Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

32. Коллапсы волновых функций

При объяснении принципов квантовой теории и ее статистического характера (см., например, [51]) нередко используется следующий простой пример. Пусть имеется посеребренная стеклянная пластинка, которая при падении на нее светового пучка пропускает и отражает ровно половину исходной интенсивности. Допустим теперь, что на такую пластинку падает один единственный фотон. Его волновая функция естественно расщепляется на отраженную и проходящую волны. Но если на пути этих волн установить два фотодетектора, то сработает только один из них: фотон окажется либо справа, либо слева от пластинки, т.е. он либо отразится, либо пройдет сквозь пластинку. Регистрация фотона представляет собой случайный процесс с вероятностью регистрации в каждом из детекторов, равной 1/2.

Здесь мы встречаемся с типичным примером коллапса волновой функции (см. [52]). В момент регистрации фотона, точнее, в течение

очень короткого промежутка времени срабатывания фотодетектора, волновая функция фотона уничтожается во всем пространстве вне детектора, а внутри детектора фотон также исчезает, будучи поглощенным.

Легко видеть, что для коллапса волновой функции нет нужды использовать полупрозрачную пластинку. Если на фотодетектор падает монохроматический фотон с очень протяженной волновой функцией, то его поглощение может происходить на малом участке волнового пакета, а уничтожится этот пакет сразу во всем пространстве.

В точности такой же коллапс происходит при падении любой квантовой частицы на необратимую среду, например, на фотопластину, камеру Вильсона или просто газ при комнатной температуре. Частица при этом "регистрируется" внутри среды, а всюду вне области регистрации волновая функция уничтожается. Мы опять встречаемся с типичным примером коллапса волновой функции. Этот процесс называют иногда "стягиванием волновой функции", но такой термин неудачен, так как он может породить представление о каком-то физическом процессе типа "стока" волновой функции к области коллапсирования. Но на самом деле никакого физического стока у волновой функции нет: волновая функция просто-напросто уничтожается вне области "регистрации". Мы примем это утверждение как основной постулат, вытекающий из экспериментальных данных. Тем самым мы придаем волновой функции чисто информационный смысл: волновая функция отлична от нуля только там, где частица может находиться, и она строго равна нулю там, где частица отсутствует. Такой подход находится в полном соответствии с основными принципами атомизма, когда в качестве исходного положения принимается утверждение о сохранении неделимого атома (т.е. частицы) как некоторой сущности.

Коллапс волновой функции не может быть описан в рамках уравнения Шрёдингера, связывающего изменение плотности с некоторыми потоками. При коллапсе никаких таких потоков нет, а происходит просто уничтожение волновой функции как некоторой потенциальной информации вне той области, где частица оказалась вовлеченной в необратимый процесс. Заметим, что такой процесс уничтожения волновой функции в широкой области пространства может отвечать ничтожно малым изменениям физических величин определенных соотношениями где — соответствующие локальные операторы.

Выше мы познакомились с некоторыми примерами коллапса волновых функций: при радиоактивном распаде и при косвенных

"измерениях" в результате коллапсирования волновой функции частицы, улетающей во внешний мир и теряющей там когерентность. Как правило, коллапс относится скорее к вероятностям "ожидания" со стороны внешнего мира, т.е. он фактически соответствует случайному "выпадению" определенного значения той или иной физической величины. Однако его удобнее относить к самой волновой функции. При таком подходе коллапс можно описывать "оператором измерения" М в обобщенном уравнении Шрёдингера (145). Выбранное нами название "оператор измерения" показывает, что этот оператор должен охватывать и процессы квантовых измерений. В последнем случае оператор М совпадает с проекционным оператором оператор Л осуществляет проекцию начального состояния на собственный вектор соответствующий собственному значению измеряемой физической величины Поэтому при обсуждении реальных процессов измерения можно пользоваться проекционными операторами фон Неймана [2]. Однако наша более общая задача состоит не только в описании искусственно проводимых измерений, но и в описании естественно протекающих процессов коллапсирования волновых функций, составляющих вместе с обратимой динамикой согласно уравнению Шрёдингера реально развивающуюся "квантовую историю".

Действие оператора М сводится к случайным переходам волновой функции к новым более локализованным состояниям. Это своего рода последовательное применение проекционных операторов. Каждый из таких проекционных операторов в обозначениях Дирака можно записать в виде где — волновая функция после коллапса. Действие оператора Р выглядит как

если зависит только от одной переменной х. В общем случае действие на т.е. проекция на равна скалярному произведению волновых функций умноженному на волновую функцию Оператор М отличается от Р только тем, что после проектирования волновая функция должна быть нормирована на единицу. Кроме того, оператор М, как правило, представляет собой набор многих случайных проектирований. Поскольку обе функции, эволюционируют с одним и тем же оператором Гамильтона Н, то во многих случаях точный момент времени для применения оператора М не играет роли: в частности, его можно считать примененным из будущего, если в промежутке от данного времени до бесконечности нет других коллапсов.

В этом разделе мы обсудим вопрос о том, какими общими свойствами должен обладать оператор измерения М. Прежде всего отметим, что в уравнении (145) оператор входит в виде слагаемого наряду с кинетической энергией и полной энергией Поэтому оператор М должен иметь размерность энергии, т.е. отношения где некоторое характерное время измерения. Таким образом, вмешательство оператора в эволюцию квантовой частицы в общем случае должно возмущать не только волновую функцию, но и энергию этой частицы. Другими словами, измерение некоторого квантового объекта может сопровождаться обменом энергии с внешним окружением. Однако величина этой энергии может быть исчезающе мала, если либо измерение производится очень долго, либо коллапсирование происходит на столь широкие волновые пакеты, что соответствующим изменением энергии можно пренебречь. Например, при измерении физической величины оператор которой коммутирует с гамильтонианом частицы, возмущения энергии не происходит и соответствующее измерение может происходить без разрушения стационарного состояния.

Самый простой пример измерения физической величины — это эксперимент типа Штерна-Герлаха, когда при пропускании пучка частиц через неоднородное магнитное поле происходит расщепление этого пучка на компоненты, соответствующие разным значениям проекции спина на ось Пусть, например, проекция спина принимает только два значения ±1/2. Тогда на детекторе будет только две линии. Пусть на вход прибора влетает волновой пакет прямоугольной формы по продольной координате Если длина пакета равна то пространственная часть квадрата волновой функции равна Перед падением на детекторы (их в данном случае два) волновой пакет расщепляется на две компоненты с величинами Обозначим через скорость частицы, а через — время регистрации частицы внутри детектора. Если то волновой пакет можно мысленно "нарезать" на слои шириной Очевидно, что каждый из детекторов будет "послойно" анализировать пакет, и с вероятностью один из детекторов зарегистрирует частицу и вместе с тем измерит величину . В данном примере можно считать, что на вход детектора падает вероятность распределения по х, равная так что фактически происходит коллапс вероятностей. Но нет большой ошибки сказать, что каждый из детекторов осуществляет коллапс волновой функции в слой шириной в одном из детекторов, уничтожая всю оставшуюся часть волновой функции. Результат не изменится, если считать, что еще до падения на детектор происходит коллапс волновой функции в

одну из компонент с или а затем уже эта компонента коллапсирует в слой шириной на одном из детекторов. Введение соответствующего оператора в обобщенное уравнение Шрёдингера, позволяет описать коллапс волновой функции как следствие коллапса вероятностей (бросания костей) при информационной связи квантовой частицы с внешним миром.

Рассмотрим теперь, как действует оператор в случае радиоактивного распада. И в этом случае удобнее рассуждать с вероятностями, а не с волновыми функциями. Более того, удобно вместо ввести в рассмотрение очень много одинаковых радиоактивных ядер и рассуждать с числом ядер. Пусть зависимость показывает, как убывает со временем число радиоактивных ядер. Здесь — число ядер в начальный момент, а — константа темпа распада. Выберем некоторый интервал времени и рассмотрим, что происходит с волновыми функциями а-частиц, вылетающих из ядер. Выберем некоторое значение для расстояния от радиоактивного источника и будем считать, что а-частицы "измеряются" за пределами этого радиуса, т.е. попадают в окружение атомов и молекул, в которых они производят неравновесные треки. Пусть — скорость а-частиц. Тогда за время они пройдут расстояние Так как мощность источника равна то в слое объема окажется частиц.

Пусть интервал выбран таким образом, что он соответствует ширине локализации волнового пакета после "измерения". Если и в поперечном направлении ширина локализации имеет порядок то в рассматриваемом слое объема будет ячеек, в одну из которых может попадать каждая из коллапсирующих частиц. В расчете на одну частицу вероятность попадания в ячейку равна

Нетрудно видеть, что в расчете на одну частицу величина равна потоку через поверхность радиуса Поэтому вероятность равна просто Соответственно, оператор можно считать равным формфактору, который коллапсирует частицу в одну из ячеек объема уничтожая -функцию во всех остальных ячейках. Этот процесс можно считать повторяющимся по закону случая вблизи сферы радиуса со средней частотой повторения Если процесс распада является медленным, то сумма вероятностей попадания

во все ячейки объема т.е. может оказаться значительно меньше единицы. Это означает, что процесс коллапсирования вблизи сферы радиуса должен повторяться много раз, прежде чем частица попадет хотя бы в одну из ячеек. Но если она туда попадает, то в ячейке должна быть увеличина до а во всем остальном объеме волновая функция уничтожается.

Пакет, сколлапсированный в объем при дальнейшем удалении от источника будет расплываться, так что при больших временах его поперечная локализация согласно формуле (61) будет изменяться как Что касается радиальной координаты пакета, то она тоже возрастает со временем как так что при больших пакет будет оставаться в пределах конуса размером

Отсюда видно, что выбор довольно произволен: если только До то дальнейшее распространение волновых пакетов мало зависит от величины Более того, картину пакетизации можно представить себе в развитии, обратном по времени, вплоть до масштабов Таким образом, оператор измерения М можно представить себе как случайный выбор волнового пакета с помощью некоторого формфактора, локализованного как вдоль радиуса, так и по углу. При этом не так существенно, в какой именно момент осуществляется сам коллапс: он может лишь быть "намечен" как "тренд" вблизи определенной точки с радиусом а волновой пакет может формироваться со сдвигом во времени, т.е. значительно позднее. Сам "тренд" соответствует одному биту информации о последующем формировании волнового пакета вблизи заданной точки с определенными угловыми координатами и радиальной координатой Соответственно, и оператор "измерения" М допускает свободу в изменении ширины локализации волнового пакета вокруг случайно выбираемых координат его центра.

Реальное "измерение" а-частицы может происходить на довольно большом расстоянии от ядра. Но получаемый при этом волновой пакет можно как бы "спроектировать" на прошлое. Соответственно, коллапс волновой функции можно считать феноменом спонтанного (самопроизвольного) стягивания волновой функции в волновой пакет в "предчувствии" измерения в будущем.

Коллапс—это необратимый процесс, но его развитие во времени не похоже на обычную причинную эволюцию из прошлого в будущее с последовательным прохождением через все промежуточные фазы: для столь подробного описания волновой функции потребовались бы

промежуточные измерения, а они сами уничтожили бы когерентность состояния. Таким образом, оператор в обобщенном уравнении Шрёдингера выглядит значительно сложнее, чем операторы физических величин.

С учетом коллапсов связь между прошлым и будущим может быть сложнее, чем это представляется с точки зрения обычного классического детерминизма. Для ее анализа оказываются удобными упрощенные схемы измерений.

Рассмотрим, например, ЭПР-пару в варианте Бома, когда две частицы со спином приготавливаются в начальный момент в синглетном состоянии, а затем они разлетаются в разные стороны на большое расстояние друг от друга. Допустим теперь, что в момент первой частицы измеряется х-компонента спина и это измерение дает значение Это означает, что в силу корреляции у второй частицы происходит коллапс в состояние с Поскольку у наблюдателя нет возможности управлять выбором величины и значения выпадают совершенно случайно, то коллапс второго спина нельзя использовать для мгновенной передачи информации от первого наблюдателя ко второму. Пусть теперь второй наблюдатель измеряет компоненту и с вероятностью 1/2 получает значение Соответственно, в коррелированной ЭПР-паре это измерение привело бы к редукции состояния первой частицы . Если оба наблюдателя находятся недалеко друг от друга, то коллапс волновых функций будет создаваться первым по времени измерением. Однако при большом удалении частиц друг от друга понятие одновременности теряет абсолютный смысл: в лоренц-инвариантной теории порядок событий на пространственноподобной плоскости зависит от скорости системы координат.

Возникает вопрос, как процессы редукции волновых функций могут быть совместимы с лоренц-инвариантностью. Рассмотрим его несколько более подробно. Начнем с измерения первой частицы в момент времени Это измерение автоматически приводит к второй частицы. Поскольку над второй частицей никаких действий не совершалось, то представляется естественным, что значение спина второй частицы является вполне определенным не только при временах, больших но и при Другими словами, измерение не только позволяет предсказать величину будущего измерения но и удостоверяет величину в прошлом. Но аналогичное рассуждение можно распространить и на измерение спина второй частицы. А именно, измеренное значение означает в силу корреляции, что принимает

достоверное значение как после измерения так и до проведения этого измерения. Теперь мы, казалось бы, приходим к некоторому парадоксу. А именно, если измерено первым, то спин второй частицы принимает значение а последующее измерение разрушает когерентность и корреляцию ЭПР-пары. А если первым по времени измерено то у первой частицы автоматически устанавливается значение и последующее измерение разрушает корреляцию ЭПР-пары. Что же касается последовательности измерений, то она может быть разной в разных лоренц-инвариантных системах координат. Поэтому не ясно, какой сценарий является истинным.

Но на самом деле здесь большого противоречия нет. Дело в том, что промежуточные коррелированные состояния типа являются только возможными, но не реально измеренными состояниями. Реально же измеренное состояние с не сохраняет корреляции ЭПР-пары, хотя на первый взгляд операторы кажутся коммутирующими, т.е. одновременно измеримыми. На самом деле, измерение одного оператора вносит возмущение в измерение второго именно из-за наличия корреляции (см. по этому поводу статью [36]). Поэтому измерения будут давать некоррелированные пары без всякой причинной связи между измерениями.

Вернемся теперь к коррелированным измерениям типа . Здесь мы имеем жесткую корреляцию. Поэтому совершенно безразлично, какое из измерений проводится первым: второе оказывается определенным как вперед, так и назад по времени. Второе измерение раскрывает лишь результат заранее предопределенный либо прошлым, либо будущим измерением над первой частицей. Разумеется, здесь совершенно условно можно говорить о первой и второй частицах — обе они эквивалентны. Поэтому в случае измерения более логично считать, что выбор является совершенно спонтанным, т.е. произошедшим еще до реального проведенного измерения. Но еще более логично следует считать, что мы имеем пока только хинт-символ измерения, который еще не превратился в реальный результат измерения. Только сам акт измерения осуществляет выбор значений Ситуация здесь сходна с радиоактивным распадом: ЭПР-пара как бы самопроизвольно выбирает поляризацию, согласованную с приборами. Эта поляризация и фиксируется затем приборами.

Следует подчеркнуть, что во всех трех рассмотренных случаях, — измерении в ЭПР-паре, радиоактивном распаде и коллапсе волновой функции тяжелой частицы при косвенном "измерении" из-за

улетающей в бесконечность коррелированной легкой частицы, — никакого энергетического возмущения извне не вносится. Достаточно считать, что где-то во внешнем мире появляется один бит информации, что вполне совместимо с неравновесностью внешнего мира. Если же ограничиться чисто локальным рассмотрением, то соответствующий коллапс можно считать спонтанным. Его можно описывать оператором "измерения" М в обобщенном уравнении Шрёдингера. Этот оператор можно считать случайным с не очень точным указанием момента времени, когда он осуществляет коллапс.

Рассмотрим теперь несколько более сложный пример системы многих частиц, а именно, разреженный газ "классических" частиц. Допустим, что газ из атомов (или молекул) с плотностью находится при температуре Т. Пусть а — поперечное сечение столкновений между частицами, так что величина характеризует средний размер атома, а величина представляет собой среднюю длину свободного пробега. У разреженного газа параметр плотности представляет собой очень малую величину: . Допустим, что в начальный момент газ является классическим, т.е. средний размер локализации волновых функций, который мы обозначим через заметно меньше среднего расстояния между атомами Тогда газ можно считать состоящим из множества отдельных волновых пакетов. Попробуем понять, что будет происходить с этими волновыми пакетами, и может ли начальная картина раздельных волновых пакетов сохраниться в последующем.

Пусть представляет собой среднюю тепловую скорость. Величина

равна среднему времени между парными столкновениями атомов между собой. Выберем произвольный волновой пакет и рассмотрим, что с ним будет происходить. Если в начальный момент величина была меньше и это неравенство сохраняется в течение времени то волновой пакет будет эволюционировать как классическая частица, сталкиваясь и рассеиваясь на других атомах с частотой . Таким образом, через время начальный волновой пакет исчезает, превращаясь в рассеянную волну. А если то начальный пакет также исчезнет за время но превратится не в одну, а в рассеянных волн, поскольку на длине к исходный пакет встретит различных атомов. Во втором случае, отдельные рассеянные волны потеряют взаимную когерентность, и исходный атом с вероятностью попадет в одну из рассеянных волн. А в первом

случае, при первом рассеянии пакет может еще сохранить свою индивидуальность, но уже при небольшом числе последующих столкновений рассеянная волна станет настолько сложной формы, что когерентность между ее отдельными участками будет полностью потеряна. Частица при этом опять сможет попасть только в один из рассеянных пакетов.

Итак, мы можем сделать вывод о том, что в последующей эволюции газа должна сохраниться его "пакетная структура". Нетрудно также оценить размеры установившихся (в среднем) волновых пакетов. Для этого можно воспользоваться соотношением неопределенностей. Пусть b — пространственная локализация пакета. Тогда неопределенность скоростей составляет величину Средний размер пакета не сильно изменится за время между столкновениями если Отсюда находим

где мы обозначили величину порядка де-бройлевской длины волны атома, движущегося с тепловой скоростью.

Давайте оценим величину (152) для воздуха при атмосферном давлении. Подставляя (в системе получаем приближенно Эта величина несколько меньше среднего расстояния между атомами . Как мы видим, воздух можно условно считать газом классических частиц, в том смысле, что эффективные размеры волновых пакетов молекул азота и кислорода не превышают среднего расстояния между молекулами.

В наших рассуждениях мы не учитывали, что для тождественных бозе-частиц волновая функция должна быть симметризована по всем молекулам. Но это обстоятельство не очень сильно влияет на наши выводы, если действительно Благодаря тождественности частиц волновой пакет одной частицы не отличим от волнового пакета второй сталкивающейся частицы, но пакетизированная структура газа при этом все равно сохраняется.

В наших рассуждениях ключевым моментом является исходное положение, что частица может попадать только в одну из составных взаимно некоррелированных частей сложного волнового пакета. Именно это положение и лежит в основе статистической интерпретации квадрата волновой функции Превращение одного пакета в набор некоррелированных пакетов равносильно превращению чистого состояния в смешанное, т.е. как бы превращению волновой

функции в вероятности. Для внешнего мира обсуждаемый нами переход частицы в одну из составных частей пакета не является наблюдаемым. Следовательно, хотя внутри газа и происходит эволюция волновых пакетов с соответствующими коллапсами, во внешнем мире они могут проявляться только в виде вероятностей, которые должны описываться статистически с помощью матрицы плотности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление