Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

30. Случайная волновая функция

Рассмотрим теперь несколько более сложный мысленный эксперимент, с помощью которого мы в крайне упрощенной форме познакомимся с эволюцией квантовой системы, находящейся в постоянной информационной связи с внешним миром.

А именно, мы предположим, что квантовая частица подвергается "измерению" не с помощью приборов, а вследствие взаимодействия с неравновесным окружением.

Соответствующая схема эксперимента представлена на рис. 9.

Рис. 9. Микрочастица двигаясь вдоль оси у, поочередно неупруго сталкивается со стенками сосуда. Температура верхней стенки не совпадает с температурой нижней стенки и частица переносит, в среднем, тепло от одной стенки к другой. В левый торец сосуда входит "пробка" макроскопического тела М, так что при перемещении вдоль х микрочастица имеет возможность сталкиваться с макротелом.

Пусть микрочастица с массой заключена между двумя горизонтальными стенками, находящимися при несколько различных температурах: Тогда, сталкиваясь поочередно с верхней и нижней стенками, частица при неупругом взаимодействии может переносить порции тепла от

горячей стенки к холодной. В холодной стенке каждая такая порция распространяется в толщу материала стенки и может быть там "измерена". Более точно, такая порция тепла чем-то сходна с радиоактивным распадом, так что она естественным образом может коллапсировать: можно сказать, что она "измеряется из будущего". Коллапс каждой из порций тепла приводит к коллапсу (-функции микрочастицы, и, соответственно, движение частицы вдоль оси х можно рассматривать как последовательность случайных коллапсов.

Поскольку взаимодействие частицы со стенками носит случайный характер, то и -функция становится случайной. Для ее описания можно развить соответствующие строгие методы статистической физики, но в данный момент более целесообразно сосредоточиться на качественной картине явления. Поэтому мы пойдем на существенные упрощения, описывая (-функцию только ее моментами, т.е. усредненными значениями для положения волнового пакета его ширины и скорости гдер — импульс, а угловые скобки означают усреднение с весом

Допустим, что сразу после неупругого столкновения со стенкой волновая функция имеет вид локализованного пакета (59) с импульсом

где ( — координата "центра тяжести" пакета), — ширина пакета, начальный момент времени принят за нуль. В последующие моменты времени волновая функция будет эволюционировать, так что соответствующий пакет будет расплываться согласно формулам (60), (61), а именно,

где а функция дается соотношением (60), т.е.

где Согласно (61) ширина пакета возрастает как

Пусть есть среднее время между последовательными "измерениями". Тогда в среднем ширина пакета перед столкновением со стенкой будет определяться соотношением (142) при Квадрат ширины локализации волнового пакета сразу после неупругого столкновения с холодной стенкой определяется процессами "измерения" порций тепла, которые происходят в самой стенке. А величина среднего времени пропорциональна расстоянию между стенками и является свободным параметром. Она может быть выбрана таким образом, чтобы второе слагаемое в (142) было много больше первого. Другими словами, широкий волновой пакет после "измерения" сжимается до размеров, много меньших его ширины на подлете. Обозначим через величину (142) при т.е. непосредственно перед неупругим ударом. Усредняя (142) по времени между ударами, можно определить среднее значение Таким образом, волновой пакет осциллирует по ширине между имея средний квадрат ширины

Между двумя последовательными ударами волновой пакет в среднем смещается на величину Если считать, что скорости и имеют максвелловское распределение с температурой то среднее значение для квадрата смещения по перед вторым ударом будет равно Тх2/т. Смещения за счет расширения пакета и его свободного перемещения статистически независимы друг от друга, так что для вероятности положения волнового пакета получаем уравнение диффузии

Итак, случайное блуждание квантовой частицы можно рассматривать как диффузию волнового пакета с вероятностью распределения его центра тяжести, эволюция которой определяется уравнением (143). Распределение по скорости можно считать максвелловским, а квадрат ширины периодически то сжимается до после удара, то расширяется до величины перед следующим ударом.

Теперь рассмотрим, как такая случайно движущаяся квантовая частица взаимодействует с макроскопическим телом с массой М. Пусть волновая функция макротела равна где X — координата правой границы тела, о которую может ударяться частица. До взаимодействия с частицей волновую функцию можно считать стационарной, поскольку при квантовым расплыванием У (X) можно пренебречь. При своем движении вдоль сосуда микрочастица рано или поздно столкнется с макротелом и, отразившись от него,

полетит вправо. Так как координата макротела не определена, то мы получим суперпозицию волновых пакетов.

Пусть локализована вблизи как показано на рис. 9. Нетрудно видеть, что при отраженный пакет окажется несколько правее, а при несколько левее по сравнению с отраженным от границы Таким образом, после отражения точка переходит в положение и волновая функция примет вид

где -функция микрочастицы дается выражением (141). Другими словами, в рассматриваемом приближении та часть волнового пакета, которая при свободном движении оказалась бы за поверхностью тела, т. е. при просто зеркально отражается от плоскости X и оказывается в точке

Перед последующим ударом о стенку термостата волновая функция микрочастицы выглядит как волновой пакет (60). Однако сразу после удара она локализуется в узкий волновой пакет с квадратом ширины, равным При этом никакой суперпозиции разных волновых пакетов быть не может: "измерение" оставляет только один пакет, уничтожая все другие составные части -функции. Происходит реальный коллапс волновой функции. Координата макротела X при этом будет также измерена с точностью до после удара с "измерением" координата микрочастицы х зафиксируется с точностью до так что в волновой функции (144) сомножитель также сколлапсирует, и величина т.е. координата X "измерится" и станет равной с точностью до

Схема на рис. 9 является, по существу, схемой косвенного измерения координаты макротела. После каждого такого косвенного измерения начальная функция коллапсирует в пакет шириной меньше Величина до коллапса принимает на себя роль классической плотности вероятности распределения средних значений координаты X для каждого из локализованных волновых пакетов, которые случайным образом порождаются столкновениями легкой частицы с горизонтальной стенкой.

Рассмотренный нами мысленный эксперимент указывает путь к теории описания явлений с естественно развивающимися процессами коллапса волновых функций. Во-первых, случайное "вторжение" коллапсов в эволюцию системы во времени показывает, что основную роль начинают играть не квазистационарные состояния, а расплывающиеся во времени волновые пакеты. Эти пакеты кроме квантовомеханических свойств приобретают черты протяженных

классических объектов, так что для них естественно использовать смесь классического и квантового описаний. Естественно возникающая некогерентность состояний придает макротелам привычный характер точно детерминированного поведения и "наводит мосты" между классическим макромиром и квантовым микромиром.

У читателя, естественно, может возникнуть вопрос: зачем нам понадобилось считать Казалось бы, и обычный термостат должен разрушать квантовую когерентность и создавать смешанные состояния типа волновых пакетов из любого чистого состояния. На самом деле, это скорее вопрос не реального поведения, а логического обоснования. И при нас есть основания говорить об отсутствии когерентности, но мы не можем пока с достоверностью утверждать, что эта некогерентность сопровождается "измерением" и коллапсом волновых функций. Случайные процессы коллапсирования более естественны для термодинамически неравновесных систем, но как мы увидим позднее, они происходят и при термодинамическом равновесии.

Впрочем, к этому вопросу нам придется еще не раз возвращаться. А сейчас рассмотрим более подробно, как можно описывать эволюцию случайной волновой функции. Пусть случайная волновая функция, описывающая одномерное движение частицы при наличии случайных измерений. Временная эволюция может быть описана уравнением

Здесь М — случайный оператор "измерения". Будем считать, что М "вмешивается" в эволюцию системы по закону случая, т.е. в соответствии с распределением Пуассона со средним интервалом времени между "измерениями" . Пусть сразу же после "измерения", которому мы припишем функция коллапсирует в пакет (140). Так как этот пакет содержит два параметра и, то в определение оператора М должна входить инструкция, как этими параметрами следует распорядиться. Перед следующим ударом решение имеет вид (141), т.е. где отсчитывается от предыдущего удара. Мы условились считать а, так что приближенно можно положить

Здесь — распределение вероятностей для величин и, в том случае, если повторный удар происходит через интервал времени

после первого; р(и,и) — вероятность изменения скорости пакета от значения и перед "измерением" до значения V после "измерения". В частном случае полного "забывания" величины скорости перед "измерением" вероятность р(и,и) не зависит от и, так что величина имеет максвелловское распределение с температурой Т. Если повторных "измерений" много, то величину вероятности перехода можно усреднить по времени:

Здесь первый множитель под интегралом показывает вероятность отсутствия удара до момента а величина равна вероятности "измерения" на интервале Если мы переходим к усредненной по времени вероятности, то число ударов за время следует считать равным Аг/т. Таким образом, предлагаемая логика автоматически приводит к классической цепи Маркова, а квантовый подход понадобился лишь для нахождения вероятностей перехода от одного "измерения" к другому. В итоге, для многих последовательных измерений мы получаем диффузионное уравнение (143) для с Максвелловским распределением частицы по скоростям. От этих вероятностей можно было бы перейти к матрице плотности Но как мы видим, в этом нет большой нужды. Найденные нами усредненные волновые пакеты, которые входят в выражение (147), играют роль базиса, в котором матрица плотности имеет диагональный вид: представляет собой случайную выборку одного из таких пакетов с вероятностью, которая предписывается извне оператором измерения В результате для описания статистических свойств случайной волновой функции основную роль играют именно свойства "измерения", а свободный пролет частицы от одного "измерения" до другого "измерения" определяет лишь величину коэффициента диффузии

Рассмотрим еще раз, как действует оператор в правой части уравнения (145). Как мы установили выше, перед его воздействием волновая функция выглядит как сравнительно широкий волновой пакет шириной А сразу же после измерения образуется пакет шириной Таким образом, перед измерением имеет величину а после измерения Картина выглядит так, как если бы волновой пакет шириной до был нарезан на дольки шириной Число таких долек При каждом измерении частица попадает только в одну из долек, и поэтому квадрат волновой функции увеличивается в раз. Таким образом, оператор оказывается

сильно нелинейным: он уничтожает волновую функцию во всех ячейках, кроме одной, а в этой последней он увеличивает амплитуду в Это есть естественное следствие коллапса при сохранении нормировки. Но оказывается, что с матрицей плотности, и, в частности, с изменения происходят (если и происходят) гораздо менее впечатляющие. Действительно, требуется, по крайней мере, измерений, чтобы частица по одному разу попала в каждую из долек, полученных "нарезанием" исходного пакета. Поэтому средняя по числу измерений вероятность попасть частице в данную дольку оказывается примерно такой же, что и у исходного пакета. А если учесть, что вероятность данного "измерения" мы условились считать пропорциональной то она оказывается практически такой же, как и после измерения.

Теперь мы видим, что оператор по отношению к его действию на мало чем отличается от макроскопического прибора: он осуществляет коллапс волновой функции по правилам теории измерений квантовой механики, т.е. в одно из взаимно ортогональных состояний. Если трактовать эти измерения в терминах превращения чистого ансамбля в смешанный, то нетрудно видеть, что матрица плотности изменяется при таких измерениях очень мало. В самом деле, осциллирующая зависимость от матрицы плотности определяется, в основном, не размерами волновых пакетов, а максвелловским распределением по импульсам. Поэтому описание смешанного состояния в терминах матрицы плотности не является достаточно чувствительным, чтобы определить, происходят ли в самом деле коллапсы: усреднение по ансамблю легко уничтожает соответствующую очень "деликатную" информацию.

Для описания "измерений", приводящих к разрушению когерентности и "коллапсу" волновой функции, требуются более аккуратные подходы, в которых соответствующие процессы описываются явным образом.

Как известно из квантовой теории, универсальных измерений нет: какие именно физические величины будут измерены и каким собственным векторам они соответствуют, целиком зависит от устройства прибора, точнее, от макроскопических условий измерительного процесса.

Мы рассмотрим здесь еще один конкретный пример естественно протекающего процесса измерения, а именно, радиоактивный распад. При а-распаде радиоактивного ядра волновая функция а-частицы состоит из двух частей: локализованной вблизи ядра функции, убывающей со временем как и стационарной функции снаружи от ядра, описывающей ее поток в бесконечно удаленные

области. Факт распада можно описывать случайным оператором "измерения" . На этот раз оператор должен по закону случая выбрать некоторый луч, выходящий из ядра, и создать на нем волновой пакет, убегающий вдоль луча со скоростью испускаемой а-частицы. Действие оператора можно условно рассматривать как результат измерения, произведенного в бесконечности и, стало быть, в бесконечно будущем. А в уравнении Шрёдингера он появляется как случайный коллапс волновой функции. Нетрудно опять установить, что сам коллапс представляет собой сильно нелинейный процесс, происходящий по закону случая, но если рассматривать только величину как представителя плотности вероятности ансамбля одинаковых систем, то соответствующие процессы выглядят как очень "мягкие", не меняющие среднего значения по ансамблю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление