Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

31. Мезомир

Теперь мы можем обсудить, как устроен мезомир, т.е. область физических явлений между классическим макромиром и квантовым микромиром. Естественно стартовать с микромира, который является как бы базисом для описания всего остального круга явлений.

Квантовая теория сама по себе логична и замкнута. Для микрообъектов с любым числом частиц, включая квантованные поля, динамическое поведение описывается обобщенным уравнением Шрёдингера

где — волновая функция всей системы, зависящая от большого числа координат, а оператор Н — гамильтониан системы. Волновую функцию можно рассматривать как вектор в гильбертовом пространстве, поэтому ее называют иногда вектором состояния.

Уравнение Шрёдингера описывает эволюцию квантовой системы, стартуя с некоторого начального состояния и оканчиваясь на измерении, т.е. взаимодействии с макроприбором. Что же касается макроприбора, то он предполагается чисто классическим объектом и описывается в терминах классических переменных. Между двумя этими пределами и находится мезомир, понимание которого является совершенно необходимым, если мы хотим связать между собой два предела — микромир и макромир. Начнем обсуждение этого вопроса опять с мысленного эксперимента. А именно, пусть на поверхность твердого макротела нанесена "радиоактивная метка" (рис. 10а). Если

вылетающая из метки а-частица "измерена" прибором, то тем самым измеряется и координата "у" поверхности макротела: после измерения можно с достоверностью утверждать, что радиоактивное ядро заведомо находилось в точке А, а не в другой возможной точке Вт. До измерения точки В, и А могли быть эквивалентными либо по той причине, что волновая функция макротела имела в них одинаковую амплитуду (чистое состояние), либо просто потому, что внешнему наблюдателю не было известно, в какой из двух точек, А, или реально находится метка. В первом случае измерение а-частицы автоматически приводит к коллапсу волновой функции макротела, а во втором случае снимается "априорная" неопределенность в вероятности нахождения метки и "коллапсирует" вероятность, т.е. внешний мир получает информацию о положении метки. Заметим, что сама а-частица могла бы вылетать вдоль любого из лучей, выходящих из точки но случайно был выбран луч, отмеченный на рис. 10а жирной стрелкой. Это означает, что у а-частицы волновая функция коллапсирует на один из лучей.

Рис. 10. Если на поверхности макроскопического тела нанесена радиоактивная метка то измерение вылетающей а-частицы может быть использовано для измерения -координаты макротела (штрихом на (а) показаны нереализованные траектории). При наличии внешних возмущений -функция а-частицы распадается на некогерентные волновые пакеты из которых только один пакет является реальным — в него случайно "попадает" а-частица.

Можно представить себе, что выбор одного из лучей произошел по той причине, что небольшие внешние возмущения несколько сбивают относительные фазы волновой функции на разных лучах, превращая их в "лучевые пакеты". Но если это так, то и вдоль луча может происходить процесс сбоя фазы, так что волновая функция а-частицы вместо сферической волны, расходящейся из точки может превратиться в набор волновых пакетов, изображенных на рис. 106. Сама частица может попасть только в один из этих пакетов (он на рис. 106 изображен черным кружком), а остальные пакеты — это всего лишь упущенные возможности для пребывания там частицы.

Нетрудно теперь убедиться, что такое представление и является правильным. В самом деле, если вернуться к формулам (130), (131), то можно еще раз установить, что квадраты амплитуд превращаются в

вероятности только при хаотизации разности фаз различных ортогональных состояний. Непересекающиеся волновые пакеты на рис. 106 как раз и представляют такие взаимно ортогональные состояния. Хаотизация фаз как бы разбивает когерентную волновую функцию на отдельные блоки, и величина в каждом из таких блоков превращается в вероятность. С точки зрения перехода чистого состояния в смешанное хаотизация фаз является как бы очень слабо изменяющимся переходом: среднее значение при этом нигде не меняется по величине и только превращается в вероятность, т.е. в априорную возможность. Частица может попасть только в одну из ячеек, т.е. в один из волновых пакетов, но для внешнего наблюдателя это еще не известно. И лишь реальное наблюдение приводит к коллапсу вероятности в одну из ячеек. По нашей предыдущей терминологии попадание частицы в ячейку — это всего лишь символ измерения, или "хинт", т.е. намек на то, что будущее измерение зафиксирует частицу именно в этой ячейке. Явление это скорее информационное, чем динамическое. Соответственно, для того чтобы "пометить" одну из ячеек как "ячейку с частицей", требуется только один бит информации.

Расположение ячеек (рис. 106) и размеры этих ячеек во многом зависят от того, насколько интенсивны внешние возмущения, разрушающие когерентность чистого состояния. Но поскольку -функция вылетающей из радиоактивного ядра частицы прогрессивно распространяется от ядра А в бесконечность, то в реальном мире разрушение когерентности все равно рано или поздно произойдет: если внешние возмущения уменьшать, то ячейки на рис. 106 просто удалятся вправо и станут крупнее. А сама частица рано или поздно все равно попадет в одну из ячеек, и тем самым объективно, т.е. независимо от наблюдателя, коллапс -функции оказывается как бы осуществленным. Последующее измерение сколлапсирует всего лишь вероятность и тем самым подтвердит, что радиоактивный распад произошел и а-частица летит вдоль одного из возможных лучей.

Коллапс волновой функции происходит лишь в один из волновых пакетов, в пределах которого фаза не сильно искажается. Поэтому сначала коллапс -функции, а затем измерение на сравнительно далеком от А расстоянии определяют (приближенно) всю картину исходного вылета частицы из ядра и дальнейшего ее движения вдоль луча. Можно сказать, что коллапс волновой функции происходит сам собой, хотя более логично считать, что он создается "измерением" на очень большом расстоянии от ядра Теперь мы можем представить себе ситуацию, когда "измерение" отодвигается очень далеко, т.е.

практически бесконечно далеко, от и тогда коллапс -функции можно рассматривать как результат измерения, проводимого на бесконечно большом расстоянии в бесконечно будущем времени.

Соответственно, можно сформулировать принцип коллапсирования. Он сходен с принципом излучения в электродинамике. Напомним, что при рассмотрении излучения электромагнитной волны периодическим диполем для получения однозначного решения приходится использовать краевое условие в виде отсутствия опережающей, т.е. приходящей из бесконечности, волны. Принцип этот не универсален: если излучение происходит в замкнутом резонаторе, то, безусловно, следует учитывать обе, уходящую и приходящую на излучатель, волны. Но в открытом пространстве опережающая волна считается отсутствующей, что эквивалентно наличию очень малого затухания волны, т.е. небольшой "затравочной" диссипации. "Отсекание" опережающей волны и делает решение однозначным.

Для квантовой частицы мы также должны наложить условие отсутствия приходящей из бесконечности волны. Но кроме того, мы можем допустить, что на бесконечности происходит "измерение", т.е. коллапс волновой функции. Этот удаленный коллапс приводит к коллапсу -функции в волновой пакет на всем пути движения частицы вдоль луча, на котором эта частица оказалась. Так что результативно само измерение вроде как бы и не требуется.

Принцип коллапсирования мы можем распространить на все квантовые частицы, уходящие от макротел в бесконечность. Тем самым мы как бы утверждаем, что расходящаяся в бесконечность волновая функция не может быть реальным объектом, если эта функция соответствует одной единственной частице. Такая частица должна проявить себя при взаимодействии с внешним миром только в ограниченном объеме, поскольку она соответствует единой сущности.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда граница твердого тела освещается потоком света и отраженные от нее фотоны улетают на бесконечность (рис. 11).

Пусть вся поверхность этого тела зачернена, и только небольшой участок вблизи точки является зеркальным. Этот участок вполне аналогичен радиоактивной метке: отраженные

Рис. 11. На границе твердого тела М с черной поверхностью расположено небольшое зеркало отражающее фотоны. "Измерение" этих фотонов на бесконечности фиксирует координаты точки А. с точностью до длины волны.

от него фотоны могут быть измерены на бесконечности, и внешнее окружение получит информацию о положении точки Соответственно, эта точка будет зафиксирована вне зависимости от того, было ли ее начальное положение неопределенным по классике (т.е. имело некоторое распределение вероятности положения), или оно было неопределенным из-за того, что макротело имело протяженную волновую функцию. В частности, измерительным прибором может служить глаз, и тогда картина выглядит так, как если бы сам наблюдатель осуществил коллапс волновой функции как фотона, так и макротела. Разумеется, коллапс в данном случае никак не связан с наблюдательными и интеллектуальными способностями человека: регистрация отраженного фотона любым прибором приводит в точности к тому же эффекту. Более того, участие этого фотона в любом необратимом процессе, происходящем сколь угодно далеко от можно рассматривать как "измерение", которое сопровождается коллапсом волновой функции.

Допустим теперь, что зеркало А фактически является стрелкой прибора, так что разным координатам положения А, на поверхности тела соответствуют разные величины некоторого физического объекта Если объект квантовый, то и величины могут принимать некоторые дискретные значения. Соответственно, отраженные от А, фотоны, которые могут быть "измерены" где-то на далеком расстоянии от А, приводят к коллапсу - функции зеркала, т.е. стрелки прибора. При этом происходит измерение физической величины при некотором ее значении а результат измерения может быть воспринят внешним миром и при желании "записан" в памяти по отраженному от А, фотону. Нетрудно видеть, что при таком измерении происходят два необратимых процесса. Сначала из-за хаотизации фаз происходит расслоение единого когерентного состояния на множество волновых пакетов. При этом единая -функция оказывается разбитой на куски с небольшим искажением фаз, но частица (фотон) может находиться только в одной из областей когерентности. Волновая функция как бы распадается в набор вероятностей, и только внутри одного из пакетов остается чистое состояние с частицей. Можно сказать, что волновая функция представляет собой нечто более "нежное", чем распределение вероятностей или информации: у разных частей волновой функции чистого состояния имеется еще некоторое "сродство через фазы".

Теперь нетрудно понять, что представляет собой классический мир. А именно, у макроскопических тел большого размера с большой массой даже редкие "измерения" достаточны для того, чтобы локализация их волновых пакетов была ничтожно мала по сравнению с

размерами тела. Такие тела "навечно" приобретают характеристики классических объектов с точно заданными координатами. Классический мир — это мир крупных размеров и больших масс. Соответственно, любые измерения, которые затем воспринимаются классическими объектами, сопровождаются коллапсом волновых функций в соответствии с рецептами квантовой механики. Для редукции волновых пакетов классических тел нашего окружения вполне достаточны те объективно происходящие "измерения", которые осуществляются неравновесным излучением Солнца.

Промежуточный между классическим и квантовым мирами мезомир оказывается гораздо сложнее и гораздо богаче с точки зрения протекающих в нем физических явлений. Тела промежуточного мира обнаруживают как классические, так и квантовые свойства. Мезомир — это мир множества чередующихся коллапсов волновых функций и вероятностей, это мир рождающихся и умирающих когерентностей.

Универсального рецепта для описания мезомира, по-видимому, не существует: слишком уж велико разнообразие конкретных физических условий, в которых возможно сочетание классических и квантовых процессов. Один из возможных подходов мы описали в предыдущем разделе, но их может быть гораздо больше.

В настоящее время кажется более ясным, какие процессы не могут существовать. Так, например, суперпозиции типа шрёдингеровского кота должны быть заведомо запрещены. В самом деле, уже сама регистрация радиоактивного распада исключает возможность его суперпозиции с нераспавшимся ядром. Тем более не может существовать суперпозиция живого и мертвого кота, поскольку живое существо представляет собой макротело, тесно связанное с внешним миром и тем самым подверженное постоянным "измерениям". Как мы видим, логика мезомира исключает очень многие мыслимые, но физически невозможные состояния макромира, когда макротелам могут приписываться широкие когерентные волновые функции, несовместимые с реальными условиями. А в самом мезомире не исключены смешанные, т.е. классически-квантовые состояния и процессы, когда когерентность пакетов может уничтожаться и возрождаться вновь. Именно поэтому мезомир — это очень подвижный и живой мир сложно организованных коллективных явлений.

Вернемся теперь к рис. 11 и рассмотрим более подробно, как "измерения" во внешнем мире могут приводить к локализации волновой функции массивной частицы. Рассмотрим квантовую систему, состоящую из двух частиц — очень массивной частицы с массой М и легкой с массой (рис. 12). Попытаемся выяснить, как измерения, проводимые над легкой частицей, приводят к косвенному

"измерению", т.е. к сжатию волновой функции тяжелой частицы. Пусть волновая функция рассматриваемой системы выглядит как , где радиус-вектор легкой частицы, вектор положения тяжелой частицы. Мы предположим, что "метка" А на рис. 12 соответствует некоторому локальному потенциалу взаимодействия рассматриваемых нами частиц. Допустим, что этот потенциал не только сильно локализован, но и не очень глубок, так что для описания взаимодействия, т.е. рассеяния легкой частицы на тяжелой, можно воспользоваться борновским приближением. Более конкретно, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть на тело М падает плоская волна легкой частицы с зависимостью от координат вида Здесь к; — волновое число падающей волны (см. рис. 12). Мы будем считать, что метка находится вблизи начала координат, так что

Рис. 12. Плоская волна легкой частицы падает на центр рассеяния представляющий собой "метку" тяжелой частицы. Рассеянная волна с волновым вектором падает на прибор Р и там измеряется.

Пусть, например, Тогда падающая волна выглядит, как а рассеянная, — как (мы не учитываем здесь общей временной зависимости типа Если мы теперь сместим центр рассеяния А в точку то падающая волна в точке рассеяния приобретет множитель так что после рассеяния из этой точки в точку прибежит волна Если прибор Р находится очень далеко, то величину в предэкспоненте можно считать равной просто Эта величина для нас несущественна, а вот фазовый множитель мы рассмотрим более подробно. Будем считать, что массивная частица покоится и что рассеяние легкой частицы является упругим, так что Кроме того, чтобы не усложнять выкладок, допустим, что падающая волна распространяется точно вдоль оси х, т.е. имеет вид и что прибор также расположен на этой же оси. Кроме того, допустим, что имеет только две координаты, которые мы обозначим заглавными буквами Считая получаем выражение для фазового множителя рассеянной волны с точностью до

Допустим теперь, что эта волна измеряется прибором Р, т.е. из нее выделяется локализованный по у пакет вида где — ширина локализации пакета. Чтобы "спроектировать" волновую функцию на это состояние, достаточно умножить ее на и проинтегрировать результат по . В результате получаем выражение, пропорциональное экспоненте

Эта экспонента должна умножаться на волновую функцию массивной частицы Как мы видим, измерение легкой частицы автоматически приводит к локализации тяжелой частицы с формфактором Ф. Если не учитывать мнимую часть под знаком экспоненты Ф и сохранить только реальную часть формфактора то его можно представить в виде

где

В приведенных выражениях легко усматриваются два предельных случая: . В первом случае (близко расположенного прибора) имеем т.е. локализация тяжелой частицы в точности совпадает с локализацией легкой частицы. В другом предельном случае, величина где — угол раствора конуса, который "глядит" на прибор со стороны частицы. Так как где к — длина волны, то даже при малых значениях в размер локализации частицы оказывается масштаба длины волны.

Заметим, что полное выражение (149) для Ф содержит еще экспоненту с мнимой фазой, которая при небольших нарушениях когерентности может приводить к дополнительной локализации при но мы пока не будем заниматься столь детальным рассмотрением.

В приведенных рассуждениях мы прибегали к понятию прибора. Но на самом деле он нам совсем не нужен: если локализация легкой частицы происходит где-то во внешнем мире, т.е. при взаимодействии с неизвестным нам "прибором", то этот процесс все равно приведет к локализации волновой функции тяжелой частицы. Если при этом

и угол в мал (но не исчезающе мал), то локализация тяжелой частицы будет масштаба длины волны волновой функции легкой частицы.

С помощью рис. 12 мы рассмотрели локализацию по у, но тот же самый прибор, имеющий конечный размер по осуществляет аналогичную локализацию волновой функции по направлению оси А если повернуть прибор вместе с падающей волной на 90°, то можно осуществить локализацию по оси х. Естественно, что при спонтанно происходящих "измерениях" на многих падающих частицах будет достигаться полная локализация по всем направлениям.

Допустим, что такие "измерения" с разными падающими частицами повторяются одно за другим с некоторой средней частотой так что за большой промежуток времени происходит большое число "измерений". Каждое измерение даст новый множитель в виде формфактора (150), так что после N измерений мы получим множитель Соответственно локализация станет равной При очень большой массе М эта локализация будет продолжаться вплоть до перехода к классическому объекту с вполне определенной классической координатой (и, соответственно, X и . А если масса не очень велика, то процесс локализации будет скомпенсирован обратным расширением волнового пакета между последовательными "измерениями". Поскольку это уширение осуществляется членом с кинетической энергией в уравнении Шрёдингера, то мы можем оценить минимальную локализацию частицы с массой М как

Это выражение и определяет нам условную границу между макро- и мезомирами: если величину с практической точки зрения можно считать равной нулю, то мы имеем дело с макротелом с классическими координатами. В противном случае наряду со свойствами классического объекта тело может проявлять и волновые свойства, т.е. мы имеем дело с объектом мезомира.

Итак, с точки зрения волновых функций, макромир — это мир "окаменелостей": все прошлые "измерения", проведенные над макротелами в предыдущие эпохи, привели к тому, что эти макротела "потеряли" свои былые волновые свойства и стали классическими объектами с четко определенными координатами. При "соприкосновении" с микро- и мезомирами они могут лишь "вспоминать" свою волновую сущность в виде совместного "коллапса" волновой функции

микромира и случайного выбора координаты классического объекта, например в виде показания "стрелки" измерительного устройства. Этот последний процесс также можно описать в рамках модели рассеяния легкой частицы на "метке" схема которой изображена на рис. 12. Для этого требуется лишь, чтобы прибор Р смог различить различные положения метки А, в одном когерентном состоянии. Проще всего это можно сделать, дополняя прибор Р набором коллиматоров с детекторами, чтобы каждая из этих пар была направлена в свою точку с координатой Эти дискретные координаты У,- должны быть подобраны таким образом, чтобы формфакторы для различных положений метки А не перекрывались между собой по координате Тогда первое же срабатывание одного из детекторов измеряет одну из координат У, (с учетом направления на нее соответствующего коллиматора).

Если вместо прибора Р опять выступает внешний мир, то рассеяние одной лишь легкой частицы сразу же приводит к коллапсу волновой функции макрообъекта по координате Если микрочастицу "выпускать" во внешний мир через систему коллиматоров, так что каждый из них направлен только на одно из дискретных положений то каждый коллапс микрочастицы сопровождается коллапсом Повторяя "измерения" многократно, можно установить статистическое распределение координаты Тем самым можно найти матрицу плотности смешанного состояния макрообъекта после "измерения", т.е. разрушения когерентности из-за рассеяния и последующего "выхода" во внешний мир рассеянной микрочастицы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление