Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

28. Запутанные состояния

Работа Беннета с соавторами [36] открыла новую область исследований в квантовой теории. Чтобы познакомиться с ней более подробно, целесообразно стартовать именно с работы [36]. Речь идет фактически о параллельном использовании квантовой и классической информации для целей гелепортации. Для этого вначале две коррелированные квантовые частицы со спином 1/2 приготавливаются в ЭПР-синглетном состоянии:

Здесь использованы обозначения Дирака для квантовых состояний, а индексы 2, 3 относятся к соответствующим частицам ЭПР-пары. Квантовое состояние третьей частицы не известно ни отправителю А, ни получателю В, которые имеют намерение телепортировать это состояние от А к В.

Пусть частица 2 передается отправителю А, а частица 3 — получателю В. Исходное чистое состояние не содержит никаких классических или квантовых корреляций (т.е. запутывания) между Однако отправитель А может осуществить запутывание состояний частиц 1 и 2. Для этого над этими частицами следует произвести операцию измерения фон Неймана. Операцию измерения удобно произвести в базисе Белла [37], который составлен из четырех ортнормированных состояний: и

функций

Пусть неизвестное состояние первой частицы есть где коэффициенты а, b удовлетворяют условию нормировки да волновая функция начального состояния трех частиц будет равна

В этом соотношение каждое прямое произведение может быть выражено через базисные векторы Белла, и тогда получается

Все четыре состояния частиц 1, 2, 3 имеют равные вероятности при измерении, независимо от того, каково неизвестное состояние Если измерения производятся только отправителем телепорации А, т.е. только над частицами 1, 2, то в результате измерения состояние третьей частицы будет спроектировано на одно из четырех состояний:

Как мы видим, при результате измерения третья частица оказывается в состоянии а при трех других результатах измерения состояние может быть получено, соответственно, поворотами на 180° вокруг осей z, x, y. Поэтому отправителю А квантового состояния достаточно лишь сообщить классическую информацию о том, какой именно из результатов измерения он получил. При этом ни отправитель, ни получатель информации не

знает, какое именно состояние телепортировано. Так как число состояний равно четырем, то необходимая классическая информация должна составлять два бита.

Подведем теперь некоторый итог. Чтобы осуществить телепортацию состояния из точки А в точку В, требуется сначала приготовить ЭПР-пару и послать одного из партнеров этой пары в точку А, а другого — в точку В. Затем из точки А требуется послать два бита информации, которые подскажут партнеру В, в какой системе координат второй партнер ЭПР-пары приобретает состояние Разумеется, при таком процессе два бита классической информации теряются и превращаются в тепло. Теряется также та информация, которая содержалась в ЭПР-паре. А результат всей проведенной операции состоит просто в передаче состояния из точки А в точку В. Возникает вопрос, не проще ли было просто переслать состояние из точки А в точку В]

Разумеется, прямая передача состояния из точки А в точку В выглядит проще. Однако у телепортации появляется новое качество, которое мы постараемся разъяснить. Но сначала нужно понять, с какими видами информации мы имеем дело.

Что касается классического бита информации, то она представляет собой ячейку с двумя возможными состояниями. Если из двух состояний фиксируется только одно, то создается один бит классической информации. Квантовая частица со спином 1/2 также имеет два возможных состояния, т.е. появляется некоторая аналогия между такой частицей и классической ячейкой памяти емкостью в один бит. Поэтому количество квантовой информации в состоянии принято называть квантовым битом, или кубитом (qubit = quantum bit). В отличие от классического бита, имеющего только одно из двух состояний, например, или квантовый кубит может существовать в произвольной комплексной суперпозиции таких состояний.

ЭПР-пара частиц в синглетном состоянии также может находиться только в двух возможных состояниях. Это значит, что она имеет один кубит квантовой информации. Однако этот кубит приходится на два партнера ЭПР-пары, а партнеры могут быть разнесены на большое расстояние друг от друга. Чтобы также оттенить эту особенность квантовой информации такой пары, ее принято называть [38] забитом, т.е. квантовым битом запутанного состояния (в английской терминологии ebit = entangled pair bit).

Итак, чтобы телепортировать один кубит квантовой информации, требуется истратить два классических бита и один забит квантовой информации. По количеству затраченной информации процесс

кажется не очень-то выигрышным. Однако он дает совершенно новое качество. Ведь речь идет в самом деле о телепортации. Можно представить себе, что вначале создастся "линия связи", точнее "линия сборки", состоящая из множества ЭПР-пар. Затем с помощью одной лишь классической информации их точки А в точку В можно телепортировать множество квантовых состояний с помощью которых некоторое многочастичное состояние может быть воспроизведено в точке В как копия оригинала в точке А. При этом ни отправитель информации, необходимой для телепортации, ни получатель этой информации не знают, какое именно состояние они телепортируют (разумеется, они могут договориться о том, какого вида состояние предполагается переслать из А в В, но конкретной величины они не знают). Сами ЭПР-пары направленной информации не передают: они используются лишь как вспомогательное средство, чтобы с помощью классической информации осуществить передачу квантовой информации.

Рассмотрим теперь вопрос о том, какова мера квантовой информации в запутанном состоянии. Пусть состояние частиц выглядит как

Как видно из выражения, при волновая функция превращается в простое произведение функции от одной частицы на функцию от второй частицы. Такие состояния не запутаны, так что соответствующая мера запутанности равна нулю. Максимальная запутанность достигается в синглетном состоянии, когда Естественно поэтому ввести такую меру запутанности, которая, как функция угла в, обращалась бы в нуль при и достигала бы максимума при Согласно [39] эта мера может быть выбрана в виде

Фактически это есть — где — вероятность соответствующего состояния (в нашем случае . При определении использованы логарифмы при основании Нетрудно проверить, что максимум как функции угла в действительно достигается при Это значит, что максимальная величина запутанности состояний двух частиц со спином 1/2 достигается в синглетном состоянии. Величина в точке максимума равна единице, т.е. одному биту.

Как уже отмечалось ранее (см. формулу (6)), при использовании информационных соотношений в физике (а не в компьютерной технике) более удобным является определение величины информации по Шеннону (3) с использованием натуральных логарифмов. При этом величина информации измеряется не в битах, а в натах.

Понятие величины запутанности легко обобщается на более сложные квантовые системы [39]. Если, например, система А, имеющая набор N ортонормированных состояний находится в запутанном состоянии с системой В, то в системе В можно найти такой набор ортонормированных состояний что совместная волновая функция систем А, В может быть представлена в виде

где коэффициенты с, можно считать действительными положительными числами (все фазовые множители вида могут быть внесены в функции Ясно, что с] представляет собой вероятность соответствующего состояния при измерении волновой функции

Представление в виде суммы (138) называется разложением Шмидта (или полярной формой Шмидта). С точки зрения каждого из наблюдателей, А или В, запутанное состояние выглядит как смешанное состояние, описываемое матрицей плотности, получаемой с помощью взятия следа от совместной матрицы плотности чистого состояния по переменным другого наблюдателя:

Аналогичное соотношение имеет место для

Величина запутывания Е чистого состояния определяется как энтропия фон Неймана матриц плотности или либо, что то же самое, как энтропия Шеннона для вероятностей

Величина Е может изменяться в интервале от нуля (для незапутанных состояний, до максимального значения

Наличие запутанных состояний между системами А и В может рассматриваться как своего рода ресурс для информационных связей (как бы "линия связи"). Но забиты представляют собой более слабое

ресурсное обеспечение по сравнению с кубитами. Кубиты могут направленно пересылаться из Л в Л или из В в А. А забиты, т.е. биты запутывания, являются "имуществом совместного пользования". Самих по себе их недостаточно, чтобы пересылать кубиты информации. Чтобы переслать кубиты, забиты должны быть дополнены битами классической информации, чтобы осуществить процесс телепортации.

Если у наблюдателей А и В имеется достаточный запас стандартных синглетов, т. е. ресурс забитов, то они могут построить любое чистое запутанное состояние , если воспользуются дополнительным ресурсом классических битов. Для этой цели наблюдатель А может вначале приготовить у себя копию того состояния, которое он затем хотел бы видеть как . Состояние может быть приготовлено с помощью локальных операций. Затем с помощью стандартных общих синглетов совместно с классической информацией, наблюдатели могут телепортировать состояние С в систему В и запутать его с состоянием В. В результате будет получено состояние а состояние С при этом разрушается. Такая телепортация требует синглетов и классических бит для коммуникации, где N — размерность Гильбертова пространства системы В [39].

В работе [39] показано, что перед телепортацией можно было бы увеличить запутанность телепортируемой системы С. Однако вопрос о компрессии запутанности выходит далеко за рамки основной линии данной книги. Читатели, интересующиеся этим вопросом, могут обратиться непосредственно к работе [39].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление