Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

37. Броуновское движение квантовой частицы

В разделе 30 мы познакомились с возможностью описания стохастического движения частицы с помощью случайной волновой функции. Здесь мы рассмотрим применение этого метода к броуновской частице.

Броуновское движение квантовой частицы рассматривалось многими авторами (см., например, [73-76] и цитируемую там литературу). Соответствующий математический аппарат достаточно сложен, а по своему духу он ближе к операторному, т.е. к представлению Гейзенберга. В рамках такого подхода трудно охватить такие постановки экспериментов, когда начальное состояние квантовой броуновской частицы описывается заданным протяженной в пространстве волновой функцией. Поэтому нахождение более простого и наглядного способа описания броуновского движения квантовой частицы, безусловно, представляет интерес.

Для описания броуновского движения квантовой частицы можно составить уравнение Ланжевена для оператора координаты (см., например, [76]). Но более привлекательным и наглядным кажется волновое описание. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли составить уравнение типа Ланжевена непосредственно для волновой функции

тяжелой частицы с координатами Другими словами, нельзя ли ввести в рассмотрение случайную волновую функцию, для которой можно было бы составить некоторое феноменологическое уравнение, аналогичное уравнению Ланжевена (79) для случайной скорости классической частицы.

Естественно предположить, что такое уравнение является некоторым обобщением уравнения Шрёдингера. В соответствии с этим предположим, что волновая функция тяжелой частицы удовлетворяет уравнению

где К — некоторый случайный оператор, описывающий случайные толчки со стороны атомов газа.

Постараемся теперь понять, как устроен оператор К. Начнем с качественного рассмотрения. Допустим, что рассматриваемая нами частица испытала один единственный толчок с переданным импульсом Результат такого толчка можно учесть мгновенным умножением волновой функции на множитель вида Очевидно, что толчок от одной из молекул газа не может иметь место в широкой области пространства, поскольку движение молекул газа декогерентно, т.е. сильно хаотизировано. Чтобы тяжелая частица могла воспринять этот импульс как единое целое, волновую функцию тяжелой частицы следует уничтожить за пределами той области, где этот импульс был передан. Стало быть, оператор К для многих толчков должен иметь слагаемые вида

Здесь — момент толчка, — импульс, передаваемый толчком номера а — форм-фактор, который описывает коллапс волновой функции вблизи некоторой случайной точки Положения с различными номерами N должны быть коррелированы между собой, а распределение толчков по времени можно считать пуассоновским.

Пусть х есть среднее время между толчками. Вероятность того, что за время - после толчка с номером N не произойдет последующего толчка, равна . А вероятность того, что следующий за толчок произойдет в интервале равнар

С точки зрения молекул газа появление фактора естественнее всего приписать убыванию амплитуды волновой функции тяжелой

частицы по закону Поэтому случайный оператор К мы представим в виде

Мы пришли к уравнению (172), напоминающему уравнение Ланжевена (79). Оператор (174) является аналогом случайной силы Первое слагаемое в (174) описывает монотонное убывание волновой функции со временем: это аналог силы трения в классическом уравнении Ланжевена. А второе слагаемое в (174) описывает случайные точки со стороны молекул газа. Такие толчки как бы перебрасывают частицу (вместе с молекулами газа) из одного гильбертова пространства в другое, и поэтому данный подход напоминает теорию Мачида, Намики [77, 78] с использованием многогильбертовых пространств, но не совпадает с этой теорией (поскольку он предполагает наличие коллапсов в индивидуальных событиях). Затухание волновой функции, описываемое первым слагаемым в (174), явно учитывает исчезновение когерентности. Оно сходно с феноменологически вводимым поглощением волновой функции нейтрона в оптической модели ядра.

Чтобы найти форм-фактор нужно знать, как устроены волновые функции молекул газа. Как было показано выше, волновую функцию атома газа можно описать как волновой пакет, движущийся вдоль прямых отрезков между последовательными случайными столкновениями с другими атомами. При каждом таком рассеянии происходит дополнительное "поджатие" волнового пакета. Зная форму волновых пакетов легких частиц, можно попытаться найти форм-фактор в соотношении (174). При этом случай тяжелой частицы оказывается более простым в рассмотрении, поскольку траектория такой частицы изменяется очень медленно под действием ударов легких частиц.

Пусть тяжелая частица с массой М находится в газе легких атомов с массой . Размеры тяжелой частицы считаем значительно меньшими, чем длина свободного пробега легких атомов. Координаты тяжелой частицы обозначим через и будем считать, что тяжелая частица находится вблизи начала координат. Начнем с нулевого приближения по малому параметру допуская, что тяжелая частица остается неподвижной в течение некоторого времени.

Рассмотрим одну из легких частиц. Вследствие взаимодействия с тяжелой частицей легкая частица испытывает рассеяние. Пусть волновая функция налетающей частицы описывается волновым пакетом, близким к плоской волне вида , где к, — начальный

волновой вектор (нормировку волновых функций мы пока не учитываем). Тогда в предположении сферически симметричного рассеяния (-волны) волновую функцию рассеянной волны можно представить в виде

Здесь а — амплитуда рассеянной волны, — фаза, а волновой вектор упруго рассеянной волны можно считать равным где В точке рассеяния, фаза рассеянной волны должна совпадать с фазой налетающей волны, т.е.

Переходя к учету всех частиц газа, сформулируем гипотезу молекулярного хаоса. Во-первых, как и в классическом случае, будем считать, что перед рассеянием тяжелая и легкая частицы не коррелированы между собой. А во-вторых, допустим, что после взаимодействия волновая функция рассеянной частицы испытывает эффект декогерентности из-за рассеяний на других атомах газа (температуру газа предполагаем достаточно высокой). А именно, учтем, что вследствие рассеяния на других атомах волновая функция данного атома становится структурно все более сложной. В конце концов она распадается на некогерентные пакеты, и мы предположим, что данная частица попадает только в один из таких пакетов: происходит коллапс волновой функции. Другими словами, необратимое разрушение когерентности волновой функции условимся описывать в виде совокупности случайных ее коллапсов.

Рассмотрим теперь, что происходит с волновой функцией тяжелой частицы. Допустим, что коллапс рассеянной волны легкой частицы произошел на расстоянии от начала координат, вблизи которого располагается тяжелая частица. Направим ось X вдоль этого направления. При волновую функцию рассеянной частицы можно приближенно представить в виде

Мы учли здесь, что

Пусть в результате декогерентности из функции (176) выделяется (коллапсирует) локализованный по y, z волновой пакет вида где b — ширина локализации пакета. "Спроектируем" рассеянную волну на сколлапсированное состояние Для этого умножим (176) на и усредним результат

по у, z. Эта процедура приводит к выражению

Но ведь суммарная волновая функция тяжелой и легкой частицы выглядит как . Поэтому коллапс по автоматически приводит к "коллапсированию" волновой функции тяжелой и легкой частицы с форм-фактором (177). Мы имеем как бы пару коррелированных частиц мысленного эксперимента Эйнштейна-Подольского-Розена. Можно сказать, что в результате коллапса рассеянной частицы волновая функция тяжелой частицы (в данном подансамбле) сжимается вдоль направлений с форм-фактором (177).

Естественно считать, что длина на которой происходит коллапс легкой частицы, имеет характерный размер длины свободного пробега легкой частицы в газе легких атомов. Что касается ширины локализации то она оказывается порядка где — средняя длина волны де Бройля атомов газа. Так что формально . Но чтобы не усложнять последующих формул, положим в допуская тем самым несколько более щирокие "затравочные" коллапсы.

Форм-фактор (177) можно дополнительно упростить, принимая во внимание следующее обстоятельство. Ось X была выбрана нами случайно: в общем случае локализация волновой функции легкой частицы может происходить по любому из направлений. Поэтому в среднем, для любого из коллапсов, величину следует заменить на Таким образом, получаем приближенно:

В выражении (178) вектор представляет собой текущий радиус-вектор тяжелой частицы в той системе координат, где коллапс происходит вблизи

Первый член под экспонентой выражения (178) описывает просто передачу импульса: легкая частица изменяет свой импульс на величину а тяжелая частица испытывает "отдачу", равную Второй член в экспоненте (178) отвечает фактору в соотношении (174) и показывает, что коллапс волновой функции легкой частицы сопровождается аналогичным коллапсом волновой функции тяжелой частицы. Таким образом, "молекулярный хаос" в квантовом случае не только приводит к случайным толчкам со стороны ударяющих частиц,

но и обеспечивает коллапсирование волновой функции тяжелой частицы, придавая ей черты классического поведения.

Первый же коллапс волновой функции рассеянной легкой частицы приводит к локализации волновой функции тяжелой частицы с формфактором (178), т. е. в размерах порядка Последующие коллапсы рассеянных легких частиц могут приводить к дополнительной локализации волновой функции тяжелой частицы. Как это происходит, мы выясним несколько позже. А сейчас рассмотрим вопрос о том, как следует описывать движение квантовой частицы в рамках очень неточных наблюдений, когда разрешающая способность приборов не достаточна для того, чтобы "заглянуть внутрь" волнового пакета. Естественно допустить, что такое описание должно быть близким к классическому.

Итак, пусть масштабы броуновского движения частицы существенно превышают размеры локализации ее волнового пакета. Тогда движение пакета можно описывать с помощью координат "центра масс" пакета, и средней скорости Они определяются с помощью соотношений:

где — волновая функция тяжелой частицы.

Случайные толчки со стороны легких частиц приводят к тому, что становятся случайными функциями времени, требующими статистического описания. В приближении, близком к классическому, эффект от толчков можно описать с помощью уравнений

со случайной силой

Таким образом, мы приходим к классическому уравнению Ланжевена (79). Квантовые свойства такой частицы описываются недиагональными элементами матрицы плотности

Здесь — волновая функция, а угловые скобки означают усреднение по статистическому ансамблю.

Оказывается, что для описания статистических свойств почти свободной квантовой частицы удобнее пользоваться не обычной

матрицей плотности, а несколько видоизмененным ее представлением.

Рассмотрим уравнение Шрёдингера для волновой функции свободной тяжелой частицы:

Допустим, что волновая функция близка к плоской волне, так что где К — волновой вектор, — частота. Функция представляет собой огибающую, которую можно считать медленно зависящей от После подстановки выражения для в уравнение (183) получим

где

При получаем уравнение для свободного переноса амплитуды А со скоростью V. Если мы имеем суперпозицию волновых пакетов с различными волновыми векторами, то каждому значению К можно сопоставить свою амплитуду, так что амплитуду А можно считать функцией вида Уравнение (184) относится к любой из этих амплитуд.

Составим матрицу вида

С помощью уравнения (184) получаем

Введем в рассмотрение новые переменные:

Тогда уравнение (186) в этих переменных запишется в виде

Пусть является достаточно плавной функцией Тогда в уравнении (189) можно положить и пренебречь правой частью. Положим Тогда согласно уравнению (189) функция распределения удовлетворяет уравнению свободного движения

А для функции (используя метод разделения переменных) находим:

где мы положили

Теперь нетрудно видеть, что является аналогом функции Вигнера, т.е. матрицы плотности в смешанном представлении. Если в уравнении (191) волновые векторы К и Кзаменить, соответственно, на операторы а затем перейти от К, К представления (импульсного представления) к обычному, то получим

Как мы видим, в отсутствие коллапсов, функция удовлетворяет уравнению Шрёдингера свободного движения.

Итак, мы можем представить матрицу распределения в виде

Здесь функция распределения соответствует диагональной части матрицы распределения. А фактор с нормировкой описывает недиагональные члены матрицы распределения (т.е. матрицы плотности огибающих).

Рассмотрим вопрос об описании недиагональных элементов матрицы распределения (или матрицы плотности огибающих). В случае в экспоненте форм-фактора (178) первое слагаемое можно не учитывать в течение некоторого промежутка времени, а тяжелую частицу в начальном состоянии можно считать неподвижной. Пусть начальная волновая функция равна Тогда начальная матрица распределения (при совпадает с начальной матрицей плотности и обе они пропорциональны произведению Соответственно, функция распределения начального состояния равна а диагональная часть матрицы плотности Поскольку скорость V некоторое время

остается равной нулю, то обсудим сначала только координатную часть матрицы распределения.

Первый же коллапс рассеянной легкой частицы приводит к локализации волновой функции тяжелой частицы с профилем (178), если этот коллапс произошел вблизи Таким образом, внутри рассматриваемого подансамбля с коллапсированной волновой функцией, после первого коллапса получаем

Здесь А — некоторый нормировочный множитель. С помощью (194) нетрудно найти матрицу плотности сколлапсированного подансамбля:

Здесь мы использовали обозначение Как мы видим, распадается на два множителя: диагональный и недиагональный Диагональный множитель соответствует тому случайному факту, что мы выбрали подансамбль, соответствующий коллапсу вблизи . В принципе, такая локализация может происходить вблизи любой точки Если оставаться внутри исходного ансамбля, то выражение (195) следовало бы усреднить по всем возможным положениям коллапса с весом пропорциональным Следовательно, первые же коллапсы превращают матрицу плотности в выражение

Здесь недиагональная часть матрицы плотности описывается функцией

где .

Функция описывает фактически те волновые пакеты, на которые разбивается начальная волновая функция тяжелой частицы в результате коллапсирования волновых функций легких частиц.

Последующие коллапсы волновых функций легких частиц будут приводить к монотонному убыванию А со временем. Чтобы понять, как это происходит, выберем подансамбль с начальной волновой

функцией (194). Центры последующих коллапсов могли бы быть слегка сдвинуты относительно начала координат, но поскольку мы интересуемся недиагональной частью матрицы плотности, мы пренебрежем этим эффектом. А именно, предполагая, что центры последующих коллапсов выбираются пропорционально на предыдущем шаге, будем считать, что все последующие коллапсы центрированы около начала координат. В этом приближении каждый новый коллапс добавляет множитель вида (194). Допустим для простоты, что сечения рассеяния легкой частицы на тяжелой и легкой частицы на легкой равны между собой. Тогда среднее время между коллапсами будет равно Здесь а — поперечное сечение такого рассеяния, плотность легких частиц, их тепловая скорость.

Если каждый коллапс добавляет множитель вида (194), то волновой пакет будет со временем стягиваться в точку по закону

Здесь — некоторый нормировочный множитель, зависящий от выбора подансамбля. Введем обозначение . Согласно (198) имеем

где Мы допустим, что Если локализация волновой функции тяжелой частицы становится достаточно узкой, то нужно учитывать кинетическую энергию частицы. Для этого можно составить обобщенное уравнение Шрёдингера с учетом коллапсов:

Это уравнение отличается от (199) только учетом оператора кинетической энергии. Как мы видим, уравнение (200) соответствует квантовому осциллятору с мнимым коэффициентом упругости.

При больших временах установившееся решение уравнения (200) можно искать в виде Подставляя это выражение в (200), получим

где мы положили чтобы частота была чисто действительной величиной.

Зная Л, мы можем оценить добавку к кинетической энергии тяжелой частицы, возникающую вследствие коллапсирования ее волновой функции. Величина может быть значительно меньше величины т.е. средней передаваемой энергии при рассеянии легкой частицы на тяжелой. Это значит, что при рассмотрении процессов коллапсирования с можно не обременять себя учетом соответствующего баланса энергии.

Учтем теперь первый член под знаком экспоненты в форм-факторе (178). Он описывает передачу импульса тяжелой частице от рассеянных легких частиц. Под действием толчков волновой пакет тяжелой частицы должен приходить в движение. Волновая функция движущегося пакета выглядит как

Здесь — радиус-вектор "центра тяжести" пакета, — его скорость, — волновой вектор. Как мы видим, волновая функция имеет "индексы", равные а экспоненту можно рассматривать как огибающую плоской волны. Зная вид волновой функции, мы можем ввести в рассмотрение матрицу распределения

Здесь — функция распределения, соответствующая диагональной части матрицы распределения, а недиагональный фактор описывает волновые пакеты. Если функция распределения слабо меняется на размерах масштаба ширины локализации волнового пакета, то для описания эволюции можно использовать кинетическое уравнение. А недиагональный фактор дается выражением (197), где ширина локализации является функцией времени.

Согласно соотношению (198) размер пакета убывает со временем по закону пока не достигнет стационарного значения Величина согласно соотношению (201) имеет порядок величины При увеличении М локализация тяжелой частицы стремится к нулю: мы получаем переход к классической частице. "Внутренние измерения" в газе сами собой проводят к классическому поведению массивных частиц. Соотношение (201) получено нами в предположении, что сечение рассеяния а атома на атоме совпадает с сечением рассеяния атома на броуновской частице. Если а, то величину х в уравнении (199) следует увеличить в раз, так что установившаяся ширина волнового пакета броуновской частицы уменьшается по сравнению со значением (201) в раз.

Разумеется, соотношением (201) можно пользоваться только для частиц малого размера, так что

Итак, для описания поведения тяжелой частицы оказывается удобным несколько видоизменить метод матрицы плотности. А именно, здесь вводится матрица плотности для огибающих волновых пакетов. Чтобы не смешивать ее с обычной матрицей плотности, она называется матрицей распределения. Уравнение для матрицы распределения (185) в случае плавного распределения ее диагональных элементов естественно распадается на два независимых уравнения. Диагональная ее часть соответствует функции распределения, удовлетворяющей кинетическому уравнению, а недиагональная часть соответствует форм-фактору волновых пакетов. Гипотеза о квантовом молекулярном хаосе приводит к уравнению (200), описывающему эволюцию волнового пакета. Согласно этому уравнению последующие коллапсы приводят к большей локализации пакета, а сам пакет имеет гауссово распределение в пространстве.

Соответственно, мы приходим к следующему сценарию движения квантовой броуновской частицы. При любом начальном состоянии, в том числе когерентном, частица эволюционирует в соответствии с уравнением Шрёдингера с поглощением, описывающим исчезновение когерентности. На этом фоне возникают коллапсы волновой функции в любом конкретном представителе статистического ансамбля. Первый же коллапс в каждом данном представителе ансамбля уничтожает начальную волновую функцию и порождает волновой пакет с размером где — длина пробега легких частиц, а — их средняя длина волны де Бройля. Последующие коллапсы дополнительно уменьшают недиагональные члены матрицы распределения, но статистическое поведение броуновской частицы определяется уже не не диагональной частью, а классическим кинетическим уравнением для функции распределения, т.е. диагональной частью матрицы распределения.

Таким образом, общая картина броуновского движения квантовой частицы, вытекающая из гипотезы о квантовом молекулярном хаосе, кажется вполне естественной. Она позволяет описать многие конкретные примеры необратимых квантовых процессов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление