Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

24. Измерение в квантовой теории

Обсудим более подробно проблему измерений в квантовой механике. Для этого удобно вернуться к рис. 1, где схематически изображен процесс восприятия информации, возникающей в результате события в физической системе Строки рис. 1, 2 поясняют, как эта информация может быть воспринята. Но для нас сейчас важна только первая строка которая показывает сам факт события Именно с такого события и начинается измерение классической или квантовой системы.

Следуя логике и обозначениям книги Швингера [23], будем считать, что событие представляет собой факт измерения, приводящего к селекции среди множества других возможных реализаций физической величины Обозначим это событие символом Как показывает рис. 5, символ означает просто, что квантовая частица, которая могла бы быть в любом из N возможных состояний, в данном событии оказывается в ячейке Другими словами, соответствует коллапсу

Тот же самый процесс можно разъяснить в несколько иных терминах. Допустим, что мы имеем квантовую частицу с волновой

Рис. 5. Селективное измерение в квантовой теории отвечает случайному событию, когда физическая величина имеющая возможность принимать одно из N значений, оказывается в одной единственной ячейке штрихом отмечена возможность добавления к системе еще одной физической величины

функцией падающую на прибор, т.е. на некоторое макротело, имеющее сложное внутреннее устройство. На входе в прибор имеется анализатор, который указывает, как именно может быть воспринята информация о падающей частице. В квантовой механике это означает способ установления собственных векторов которым может быть разложена -функция: Собственные функции считаются ортогональными и нормированными, и каждая из них отвечает собственному значению физической величины Пусть имеется N таких функций и, соответственно, число ячеек (см. рис. 5) равно Прибор селективного измерения на рис. 5 при каждом акте измерения оставляет только одну функцию Если все остальные функции уничтожаются, то происходит коллапс который соответствует тому факту, что подвергающаяся измерению частица "попала" в состояние Подчеркнем, что при таком селективном измерении с последующим восприятием соответствующей информации факт отсутствия частицы в любой из оставшихся пустых ячеек для последующей "истории" ровным счетом ничего не означает: реальной и содержательной является лишь информация со значением физической величины равным

Единичный акт измерения можно считать чисто случайным, и он явно не достаточен для того, чтобы установить, какова структура -функции. Только повторяя измерения много раз, можно найти средние значения для вероятностей реализации значений рассматриваемой физической величины Многократное повторение измерений порождает смешанный ансамбль, который можно описывать матрицей плотности, если в этом есть необходимость. Но сейчас мы сосредоточим наше внимание на самом измерении.

Итак, символ соответствует событию селективного измерения, которое оставляет (или "пропускает") частицу со значением у величины отбрасывая (т.е. уничтожая) все другие состояния.

Класс селективных измерений допускает естественное расширение. А именно, пусть в приборе установлена диафрагма которая отсекает часть падающей на прибор -функции (рис. 6). Тогда ячейки, попавшие под диафрагму, никогда не будут

Рис. 6. Диафрагма может уменьшить число состояний, доступных для регистрации анализатором А (недоступная область заштрихована).

зарегистрированы. В частности, если диафрагма закрывает все ячейки, кроме то будет отобран подансамбль со значением величины . А если перекрыть все ячейки, то мы получим измерение, которое естественно обозначать символом 0. Напротив, если полностью открыть диафрагму и не регистрировать, какое именно значение и, будет получено, то такое крайне неселективное измерение можно обозначать символом 1. Нетрудно, далее, ввести операции сложения и умножения символов измерения. Операция сложения порождает не столь селективное измерение, когда в результате измерений получается подансамбль, отвечающий всем фигурирующим в сумме значениям величины т.е. одно из них нельзя отличить от других с помощью такого измерения. Измерение, которое отвечает сумме по всем т.е. пропускающее весь ансамбль без разделения его на подансамбли, очевидно, следует считать равным единице. Операция умножения символов измерения обозначает последовательное выполнение измерений (читать справа налево). Из физического смысла введенных операций следует, что сложение коммутативно и ассоциативно, а умножение ассоциативно.

Свойства элементарных операций под селективными символами измерений записываются в виде

где символы 0 и 1 отвечают измерениям, которые либо отбрасывают, либо пропускают все системы. По смыслу этих последних измерений они обладают алгебраическими свойствами

До сих пор мы имели в виду только одну физическую величину действие которой на волновую функцию рассматривается в квантовой

механике как оператор

Естественно, что физических величин может быть много. Соответственно, может быть много измерительных приборов. Две физические величины называются совместимыми, если измерение одной из них не разрушает знания, полученного предшествующим измерением другой. На рисунке 5 они обозначены символами . Соответствующие селективные измерения выполненные в том или ином порядке, порождают ансамбль систем, в которых величины одновременно имеют вполне определенные значения . Соответственно, можно ввести символ составного селективного измерения:

Под полным набором совместимых физических величин понимается такой набор физических величин, каждая пара которого совместима, и в то же время не существует никаких других физических величин, совместимых с каждым из Тогда символ

описывает полное измерение. Оно отвечает максимальному количеству признаков, которые могут быть получены одновременно, без неконтролируемого изменения значения одного из них, полученного в предварительно проведенном измерении. Символические свойства полных измерений также соответствуют соотношениям (108), (109).

Сделаем еще один шаг на пути к расширению класса измерений. А именно, рассмотрим измерения, которые могут приводить к изменению состояния. Пусть символ обозначает селективное измерение, при котором воспринимаются только системы в состоянии а возникают системы в состоянии V. Соответственно, значение физической величины переводится в значение Разумеется, . Нетрудно видеть, что измерения типа обладают свойством

где при В самом деле, левый сомножитель пропускает только те состояния, у которых величина принимает значение т.е. обязано быть равным Заметим, что если сомножители в (112) поменять местами, то получим

откуда видно, что умножение символов измерения (112), (113) некоммутативно.

Наряду с полным набором могут существовать и другие полные наборы: которые взаимно несовместимы. Символы измерения вида можно построить для каждого из таких наборов. Естественно, возникает вопрос о том, как выглядит селективное измерение, связывающее два таких набора. Символом обозначается процесс измерения, которое отсекает все значения, кроме физической величины V и которое выпускает из себя систему в состоянии и, физической величины

Сконструируем теперь составное измерение Конечным результатом такого измерения является отбор состояния и перевод его в т.е. оно должно быть селективным измерением типа Однако на первом этапе возникает система в состоянии и только вторая ступень отбирает состояние Если бы принадлежали к одной физической величине, т.е. то мы получили бы промежуточный множитель , равный либо нулю, либо единице. Однако в общем случае разных величин можно ожидать, что переходный множитель будет флуктуировать от измерения к измерению. В среднем только некоторая доля состояний, выходящих из будет восприниматься второй ступенью измерения составного прибора. Поэтому естественно допустить, что в среднем

Здесь величина есть число, так что матрица характеризует статистическую связь между состояниями V и В частном случае имеем, очевидно,

Так как то из общего соотношения (114) получаем

Появление числовых множителей типа в соотношениях (114) — (117) имеет принципиальное значение для квантовой теории. Формально эти множители возникли как свойство измерений, но, как мы увидим далее, они фактически ведут к принципу суперпозиции состояний — основному положительному принципу квантовой механики.

Но сначала рассмотрим некоторые простейшие следствия из полученных выше соотношений. Полагая в (116) и учитывая соотношение получим

Рассмотрим теперь тройное произведение которое мы просуммируем по всем промежуточным значениям Тогда, с одной стороны, мы получим просто величину (118), а с другой — для первой пары сомножителей можно воспользоваться соотношением (118), а затем воспользоваться связью (117), так что получим

Сравнивая два последних выражения, находим

В частном случае, когда получаем

Пока это чисто алгебраические соотношения, являющиеся простым следствием введенных выше определений для символов измерения. Но рассмотрим более простое произведение По аналогии с последним выражением в (119) (без суммирования по получим

где

Смысл левой части соотношения (122) состоит в том, что прибор отбирает сначала состояние затем из него отбирается та часть, которая может быть пропущена как а затем из прибора вновь исходит состояние Таким образом, играет роль вероятности для состояния пройти через весь прибор, т.е. можно интерпретировать как вероятность обнаружить состояние и, в исходном состоянии Вероятность следует считать вещественной неотрицательной величиной. Поэтому естественно принять, что сомножители в (123) являются взаимно сопряженными:

В силу соотношений (121), (124) матрицу с матричными элементами следует считать унитарной.

Приведенные выше соотношения можно записать в более привычном виде, если воспользоваться языком волновой механики. Пусть есть измеряемая волновая функция. Она может быть представлена в виде суперпозиции собственных функций операторов :

где Естественно, что символы измерения тоже можно рассматривать как операторы, так что

Каждая из функций может быть выражена как линейная суперпозиция функций просто в силу свойств собственных функций (мы допускаем, что эрмитовы операторы обладают всеми нужными свойствами). Пусть это соотношение имеет вид

Применим к этому соотношению оператор . В правой части этого соотношения он оставит только одно слагаемое с а в левой части вместо можно использовать оператор поскольку Но теперь мы можем воспользоваться соотношением типа (118), согласно которому имеем

поскольку Следовательно,

т.е.

Мы получили соотношение для перехода от одного представления к другому. Если считать, как обычно, что представляют собой ортонормированные базисы, то нетрудно получить

Если построить теперь выражение то в правой части (130) у нас возникнет суперпозиция слагаемых вида Сделаем допущение, что разности фаз у взаимно ортогональных амплитуд не имеют прямого физического смысла и могут быть хаотическими. Тогда после усреднения по фазам получим

где вероятность перехода определена соотношением (123). Теперь соотношение (131) выглядит как связь между вероятностями, если величины интерпретировать как вероятности. При этом делается (иногда неявное) допущение, что фазы отдельных мод в разложении (-функции по собственным функциям являются взаимно хаотическими. Таким образом, измерение в квантовой механике изначально опирается на появление некогерентности у взаимно ортогональных мод.

Вернемся к рис. 5. Селективное измерение намечает только ту ячейку, в которой окажется физическая величина если соответствующая информация воспринимается прибором. При этом волновая функция коллапсирует в а все коэффициенты с, за исключением си исчезают. Что касается коэффициента то он превращается в единицу. Таким образом, в рамках изложенной логики измерение оказывается как бы составленным из двух тесно связанных элементов: символ измерения "указывает пальцем" на величину а восприятие осуществляет коллапс функции и распределения вероятностей

Символ измерения построен таким образом, что он не определяет еще полностью результат измерения. В частности, если на рис. 5 вслед за "линейкой" клеток величины расположить аналогичную "линейку" величины V, то можно осуществить процесс, когда первая линейка пропустит только , т.е. превратится в не будучи еще измеренной. Таким образом, именно символ измерения и играет роль хинта, т.е. намека на то, какая величина может оказаться измеренной. Затем упадет на вторую линейку, и только там и произойдет окончательный коллапс с соответствующим составным измерением. Если повторять его много раз, меняя ячейки

то можно получить соотношение (131), связывающее между собой вероятности с помощью вероятности перехода

Поскольку в составном измерении определен порядок выполнения операций, то появляется возможность временной последовательности измерений. В частности, если уровню V отвечает функция то уровню V на рис. 5 можно приписать функцию связанную с соотношением

где Н — оператор Гамильтона. Тогда и -матрица приобретает смысл оператора перехода от начального времени к некоторому последующему моменту времени . А волновая функция удовлетворяет уравнению Шрёдингера.

Теперь мы можем более точно осознать, в чем состоит принцип суперпозиции. Соотношение (131) означает, что для любой линейной суперпозиции волновых функций, т.е. для любого разложения -функции по любому из базисов, у нас имеется готовая вероятностная интерпретация того, что будет происходить при измерениях: квадраты амплитуд дают вероятности, а квадраты матричных элементов — вероятности переходов. А вся временная эволюция этих будущих возможных элементов процесса измерения определяется линейным уравнением Шрёдингера.

Почему же мы пришли к квантовой механике? Если вернуться еще раз к началу этого раздела и снова пройти по логике введения символов измерения то совершенно не очевидно, что они приведут не к классической механике, а к квантовой. Намек на появление элементов квантовомеханического подхода возникает впервые в формуле (114), когда первый раз вводится матричный элемент т.е. число, отличное от тривиальных нуля и единицы в формулах . А при составлении симметричного выражения (122) возник квадрат матричного элемента (123), который можно интерпретировать как вероятность перехода.

Но самый главный и решающий шаг к волновой механике делается при переходе от (130) к (131), когда предположение о хаотичности фаз у взаимно ортогональных амплитуд позволяет сделать вывод о том, что только квадраты амплитуд вида имеют реальный физический смысл и интерпретируются как соответствующие вероятности.

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. Все действия над символами перехода мы условились производить в порядке справа налево. Но их можно читать и слева направо,

разумеется, в некотором другом понимании. Например, соотношение (114) можно прочитать слева направо, считая, что первый оператор слева воспринимает а выпускает второй воспринимает и испускает и т.д. Но можно было бы построить этот же самый процесс в обычном порядке, т. е. получить

Появившийся здесь матричный элемент согласно соотношению (124) равен Смысл прочтения соотношения (133) по элементам справа налево был интерпретирован нами как выполнение операций последовательно во времени, т.е. из прошлого в будущее. Следовательно, прочтение (114) слева направо означает выполнение действий в последовательности из будущего в прошлое. Как мы видим, вся разница между (114) и (133) состоит лишь в комплексном сопряжении операторов. Таким образом, начиная с введения символов составного измерения и далее, мы уже "вступили на тропу" квантовой механики, создавая символическую основу для полностью обратимых операций. Вся последующая логика автоматически приводит к выводу о полной обратимости квантовомеханических процессов: чтобы изменить время, достаточно лишь перейти к комплексно сопряженным величинам. Соответственно, соотношение (122) можно интерпретировать как условие "встречи" прошлого с будущем. В этом месте прибор может разорвать квантовомеханическую причинную связь прошлого с будущим, но на результаты его измерения накладывается вероятностная связь (123).

Из этих рассуждений ясно видно, что логика квантовой механики проводит жесткое разграничение между двумя классами событий. Собственным предметом квантовой механики является изучение полностью обратимых процессов, начиная от некоторого заданного извне состояния и вплоть до входа в прибор, где происходит сильно необратимый процесс коллапса волновой функции. Волновая механика описывает эволюцию волновой функции и предсказывает лишь вероятности тех или иных результатов измерений. Таким образом, волновая механика — это скорее мощный аппарат для изучения возможностей, чем "приземленная" теория реально протекающих процессов. В особенности отчетливо это видно в так называемой "многомировой интерпретации" квантовой механики [24], но мы не будем сейчас отвлекаться на обсуждение этого предмета.

Вместо этого рассмотрим конкретный пример типично квантового процесса — радиоактивного распада. Схематически он изображен на рис. 7.

Допустим, что в точке находится радиоактивное ядро которое при распаде испускает а-частицы. Согласно квантовой механике волновая функция а-частицы состоит из локализованной внутри ядра части и вытекающего вовне волнового потока, условно изображенного на рис. 7 волновыми стрелками. Допустим, что регистрирующий а-частицы прибор состоит из множества тонких пластинок, каждая из которых содержит огромное число ячеек, соединенных со счетчиками, регистрирующими факт прохождения а-частицы через ту или иную из ячеек. Все ячейки находятся в ждущем режиме и не передают никакой информации в запоминающее устройство прибора, если сигналов на ячейках нет.

Рис. 7. Схематическое изображение прибора для измерения а-частицы при радиоактивном распаде ядра Штрихом отмечен вариант измерения, когда точное положение ядра неизвестно.

Пусть теперь в некоторый момент времени ячейка самой первой пластинки зарегистрировала факт прохождения а-частицы и передала эту информацию для переработки и восприятия внутри прибора. С -функцией при этом произойдут огромные изменения. По отношению к будущему происходит полный коллапс волновой функции в компактный волновой пакет, который будет затем пересекать все остальные пластинки вдоль штриховой линии, изображенной на рис. 7. Соответственно, только эти ячейки и откликнутся на а-частицу. Но не менее удивительный феномен возникает по отношению к прошлому. А именно, вся волновая функция в прошлом также коллапсирует в волновой пакет, движущийся по направлению к ячейке так что по скорости частицы и расстоянию от до можно приближенно найти время когда этот коллапс произошел. В этот расчетный момент не только коллапсирует в волновой пакет вся внешняя волновая функция, кроме бегущего к прибору волнового пакета, но и уничтожается волновая функция а-частицы внутри ядра.

Если начальная волновая функция самого ядра не была локализованной, а покрывала штриховой круг на рис. 7, то первое измерение на первой пластинке еще не фиксирует луча а-частицы внутри штриховых касательных к этому кругу. Но уже второе измерение на последующей пластине фиксирует сам луч, по которому прилетела а-частица. Впрочем, одних лишь измерений с одной а-частицей недостаточно, чтобы точно зафиксировать положение ядра на луче и определить

момент времени а-распада, т. е. коллапса волновой функции на самом ядре. В этом отношении сохраняется некоторая неопределенность. Но если у нас имеется небольшая крупинка радиоактивного элемента, то многие измерения а-частиц зафиксируют положение этой крупинки (если эта информация не была получена другим образом).

Допустим теперь, что вместо радиоактивного ядра мы используем его классический имитатор, т.е. малую классическую "теплую" ловушку, которая может испускать классические частицы с тем же самым временем жизни. Будем считать, что и измерительный прибор имеет сходную конструкцию. Нетрудно видеть, что соответствующий классический "распад" будет иметь много общего с рис. 7. Вместо потока вовне "ядра" мы будем иметь теперь поток плотности вероятности. Измерение "и" опять схлопывает этот поток в компактный сгусток, который в будущем пересечет все пластинки прибора Р, а в прошлом происходит коллапс вероятности, сходный с коллапсом волновой функции. С точностью до соотношений неопределенностей оба процесса очень похожи друг на друга. Но в классическом случае мы точно знаем, что существуют частицы с классическими траекториями, и вероятностное описание используется просто в силу неполного знания "жизни" классической частицы внутри ловушки. А в квантовом случае точной траектории нет, и вероятность становится неотъемлемым свойством эволюции квантового объекта. Казалось бы, квантовое и классическое описания должны совпадать в применении к объектам и процессам, которые с точностью до соотношения неопределенностей близки друг к другу. Но на самом деле это не так.

Ортодоксальная квантовая механика строится как теория полностью обратимых процессов, но только "между измерениями". В ней нет понятия классического тела и нет описания процессов взаимодействия микро- и макротел. Сила квантовой механики заключается в том, что она универсально описывает все явления, но только в рамках обратимых процессов. Именно в последнем и состоит ее слабость, поскольку процесс измерения является для нее внешним явлением, не входящим в круг теории. Исходя из рис. 7, можно видеть, в каком направлении следует расширять теорию.

Будем удалять прибор Р дальше и дальше от ядра устремляя Процесс коллапса -функции вблизи ядра от этого, очевидно, не изменится. Другими словами, распад ядра и соответствующий коллапс -функции можно рассматривать как результат измерения, проводимого в далеком будущем. Если оставаться на позициях причинности, то влияние из будущего можно считать беспричинным случайным процессом. Итак, более общий взгляд на эволюцию квантовых систем должен сочетать причинное развитие событий в

соответствии с уравнением Шрёдингера и "беспричинные" коллапсы, представляющие собой результат "измерений в будущем". Как должны быть построены эти коллапсы, мы рассмотрим ниже.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление