное измерение может относиться только к новому состоянию, а прежнее оказывается нарушенным самим измерением. Как же в этом случае описывать микрочастицу?

Первый вывод напрашивается сам собой. Если каждое измерение что-то разрушает, то закономерность можно уловить, только проводя много аналогичных экспериментов. Это значит, что каждое отдельное

измерение может давать несколько отличные от других результаты: события будут случайными, и только усредненные статистические результаты смогут выявлять закономерность. Но ведь то же самое имеет место и при описании с помощью функции распределения . В чем разница? Разница заключается в том, что макроскопическое описание допускает решение (95) с минимальной энтропией, которое основано на возможности повторных измерений без нарушения состояния частицы, а в микромире нарушение состояния происходит при любом измерении.

Условимся называть решение (95) с минимальной энтропией чистым классическим ансамблем: многократные измерения, проводимые над таким состоянием будут давать всегда один и тот же результат. Именно этот факт и соответствует утверждению Но кроме чистого состояния (95) существуют состояния с Мы их будем называть смешанными. Заметим, что любое смешанное состояние можно рассматривать как композицию чистых:

где — функция переменных совпадающая по виду с

Но и квантовая частица может находиться в смешанном состоянии: это просто случайно выбранный представитель из статистического ансамбля с некоторым распределением вероятностей по отдельным состояниям, которые можно назвать чистыми. Частица в смешанном состоянии взаимодействует с внешним миром так, как будто не весь ее информационный потенциал принимает участие в таком взаимодействии. В пределе максимума энтропии и минимума информации для квантовой частицы также применимо термодинамическое описание в терминах температуры и энтропии.

Утверждение квантовой механики состоит в том, что даже в чистом квантовом состоянии частица при взаимодействии с макроприбором проявляет себя как случайный объект, требующий статистического описания. Постараемся понять, почему логика квантовой механики естественно приводит к волновому уравнению. Допустим, что у нас имеется прибор, который может измерять координату частицы. После каждого измерения состояние частицы разрушается, т.е. превращается в нечто такое, что либо не может быть чистым состоянием, либо переводится в другое чистое состояние, но явно отличающееся от исходного. Повторное измерение координаты чистого состояния не сможет дать результат, который имел бы прямое соответствие с первым измерением координаты. Поэтому самое естественное допущение

состоит в том, что измерения координаты будут давать некоторую статистическую закономерность. Пусть есть плотность вероятности для получения результата измерения координаты частицы в интервале

Кроме координаты у частицы есть вторая динамическая характеристика — импульс . Импульс нельзя измерить прибором, измеряющим координату: если запрещены повторные измерения, не разрушающие состояния, то скорость частицы найти по результатам измерения ее координат нельзя. Следовательно, импульс нужно измерять другим прибором, например, по импульсу отдачи при отражении от зеркальной перегородки прибора, который может затем замерить импульс этой перегородки. Пусть есть вероятность обнаружения импульса частицы в интервале

Итак, можно производить два несовместимых вида измерений: измерять либо координату частицы, либо ее импульс. Эти измерения могут производиться над одним и тем же состоянием частицы, но совершенно разными приборами. В каждом случае говорят о полном наборе измеряемых величин и, соответственно, о полном измерении.

Пусть состояние частицы эволюционирует во времени. Тогда получаемые приборами вероятности будут функциями времени: Постараемся понять, что можно сказать об этих вероятностях с помощью логических и наглядных физических соображений. Чтобы не усложнять рассуждений, мы допустим, что частица движется свободно, т.е. В этом случае энергия поэтому измерение функции распределения по импульсам автоматически дает функцию распределения по энергии.

Допустим, что мы создаем состояние с точно заданным импульсом и точно заданной энергией . Такое состояние с точки зрения механики абсолютно стационарно во времени, и поэтому вероятность никак не должна зависеть от времени. Но это означает автоматически, что не должна зависеть от х, поскольку при равномерном смещении по х мы снова должны получить стационарное состояние.

Итак, стационарное состояние отвечает вероятностям: . Рассмотрим теперь слабонестационарное состояние, когда является медленно меняющейся функцией координаты х и времени а является узколокализованной функцией вблизи значения

Если ширина локализации частицы по х очень велика, то и прибору, измеряющему положение частицы, нет необходимости стремиться к очень точной локализации частицы: для обнаружения

медленного изменения вдоль х масштаб для измерения частицы может быть большим. Но тогда мы приходим к почти классической частице и естественно считать, что будет переноситься со скоростью частицы, которая близка к Таким образом, мы получаем аналог соотношения (95) с той лишь разницей, что масштаб локализации по х достаточно велик и вероятности относятся к показаниям разных приборов, так что их нельзя объединить в одно произведение (95).

По аналогии с выражением (95) допустим, что существует такая функция ), которая при интегрировании по или х дает, соответственно, выражения

Функция называется функцией Вигнера. В классическом случае должна совпадать с функцией распределения по х и , но в квантовом случае это не так, поскольку измерения значений производятся разными приборами. Соответственно, не обязательно должна быть знакоположительной и даже действительной функцией. Кроме того, функция Вигнера может не распадаться на произведение функции только от х и функции только от . И, наконец, для случая плавного распределения по х функцию можно считать близкой к с зависимостью от второго аргумента, сильно локализованной вблизи Пока все это не противоречит классическому распределению вероятностей. Для того чтобы произошел переход к квантовому описанию, должна появиться величина с размерностью длины, которая указывала бы, на каких масштабах длины появляется новая физика. Но оказалось, что такой универсальной величины с размерностью длины нет. Зато была найдена универсальная величина — константа Планка с размерностью действия.

С помощью Лир можно попытаться искать минимальную длину. Например, мы могли бы связать такую длину с величиной и, соответственно, импульс с обратной длиной. Математически более естественно считать, что импульс пропорционален производной Однако среднее значение производной при любом распределении обращается в нуль. Поэтому эта производная должна действовать не на вероятность, а на что-то другое, например, на какую-то новую величину типа фазы волны в волновом пакете. По аналогии с классическими волновыми полями приходится вводить волновую функцию Более точно, если то

определяется как

Таким образом, для плоской волны импульс где к — волновое число, а постоянная Планка указывает на то, что у одной единственной частицы импульс при заданном значении волнового числа к не может быть сколь угодно мал, а ограничен снизу квантом действия.

Функция должна быть каким-то образом связана с вероятностями Допустим, что зависит также от времени, скажем, по закону

Частота скорее всего должна зависеть от волнового числа, т.е. сок к (к). Если это так, то путем суперпозиции функций можно строить волновые пакеты, распространяющиеся с групповой скоростью. Именно такие пакеты с набором волновых чисел вблизи определенного значения и соответствуют вероятности для очень широкого распределения плотности вероятности по оси х. Зная, что у волнового пакета и учитывая, что мы сразу находим закон дисперсии: сок Вспоминая, как устроены классические волновые пакеты, мы, естественно, приходим к соотношению

Далее, можно замкнуть соотношения (97), считая, что функция Вигнера равна

Другими словами, соответствует фурье-преобразованию матрицы плотности по одной из координат, а вероятность равна модулю квадрата амплитуды в фурье-разложении по гармоникам вида где

Итак, логика информационного взаимодействия микрочастицы с макроприбором в предположении разрушения состояния при измерении и существования кванта действия неумолимо приводит к волновой механике, затем к уравнению Шрёдингера и вероятностному истолкованию

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление