Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

23. Флуктуации и необратимость

Термодинамические соотношения, которыми мы пользовались в разделах 2-5, относятся только к усредненным величинам. Это усреднение в реальных физических условиях может происходить как бы само собой, за счет медленности протекающих процессов. Соответственно, и усреднение формально должно производиться только по времени. В статистической физике показывается, что в случае большого числа частиц соответствующее усреднение может производиться не только по времени, но и по фазовому пространству, что в конце концов приводит к каноническому распределению. Однако дискретность, т.е. атомарная структура вещества, полностью не исчезает и проявляется во флуктуациях — малых отклонениях от статистического равновесия. В данном разделе мы познакомимся с простейшими примерами флуктуаций и обсудим их связь с необратимостью.

Рассмотрим опять идеальный газ. Пусть N невзаимодействующих классических частиц находятся в объеме V. Тогда средняя плотность частиц определяется соотношением Тепловое движение частиц приведет к тому, что число частиц в некотором заданном

малом объеме Ко не будет точно равно а будет флуктуировать около этого значения. Соответствующие флуктуации находятся очень просто. Пусть сумма по всем частицам вида

представляет собой реальную микроскопическую плотность частиц в точке Здесь -функция вида локализована в точке нахождения частицы номера Теперь мы можем положить где — это средняя плотность, а величина

Функция представляет собой набор "пичков" на фоне отрицательного однородного значения Среднее значение Чтобы найти величину флуктуаций, вводят обычно корреляционную функцию . С помощью (101) формально находим

Здесь в первом слагаемом мы оставили только члены с одинаковыми индексами и положили а во втором слагаемом мы сохранили лишь члены с Легко видеть, что полученное соотношение может быть представлено в виде

С помощью этого соотношения легко найти флуктуацию числа частиц в малом объеме Для этого его нужно проинтегрировать дважды по в объеме . В результате получаем для отклонения от среднего значения

При отсюда следует хорошо известное соотношение а при получаем естественный результат, что полное число частиц во всем объеме К не флуктуирует. Относительные

флуктуации плотности становятся особенно большими, когда в объеме К находится лишь одна частица:

Легко проверить, что соотношение (104) сохраняет свой вид и для одной частицы, так что для флуктуации "числа частиц" в объеме получаем соотношение

Это соотношение абсолютно симметрично по отношению к внутреннему, , и внешнему, , объемам. При Ко и флуктуации исчезают. А при малом значении по сравнению с К имеем . Это соотношение имеет очевидный физический смысл: это просто та доля времени, когда внутри объема находится точно одна частица, так что равняется единице, умноженной на вероятность попадания частицы в объем Ко. Мы видим, что для одной частицы квадрат флуктуации числа частиц равен среднему числу частиц в объеме Другими словами, флуктуации очень велики, и поэтому они могут существенно повлиять на логику некоторых наших предыдущих рассуждений.

Вернемся опять к рассмотренному в разделе 3 процессу получения работы за счет тепловой энергии одной единственной частицы с использованием демона Максвелла, т.е. измерения положения или скорости частицы. Для простоты опять начнем с одномерного случая, считая, что частица находится в термостате с двумя торцами, расположенными на расстоянии друг от друга по оси х. Сталкиваясь с торцами, частица в среднем поддерживает максвелловское распределение по скоростям с температурой Т. Если эффективная масса М звуковой волны, создаваемой ударом частицы в торце, значительно превышает массу рассматриваемой частицы, то при каждом столкновении с торцом абсолютная скорость частицы изменяется только на малую долю своей величины. Малость величины достигается за счет того, что фононы в веществе из тяжелых атомов также являются "тяжелыми" и медленными. При атому придется испытать много столкновений, чтобы восстановить любое нарушение максвелловского распределения. Процесс релаксации в этом случае сходен со случайными блужданиями, описываемыми уравнением Ланжевена. За много столкновений максвелловское распределение обязательно будет восстановлено, и этот процесс нетрудно описать в терминах броуновского движения по импульсам.

Для нас удобен более простой случай, когда При этом приближенно можно считать, что одного лишь удара достаточно для достижения максвелловского распределения в отлетающих от стенки

частицах, независимо от того, с какой скоростью частицы подлетели к стенке. Итак, допустим, что одна частица с максвелловским распределением по скоростям заполняет весь термостат длиной Начнем теперь наш мысленный эксперимент по совершению работы. Пусть некоторый детектор зафиксировал факт удара частиц о торец и вслед за этим за время, меньшее на расстоянии b от торца вставляется перегородка, запирающая частицу в малом отсеке. Медленно сдвигая перегородку в направлении второго торца, можно совершать над ней отрицательную работу за счет тепловой энергии частицы, равной в случае теплового равновесия.

Кажется, что в этой схеме эксперимента возникает угроза для второго закона термодинамики. В самом деле, фиксируя удар частицы о стенку, мы получаем только один бит информации, поскольку на фоне многих промежутков времени, когда не было ударов и не было поступления новой информации, вдруг лишь один промежуток оказался с сигналом "удар". А это ровно один бит информации. Соответственно, на "усвоение" этой информации с последующим приведением в действие перегородки приходится увеличить внешнюю энтропию на величину . А вот выигрыш в работе, кажется, может быть гораздо больше: ведь начальный объем b можно расширить до величины которая может быть гораздо больше Соответственно, и энтропия возрастет на величину Однако не будем спешить с выводами. Оказывается, что для правильности рассуждений нужно учесть наличие флуктуаций.

Начнем с некоторого общего замечания. В статистической физике доказана знаменитая флуктуационно-диссипационная теорема, смысл которой заключается в следующем: механизм любой диссипации является одновременно и механизмом рождения флуктуаций. Именно за счет этого баланса флуктуации никогда не вымирают, а поддерживаются на том уровне, который диктуется дискретностью, т.е. атомарной природой вещества.

В нашем случае диссипация, т.е. максвеллизация вероятности распределения частицы по скоростям, создается при столкновениях с теплыми торцами. Вместе с тем именно столкновения с торцами и служат источником поддержания флуктуаций. Рассмотрим этот процесс несколько подробнее.

Допустим сначала, что у нас имеется облако из многих, скажем, частиц. Пусть — функция распределения этих частиц по координате х и скорости и. Если это облако налетает на зеркальную стенку, то оно отражается без искажения, и, соответственно, никаких необратимых процессов не происходит. Но если эта стенка является "теплой", то отражение каждого атома является неупругим, и после

многих повторных отражений функция распределения будет приближаться к максвелловской функции. Диссипация, казалось бы, будет "рассасывать" и размывать все малые возмущения, в том числе и те, которые были связаны с атомарным строением облака. Но это, разумеется, не так: микроскопическая функция распределения будет всегда иметь вид

где координаты частиц подчиняются микроскопическим уравнениям динамики и тем самым отвечают наиболее полному описанию движения частиц. Соответственно, и флуктуации типа (102) должны сохраняться. Возрождение флуктуаций можно описать как случайный процесс, при котором из падающего потока с гладкой функцией распределения как бы изымается одна частица, а в обращенном потоке появляется частица с некоторыми определенными значениями X, подчиняющимися в среднем статистике неупругого отражения. Таким образом, неупруго отражающая стенка осуществляет одновременно механизмы рассасывания флуктуаций и рождения новых флуктуаций случайной "инжекцией" частиц с одновременным изъятием их из усредненной функции распределения.

Если частиц много, то и сами флуктуации малы, а механизм их возрождения является слабо возмущающим воздействием на усредненное распределение.

Рассмотрим теперь, что происходит при Пусть по направлению к стенке летит "облако" плотности вероятности . Где-то внутри него "спрятана" одна единственная частица. За время на поверхность стенки налетает слой этого облака. Толщина этого слоя пропорциональна текущей скорости Если мы интересуемся только вероятностью то в нашей модели мы должны взять "долю" относящуюся к вероятности нахождения частицы в данном слое, и превратить ее в максвелловское распределение с "отражением" от стенки. Если на стенку налетало максвелловское распределение, то и от стенки отлетит то же самое максвелловское распределение.

Совсем другой язык описания следует использовать, если мы хотим подробно проследить за флуктуациями. Во всем "облаке" находится только одна частица, хотя и не известно, где она расположена. Нетрудно видеть, что неупругое соударение частицы со стенкой можно рассматривать как случайное событие, которое мгновенно уничтожает априорную вероятность превращая ее в -функцию типа где — скорость после соударения

в момент времени в точке Происходит коллапс, т.е. схлопывание протяженного облака вероятностей в узко локализованную -функцию. Повторные столкновения частицы с торцом осуществляют тот же самый процесс: налетающая априорная вероятность в какой-то момент времени исчезает, а частица с приписанной к ней (-функционной плотностью вероятностей отлетает от стенки.

Если в облаке имеется много, скажем, N частиц с одним и тем же распределением то и каждое столкновение "выхватывает" только одну частицу, так что функция распределения "мгновенно" трансформируется из При случайный процесс создания флуктуаций не очень сильно нарушает исходное максвелловское распределение. Флуктуации в этом случае происходят по закону и при больших Остановятся относительно малыми.

А для одиночной частицы флуктуации очень велики: они превращают движение частицы в классическое перелетание от одного торца к другому со случайным изменением скорости после каждого удара. Тем не менее кажется очевидным, что при очень медленном перемещении заслонки-поршня, когда столкновения можно считать очень частыми, усредненное по времени распределение частиц по скоростям можно считать максвелловским. Оказывается, однако, что и это совсем не так, поскольку существуют флуктуации.

Пусть перегородка, расположенная в начальный момент на расстоянии от левого торца и отгородившая частицу от остального объема размером начинает медленно двигаться с постоянной скоростью где -очень малое число, — средняя тепловая скорость. Частица в малом отсеке будет, в основном, максвеллизована, так что над перегородкой будет совершаться работа с мощностью

поскольку среднее давление частицы на стенку равно Однако существует малая вероятность того, что после отскока от теплой стенки ее скорость будет меньше Такая частица никогда не догонит движущуюся перегородку, и, стало быть, с вероятностью масштаба давление на перегородке может неожиданно упасть до нуля и никогда больше не восстановиться. В среднем это происходит за ударов о стенку, и так как среднее время между соударениями имеет порядок величины то до исчезновения давления перегородка успевает сместиться на расстояние

Другими словами, при совершении работы мы можем только удвоить длину отсека с частицей, а затем давление на поршень неожиданно исчезает и дополнительную работу совершить уже нельзя. Энтропию частицы при этом удается увеличить только на один бит, т. е. ровно настолько, насколько увеличилась энтропия окружения при первоначальном измерении удара частицы о стенку. Чтобы совершить дальнейшую работу, можно остановить перегородку и подождать, пока частица догонит перегородку, а затем восстановит свое максвелловское распределение. Измерив факт хотя бы одного "полновесного" столкновения с перегородкой, можно снова расширять объем с частицей. Но на это измерение следует затратить информацию, т.е. увеличить энтропию окружения на один бит. За счет последующего расширения объема опять удастся увеличить энтропию частицы только на один бит, расширяя объем вдвое до следующего исчезновения давления на поршне. Итак, демону Максвелла снова приходится считаться со вторым началом термодинамики.

Заметим, что если вместо одной частицы мы имеем N частиц и эти частицы не взаимодействуют между собой, то эффект исчезновения давления при перемещении перегородки будет приложим к каждой частице в отдельности, так что в среднем давление исчезнет при удвоении объема даже при

На первый взгляд кажется, что наш пример слишком искусственен и что можно найти условия, при которых одним измерением удара о торец можно отгородить частицу на расстоянии от торца, а затем, расширяя объем до полной длины увеличить энтропию частицы на величину и совершить соответствующую работу за счет тепловой энергии. Однако это не так. Рассмотрим, например, более реалистичный случай, когда частица находится в цилиндрическом термостате радиуса а. Тогда максвелловское распределение может устанавливаться за счет столкновений с боковыми стенками, так что появление медленного продольного движения частицы со скоростью, меньшей скорости поршня, большой роли не играет: частица сможет быстро восстановить продольную скорость за счет максвеллизации распределения боковыми стенками.

Пусть есть средняя частота столкновений частицы с боковыми стенками. Удобно рассмотреть предельный случай ; тогда именно будет определять темп восстановления максвелловского распределения. Казалось бы, при малой скорости расширения , проблемы восстановления максвелловского распределения не возникнет и давление на поршне будет в среднем все время равно Но это не так: в игру вступают эффекты диффузии. Дело в том, что при каждом столкновении с боковой стенкой происходит

случайное изменение как поперечной, так и продольной компонент скорости. Поэтому перемещение частицы в продольном направлении принимает характер случайных блужданий с коэффициентом диффузии Участок сосуда длиной такая частица заполняет за время так что скорость перемещения перегородки не должна превышать величины чтобы распределение вероятности по отрывалось" от движущейся перегородки. Но и этого еще мало. При каждом ударе о боковую стенку происходит локализация функции распределения частицы вблизи точки удара, а затем это локализованное облако долго блуждает вдоль оси х. Время это время блуждания внутри отсека шириной b от одного торца до другого, так что средняя частота столкновений с перегородкой будет порядка

Эта величина при гораздо меньше средней частоты столкновений для свободно движущейся частицы. Таким образом, в узкой трубке работа, совершаемая частицей над поршнем, оказывается существенно меньше, и большая скорость максвеллизации ничуть не помогает, но даже мешает совершению работы.

Итак, флуктуации играют большую роль, в особенности, если речь идет об одной частице. Подчеркнем, что флуктуации можно рассматривать как составную часть необратимого процесса: диссипация рассасывает последствия флуктуативного поведения, но вместе с тем рождает новые флуктуации. В частности, процесс максвеллизации частицы на теплой стенке можно рассматривать как случайно повторяющийся процесс уничтожения плотности вероятности, текущей к стенке, и рождения узко локализованного по состояния: это типичный коллапс распределения вероятностей для классической частицы.

Рассмотрим теперь квантовую частицу, у которой имеется ограничение для неопределенностей по координате и импульсу Пусть эта частица находится в смешанном состоянии, например представляет собой набор волновых пакетов с вероятностью нахождения в пакете. Такая частица мало отличается от классической, если каждый из волновых пакетов не успевает расплываться за время наблюдения. Столкновение частицы с теплой стенкой приводит к тому, что только один из волновых пакетов остается реально существующим после неупругого отражения: в остальных пакетах частицы нет, и они автоматически уничтожаются. И если в данном

процессе для внешнего окружения действительно важно, в каком состоянии отлетает частица, то можно сказать, что происходит коллапс смешанного состояния.

Несколько сложнее выглядит картина при коллапсе чистого состояния. Допустим, что на стенку падает очень широкий почти монохроматический пакет с . Величина в таком пакете играет роль распределения вероятностей и поэтому она, в принципе, может коллапсировать точно так же, как плотность распределения вероятностей классической частицы. Если бы было классическим распределением вероятностей, то неупругое отражение, сопровождаемое "записью" информации об ударе в самом теле, просто случайно "выхватывало" бы частицу из облака уничтожив полностью падающую часть и испустив сильно локализованную отраженную часть плотности вероятности. Что-то похожее происходит и с квантовой частицей. Если разрезать падающий волновой пакет на широкие доли толщиной то при достаточно большой величине коллапс произойдет только в один из слоев. Сам факт локализации по х автоматически уширяет распределение по импульсам на величину Это уширение не может быть больше меры неупругости столкновения. Если, например, при столкновении скорость частицы меняется на величину масштаба то минимальный размер неупругого отраженного пакета может составлять величину Ьо-Поскольку неупругое отражение частицы происходит от многих атомов стенки, то при величина соответствует длине когерентности пакета. Естественно допустить, что частица попадает только в один из когерентных пакетов. Если по каким-либо обстоятельствам вероятностная локализация частицы окажется существенно больше ширины когерентности, то это означает, что мы опять получаем смешанное состояние с некоторым распределением вероятностей нахождения частицы в чистом состоянии.

Мы неоднократно будем возвращаться к феномену коллапса волновой функции. А теперь еще раз подчеркнем необратимый характер флуктуационных эффектов. Рассмотрим опять одну-единственную частицу в длинной трубке — термостате длиной Если мы локализуем частицу в какой-то точке, находящейся в средней части трубки, то она начнет диффундировать вдоль х с коэффициентом диффузии Это типично необратимый процесс, сопровождаемый ростом энтропии по закону . С другой стороны, каждый удар о боковую стенку можно рассматривать как случайное событие, которое локализует частицу на длине масштаба а. Каждый такой удар — это тоже необратимый процесс, но не с возрастанием энтропии, а с ее убыванием. В чем тут дело?

Этот весьма принципиальный вопрос следует рассмотреть подробнее.

Пусть частица находится в трубке длиной разделенной на одинаковых ячеек, длиной каждая (рис. За). В начальном состоянии положение частицы не известно, а ее энтропия равна Пусть теперь частица оказалась в заштрихованной ячейке на рис. 36. Процесс появления частицы можно описать, например, как чисто флуктуационный коллапс: одним ударом о боковую стенку частица "заявляет" о своем положении, а все остальные вероятности обращаются в нуль. Происходит случайное событие со сбросом энтропии частицы до нуля, но при этом обязательно появление одного бита информации в стенке заштрихованной ячейки на рис. 36. Эта информация могла бы подвергнуться последующей переработке: воспринимающая система могла бы "записать" эту информацию, как одну из возможностей, так что соответствующая величина равнялась бы При этом относилась бы к информации внешней системы наблюдения относительно положения частицы, и мы имели бы

Рис. 3. В результате флуктуаций частица из первоначально однородного состояния (а) локализуется в одну единственную ячейку

Если удар частицы о стенку запускает в действие внешнюю информационную систему, то с помощью полученной информации можно получать работу за счет теплового движения. А если этого не делать, то воспринятая информация просто "забывается" в необратимом процессе возрастания энтропии. Чтобы получить максимум работы, нужно использовать максимальные возможности для восприятия информации и последующего возрастания энтропии частицы в процессе расширения свободного объема.

В другом крайнем случае можно не предпринимать никаких действий с полученной информацией и даже не "воспринимать" ее, оставаясь в незнании, где именно находится частица. Тогда равновесное "путешествие" частицы по трубке на рис. За будет простым тепловым блужданием с постоянной (в среднем) энтропией

Таким образом, с информацией о частице можно поступать самыми различными способами. Пусть, например, в стенке каждой

ячейки на рис. За имеется датчик, который регистрирует удар частицы о стенку. Если поперечный размер трубки больше длины ячейки то повторные удары в одной ячейке будут редки, так что частица между ударами будет успевать "перепрыгивать" из одной ячейки в другую. Проводя много измерений, можно измерить среднюю частоту столкновений со стенками и средний квадрат смещения между столкновениями. По этим величинам можно вычислить коэффициент диффузии и затем можно использовать статистическое описание для броуновского движения частицы. Фактически вместо описания индивидуальной частицы мы вводим ансамбль одинаковых систем, и тогда средняя эволюция этого ансамбля соответствует вероятностному, т. е. неполному, описанию динамики частицы.

Соответствующий диффузионный процесс является необратимым с монотонным возрастанием энтропии, если в начальном состоянии она была не максимальна. Например, если вначале ансамбль одинаковых систем соответствовал положению частицы в заштрихованной ячейке с нулевой энтропией, то в последующие промежутки времени "облако" вероятностей будет расширяться по закону а энтропия будет возрастать со временем по логарифмическому закону. Но если из этого ансамбля выделить одну единственную индивидуальную частицу, то первый же удар о стенку, зарегистрированной некоторой ячейкой, приведет к коллапсу априорной вероятности в одну ячейку с резким сбросом энтропии частицы до нуля.

Кажется, что этот коллапс происходит независимо от наличия или отсутствия датчиков на стенках. На самом деле это не так: процесс коллапса жестко связан с системой измерения. Например, все электрические сигналы от датчиков можно свести на один вход, и тогда будет зарегистрирован только факт удара, т. е. как бы факт коллапса без указания, в какую именно ячейку произошел коллапс. А если сделать необратимые датчики типа миниатюрных фотопластинок, то факт коллапса будет зафиксирован в одной из ячеек, но пока что без немедленного восприятия его внешними регистрирующими приборами.

В последних примерах очень хорошо видно, что для регистрации самого лишь факта коллапса достаточно одного бита информации. Коллапс — это необратимый процесс, точнее, случайное событие, отвечающее удару, а объем соответствующей новой информации I и величина уменьшения предшествующей энтропии зависят прежде всего от того ансамбля, который моделирует усредненные статистические характеристики движения частицы. Следовательно, величины и I относятся не столько к частице, сколько к совместной системе —

частица плюс ее ближайшее окружение, включая наблюдение и восприятие информации о частице.

Два этих физических явления удобно разделить между собой. Первое событие — случайное появление частицы в одной из возможных позиций с соответствующей "маркировкой" номера ячейки — мы будем называть "хинт" (от английского слова hint — намек). Хинт — это "выпадение" числа на брошенном кубике. Хинт плюс восприятие или "запись" информации составляют собой то, что называется "наблюдением" или "измерением". Полный процесс измерения может идти с сильным изменением — "коллапсом" априорной вероятности и, соответственно, с большим изменением энтропии, относящейся к ансамблю — представителю коллективного аспекта динамики данной частицы.

Итак, измерение в классической механике можно представлять себе как комбинацию (связку) хинта — выпадения данного числового значения для измеряемой величины и последующей регистрации и записи этого значения. Суммарно — это необратимый процесс, сопровождаемый возрастанием энтропии внешнего мира. А с точки зрения более общей квантовой теории хинт — это коллапс волновой функции.

Рассмотрим еще один аспект взаимодействия классической частицы с макрообъектом. До сих пор мы считали, что стенки сосуда или термостата имеют строго очерченные геометрические размеры, и вероятностное описание требовалось только для частицы. В общем случае это не так: сами стенки находятся в хаотическом случайном движении, а кроме того, внешние приборы могут быть не достаточны для точного и постоянного во времени слежения за положением макроскопических тел. Допустим, что положение стенок определено с некоторой погрешностью, и имеется некоторая плотность вероятности для распределения положений границы стенки (рис. 4).

На рисунке 4 сплошная линия показывает основную

Рис. 4. Падающее на стенку "облако" распределения вероятностей превращается в одну отраженную частицу. Граница твердого тела имеет неопределенность, условно обозначенную штриховыми линиями. Волнистая линия — информация об ударе, ’’записанная” в макротеле, сплошная стрелка — информация, ушедшая во внешний мир.

(в среднем) границу твердого тела, а штриховые линии — неопределенность. На эту границу падает "облако" распределения вероятностей После неупругого отражения в теле может остаться один бит информации о факте удара, а от тела отлетает частица. Если вдали от тела эта частица будет зарегистрирована либо прибором, либо самопроизвольным необратимым процессом, для которого факт появления частицы играет определенную роль в дальнейшей эволюции системы, то отраженную частицу следует считать находящейся в локализованном состоянии:

где — координаты сразу после удара при

Как мы видим, в этих условиях после отскока частицы от границы тела распределение вероятностей частицы коллапсирует, а с неопределенностью самого тела пока еще ничего не происходит: частица может отскочить как от сплошной, так и от любой из пунктирных линий (см. рис. 4). Но если от одной и той же точки стенки отскочит не одна, а две падающие частицы, то точка их пересечения может быть локализована, и во внешний мир будет перенесена информация, что только точка сплошной линии является реальной. Еще двух частиц будет достаточно для того, чтобы зафиксировать угол направления сплошной линии в плоскости чертежа. Произойдет коллапс не только вероятностей для движения частиц, но и коллапс вероятностей расположения твердого тела. Как мы видим, одной лишь информационной связи с внешним миром достаточно для того, чтобы функция распределения вероятностей положения твердого тела коллапсировала в состояние, отвечающее вполне определенному положению классического объекта (разумеется, с точностью до тепловых флуктуаций границы).

Рассмотрим теперь, что происходит с падением и последующим отражением квантовой частицы от макротела с фиксированной границей. Если налетающее "облако" или матрицы плотности частицы являются достаточно протяженными, то картина будет мало отличаться от классической. Независимо от того, является ли падающее состояние чистым или смешанным, от границы тела при неупругом взаимодействии (с соответствующим "измерением" внутри тела) отразится сильно локализованное "облако". Возникнет лишь ограничение на неопределенность координаты и импульса, соответствующее соотношению неопределенностей Гейзенберга. Но если граница макротела сама имеет неопределенность, отвечающую излишне протяженной волновой функции макротела, то картина

изменится. Последовательные отражения одной за другой частиц будут приводить к сужению волнового пакета макротела. И так как расплывание квантового пакета макротела происходит очень медленно, то в конце концов пакет приобретет черты классического объекта. Именно взаимодействие с внешним миром превращает макротела в классические объекты с локализованными волновыми функциями. В общем случае при взаимодействии микрочастиц с другими объектами мы получаем два предела: микромир легких частиц и макромир очень массивных тел, с некоторой промежуточной областью между ними для тел с малыми, но макроскопическими масштабами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление