Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

38. Молекулярный хаос

Выше мы привели качественные аргументы в пользу рассмотрения декогерентности волновых функций в газе как своего рода "скрытых или внутренних измерений". На примере броуновской частицы было показано, как такую декогерентность можно описывать на языке

уравнения Ланжевена для случайной волновой функции. Теперь наша задача состоит в более точном описании волновых функций атомов газа. Фактически, мы должны найти подходящий метод для описания квантового хаоса в газе. К такому описанию мы будем подходить шаг за шагом, начиная с более простых теоретических моделей.

Разреженный газ квантовых частиц со слабым взаимодействием можно рассматривать как своего рода квантовый ансамбль. Допустим, что мы имеем ансамбль совершенно одинаково приготовленных изолированных систем. Квантовой теорией такой ансамбль называется чистым. Ясно, что все представители такого ансамбля эволюционируют в точности одинаковым образом и притом совершенно обратимо по времени. Совсем другая картина возникает в том случае, когда системы не изолированы от внешнего мира. В случае классического газа неизолированность означает просто возможность неупругих столкновений молекул газа со стенками. Неупругие столкновения приводят к силам вязкого трения газа о стенки. Эти силы производят дополнительное затухание звуковых волн, и согласно флуктуационно-диссипационной теореме приповерхностный слой газа должен генерировать дополнительный звуковой шум. Такой шум практически никак не участвует в энергетике газа, но приводит к малым относительным смещениям молекул газа, т.е. к своеобразному "сбою фаз". Парные столкновения быстро, по закону наращивают возмущения со временем. В результате, ансамбль систем становится как бы "смешанным": его отдельные представители эволюционируют по разным траекториям фазового пространства. Соответственно, обратимость по времени полностью исчезает и описывать такой ансамбль можно лишь статистически.

Попытаемся, тем не менее, описать такой газ с позиций квантовой механики. В случае чистого ансамбля такое описание не представляет принципиальных трудностей: достаточно лишь составить уравнение Шрёдингера для всей системы, а затем попытаться решать его тем или иным способом. Однако взаимодействие системы с окружением должно резко изменить картину эволюции. Если воспользоваться знаменитым "принципом соответствия", то мы должны постулировать, что даже слабая декогерентность должна сильно повлиять на эволюцию системы. Для каждой отдельной молекулы эта эволюция выглядит как цепь последовательных рассеяний. Чтобы внешнее влияние на рассеянные волны могло быть достаточно сильным, нужно предположить, что фазы отдельных рассеянных волн "сбиваются" и частица попадает только в одну из рассеянных волн. Как известно, такой процесс принято называть "коллапсом" волновой функции У разных представителей статистического ансамбля

коллапсы различаются, следуя принципу вероятностей Именно из-за коллапсов чистый квантовый ансамбль превращается в смешанный. Универсальный подход к описанию таких необратимых смешанных ансамблей пока недостаточно развит, поэтому мы используем здесь некоторые приближенные методы, опираясь в значительной мере на качественные соображения. Главное наше допущение состоит в том, что каждой молекуле или атому газа следует приписать волновую функцию в виде некоторого компактного волнового пакета. Наша задача состоит в описании поступательного движения таких пакетов, их рассеяния друг на друге и поддержания определенных размеров и формы волновых пакетов [79].

Описание газа в терминах волновых пакетов естественно начать с рассмотрения одиночного пакета. Можно предположить, что размеры и форма волновых пакетов должны определяться естественными процессами взаимодействия между молекулами или атомами газа. Но стартовать удобно с некоторой заданной извне канонической формы волнового пакета, в качестве которой мы примем функцию вида

Для простоты мы ограничиваемся здесь одномерным случаем. Координата х отсчитывается от центра волнового пакета. Величина характеризует размер волнового пакета вдоль оси х, а ко — некоторое усредненное волновое число.

Преобразованием Фурье по х нетрудно найти форму пакета в пространстве волновых чисел:

Величина характеризует скорость волнового пакета. Допустим, что распределение по скоростям волновых пакетов имеет вид распределения Максвелла с температурой Т:

где В — фактор нормировки.

Если квадрат волновой функции (205) умножить на функцию распределения (206), и усреднить результат по то мы получим выражение для диагональных элементов матрицы плотности

где величина определяется соотношением

Соотношение (208) можно интерпретировать следующим образом. Величина Т представляет собой истинную температуру свободной частицы, соответствующую температуре движущихся волновых пакетов, а выражение отвечает как бы удвоенной "внутренней" энергии волнового пакета. Эта энергия положительна, так что волновой пакет сам по себе распадается со временем и требуется некоторое воздействие извне, чтобы поддерживать равновесные размеры пакета. Как мы увидим, такое воздействие осуществляется последовательными коллапсами волновых функций.

Рассмотрим разреженный газ в условиях, когда поведение молекул или атомов газа близко к классическому. Более конкретно, мы предположим, что , где — величина, характеризующая размер молекулы. Кроме того, условимся считать , где — де-бройлевская длина волны, — тепловая скорость.

Предположим, что в начальном состоянии при волновые функции молекул выглядят как волновые пакеты типа (204). Выберем некоторую пробную частицу и проследим за ее эволюцией. Допустим, что ширина пакета Л не очень мала, а именно В этом случае квантовомеханическое расплывание волнового пакета за время свободного пробега оказывается не больше .

За время пакет со средней скоростью последовательно покрывает собой область за областью с общим объемом порядка В этом объеме находится частиц. Будем считать, что Можно сказать, что за время рассматриваемый нами волновой пакет испытывает рассеяний, причем рассеянные волны заполняют объем За последующие промежутки времени порядка волны перерассеиваются, так что создается чрезвычайно сложная картина волнового поля. Если рассматриваемая нами система является изолированной, т.е. не подверженной никаким возмущениям извне, то соответствующая сложно организованная волновая функция отвечает когерентному состоянию. Это состояние, хотя и является очень зыбким и нежным, должно быть обратимым во времени: при обращении времени в любой момент система должна вернуться в начальное состояние. Это значит, что в обращенной по времени системе все ранее расходящиеся рассеянные волны должны превратиться в сходящиеся волны, притом "настроенные" настолько точно, чтобы в конце концов они могли "слиться" в исходные

волновые пакеты при Соответственно, следует считать, что в любой установившейся картине когерентного состояния, при должны в равной мере присутствовать расходящиеся и сходящиеся волны.

Допустим теперь, что рассматриваемый нами газ начинает взаимодействовать с окружением вследствие неупругих столкновений молекул газа со стенками, имеющими ту же самую температуру Т, что и газ. Стенки, как мы знаем, создают тепловой шум, который со скоростью звука распространяется внутрь объема. Этот шум наверняка приведет к разрушению нежной картины когерентного состояния. Прежде всего, он собьет фазы у бывших сходящихся волн, так что останутся только рассеянные расходящиеся волны. Одно только это обстоятельство приводит к разрушению обратимости. Но на самом деле вмешательство окружения оказывается гораздо более сильным, и это можно пояснить следующим образом.

Как мы установили выше, исходный волновой пакет создает на длине свободного пробега N рассеянных волн. Слабое внешнее возмущение может легко сбить фазы между волнами, а сама микрочастица в силу ее неделимости сможет оказаться только в одной из этих волн. Но и фазы отдельных участков избранной рассеянной волны могут быть легко сбиты, так что частица может очутиться только в одном из небольших участков рассеянной волны. Происходит коллапс волновой функции в новый волновой пакет. Трудно сказать, в какой именно момент времени происходит коллапсирование, но если вернуться в прошлое вдоль траектории вновь возникшего пакета, то можно найти тот небольшой объемчик, где произошло рассеяние. Так что с точки зрения последующей эволюции волновой функции этот коллапс можно условно отнести к моменту рассеяния.

Пусть перед коллапсом волновой вектор пакета был равен а после коллапса — Можно сказать, что частица со скоростью рассеялась в направлении скорости Процесс этот чисто случайный, так что волновая функция в виде набора волновых пакетов также является случайной. Если выбор вероятностей образования пакетов следует закону то статистическое описание процессов рассеяния и коллапсирования автоматически приведет к уравнению Больцмана с вероятностями переходов, рассчитываемых по правилам квантовой теории.

Для нас больший интерес представляет динамика волновых пакетов. Рассмотрим временную историю некоторого волнового пакета наугад выбранной пробной частицы. Траектория такого пакета выглядит как ломаная линия, состоящая из прямолинейных отрезков, имеющих в среднем длину к. Случайные изломы определяются

ляются вероятностями рассеяния. После каждого из изломов происходит коллапс волновой функции к форме, близкой к (204). Для получения качественной картины процесс дискретных коллапсов можно заменить на непрерывное коллапсирование. Кроме того, удобно ограничиться одномерным случаем и рассматривать коллапсы в системе координат с осью х, направленной вдоль движения пакета (на каждом из отрезков траектории нужна своя система координат).

В этом приближении коллапсирование можно описать множителем типа на который нужно умножить волновую функцию частицы. Здесь через b мы обозначили ширину форм-фактора коллапсирования. За время происходит как бы коллапсов с суммарным форм-фактором а множитель учитывает нормировку волновой функции. Соответственно в приближении непрерывного коллапсирования уравнение Шрёдингера для волновой функции пробной частицы принимает вид

где

Установившееся решение этого уравнения ищем в виде а величину у подбираем таким образом, чтобы частота была действительной. Подставляя это выражение для в уравнение (209), получаем:

Мы пока еще не знаем, чему равна ширина пакета отнесенная к самому началу коллапса. Если принять приближенно то получим

Другими словами, установившаяся ширина пакета оказывается порядка среднегеометрического значения величин

Как мы видим, в модели непрерывного коллапсирования величина сохраняет постоянную форму, т.е. всем молекулам газа приписываются одинаковые по форме пакеты, и все различие между ними состоит только в разных значениях их скоростей Если то волновой пакет (204) мало отличается от плоской волны. Соответственно, вероятности рассеяния за счет

парных взаимодействий частиц могут быть рассчитаны в приближении плоских волн.

Модель непрерывного коллапсирования является слишком упрощенной. Поэтому представляет интерес рассмотреть более реалистичный случай последовательных коллапсов. Но и при этом разумно пойти на некоторые упрощения. Прежде всего представим себе траекторию пробной частицы в виде некоторой ломаной линии. Удобно эту линию распрямить и уложить вдоль оси х, пренебрегая некоторыми тонкостями поведения волновых пакетов вблизи точек рассеяния. Далее, можно приближенно принять, что последовательные рассеяния происходят не по закону случая, а в точности на расстоянии Я друг от друга. И наконец, пренебрежем изменениями скорости частиц при переходе от одного отрезка свободного движения к другому, полагая где — средняя тепловая скорость. Кроме того, оставим пока свободным параметром величину ширины пакета b при каждом из коллапсов. Итак, мы приходим к задаче периодического коллапсирования, так что достаточно рассмотреть лишь один период, когда волновая функция испытывает коллапс (204) с и при и подходит к следующему коллапсу при

Нетрудно проверить, что уравнение Шрёдингера для свободно движущейся частицы имеет решение вида

где а величина является линейной функцией времени:

Здесь мы выбрали начальное значение при Именно это решение и описывает эволюцию волновой функции после коллапса при помощью (213) нетрудно найти среднее значение которое мы обозначим через

С помощью соотношения (214) волновую функцию (212) можно представить в виде

где введены следующие обозначения:

Как мы видим, волновой вектор к линейно зависит от х вследствие дисперсии волн де Бройля, так что "носовая" часть волнового пакета является более коротковолновой по сравнению с "хвостовой" его частью.

Рассмотрим теперь баланс энергий вблизи второго коллапса при Перед коллапсом энергия частицы может быть подсчитана с помощью волновых функций (212) или (215). Она равна

Здесь первое слагаемое описывает кинетическую энергию пакета, перемещающегося со скоростью а второе слагаемое соответствует "внутренней" энергии покоящегося пакета. Найдем величину энергии сразу после коллапса. Предположим, что коллапс произошел вблизи точки Его можно учесть дополнительным множителем волновой функции (215). Найдем сначала энергию коллапсированного состояния по стандартным правилам квантовой механики: где Н — гамильтониан, а дается выражением (216) с дополнительным фактором

Чтобы не усложнять выкладок, удобно рассмотреть случай где вычисляется по формуле (214) при т. Тогда получим

Здесь первые два слагаемых в скобках соответствуют энергии частицы перед повторным коллапсом.

Если бы вероятности коллапса были распределены по закону т.е. как то средняя по энергия (218) оказалась бы равной

Иными словами, второй коллапс добавил бы энергию равную "внутренней" энергии перед коллапсом. Но такого увеличения

энергии не может быть, так как иначе коллапсы монотонно увеличивали бы энергию частицы. В каждом элементарном столкновении импульс сохраняется просто в силу согласования фаз сталкивающихся и рассеивающихся волн в системе центра масс частиц. А для сохранения энергии в среднем требуется предположить, что коллапсы слабо отклоняются от закона коллапсы должны более часто происходить в области т.е. в той части волнового пакета, где локальный импульс несколько меньше. Принятое здесь выражение "отклонение от закона не является вполне точным. Дело в том, что координата это всего лишь центр волного пакета после коллапса. Волновая функция после коллапса не равна -функции, а остается достаточно протяженной по х. Поэтому рассматриваемый нами коллапс не является проекцией на одну из ортогональных волновых функций: соответствующее "измерение" не является полным. Эффект асимметрии коллапсов возникает как результат неортогональных проекций в случае непрерывного спектра собственных волновых функций.

Пусть среднее значение не равно нулю и отрицательно, а величина перед коллапсом по-прежнему равна Величину условимся называть параметром асимметрии. Чтобы закон сохранения энергии удовлетворялся в среднем, величина а должна быть равна

По порядку величины

Следует еще раз подчеркнуть, что коллапсы возникают вследствие разрушения сложно организованных когерентных состояний. Мы условно отнесли их к моментам времени сразу после рассеяния. Но на самом деле само рассеяние может быть установлено только продолжением в прошлое того состояния, которое возникло в результате коллапса. Возникает своего рода обратная корреляция, которая не обязана заканчиваться на предшествующем рассеянии, а может распространяться на два или несколько предыдущих рассеяний. Таким образом, коллапсы следует рассматривать как растянутый во времени процесс, усиленный парными взаимодействиями частиц. Поэтому модели непрерывного и дискретного коллапсирования представляют собой лишь два предельных упрощенных подхода к описанию реального процесса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление