Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

39. Волновые функции атомов газа

Волновые функции атомов разреженного газа обычно представляют себе в виде плоских волн. Это допущение, почерпнутое из стандартной двухчастичной теории рассеяния, где всегда можно считать, что состояния находятся вне области взаимодействия, кажется здесь вполне естественным. В самом деле, в разреженном газе длина свободного пробега много больше среднего расстояния между атомами. Поэтому рассеянные волны успевают распространиться на большое расстояние от точки рассеяния, и их локальная структура приближенно выглядит как плоская волна. В действительности, этот вопрос требует более детального исследования, поскольку в отличие от обычного двухчастичного рассеяния атомы газа постоянно взаимодействуют друг с другом.

Дело в том, что на длине свободного пробега волна некоторого определенного атома, скажем, с номером успевает рассеяться на большом количестве других атомов, образуя сложный узор из множества рассеянных волн. Можно сказать, что возникает очень сложно организованная когерентная структура из множества рассеянных волн. Достаточно очевидно, что такая структура не может существовать в газе с хаотически движущимися атомами. При последующих рассеяниях газовая среда может "воспринять" только одно из возможных значений импульса рассеиваемой частицы. Можно сказать, что внутри газа существует постоянно действующий механизм декогерентности, т.е. "самоизмерений", который случайно выбирает только одну из возможных рассеянных волн, а остальные волны при этом просто уничтожаются. Другими словами, даже самое простое представление волновых функций в виде плоских волн предполагает наличие постоянно действующего механизма коллапсирования, который производит "очистку" волновых функций от "пустых волн".

Но реальная ситуация должна быть даже несколько сложнее. Допустим, что частица с номером действительно оказалась в одной из рассеянных волн с некоторым определенным импульсом где к,- — волновой вектор. Возвращаясь в прошлое вдоль направления импульса, можно найти место рассеяния и установить номер частицы, скажем на которой это рассеяние произошло (разумеется, вдоль импульса рассеивающей частицы нужно тоже вернуться в прошлое). В среднем, для этого следует вернуться в прошлое на время столкновений где — средняя длина свободного пробега, — плотность атомов газа, а — поперечное сечение рассеяния, — средняя тепловая скорость. Допустим, что при таком

возврате в прошлое волновая функция атома с номером выглядит как волновой пакет Здесь фактор соответствует коротковолновому "наполнению" пакета в виде плоской волны, а фактор представляет собой неизвестную пока огибающую волнового пакета с центром локализации Допустим, что при рождении пакета параметр где константа, определяющая ширину вновь рожденного пакета. Оказывается, что константа может быть найдена с помощью достаточно простых рассуждений.

Пусть волновой пакет с начальной формой эволюционирует в соответствии с уравнением Шрёдингера. Тогда величина должна быть равна где время отсчитывается от момента рождения волнового пакета. Среднее время существования волнового пакета до последующего рассеяния равно, очевидно, Поэтому среднее значение равно Грубо говоря, все волновые пакеты имеют в среднем стандартную гауссову форму с если в момент рождения они имели гауссову форму с

Соответственно, при ретроспективном взгляде на эволюцию волновых пакетов их можно считать "пульсирующими" образованиями с начальным значением и конечным значением

Рассмотрим теперь сам коллапс волнового пакета, когда быстро изменяется от значения до значения Можно считать, что этот коллапс происходит потому, что коллапсирует волновая функция частицы — второго партнера процесса рассеяния. Если после коллапса волновая функция частицы с номером выглядит как гауссов пакет с то мы можем вернуться обратно по времени к моменту рассеяния, и тогда у частицы величина будет равна т.е. она равна среднему сопряженному значению параметра для частицы с номером Но рассеянные частицы обладают совместной волновой функцией в точке поэтому коллапс частицы с номером автоматически создает форм-фактор волновой функции частицы Другими словами, имеем Отсюда находим т.е. Так как

то размеры пакета пульсируют от начального значения до конечного значения

Если пренебречь этими пульсациями, то мы приходим к модели непрерывного коллапсирования. Эту модель можно пояснить следующим образом. Каждый волновой пакет имеет конечное время жизни т. В силу этого его энергия должна быть уширена на величину . Соответствующее уширение в пространстве волновых чисел к может быть найдено из соотношения . При столкновении (рассеянии) двух волновых пакетов частицы обмениваются импульсами, а кроме того, за счет сложения двух неопределенностей волновых чисел порядка х, происходит регулярное уширение их пакетов по к. Этот эффект в модели непрерывного коллапсирования можно приближенно учесть с помощью одномерного уравнения диффузии в к-пространстве:

Здесь — волновая функция пакета, — коэффициент диффузии по к, а константа у добавлена для учета нормировки Если перейти в конфигурационное пространство, то оператор следует заменить на где координата х отсчитывается вдоль движения пакета, а — центр волнового пакета. При переходе к трехмерному пространству коллапсирование следует учитывать по всем трем координатам. Добавляя оператор кинетической энергии, мы можем получить обобщенное уравнение Шрёдингера для модели непрерывного коллапсирования:

где

Установившееся решение этого уравнения имеет вид

где . Величина у подобрана здесь таким образом, чтобы частота со была действительной. Как мы видим, ширина волнового пакета определяется величиной . По порядку величины где — средняя длина волны де Бройля. Средне-геометрическое значение из макроскопического и микроскопического параметров явно указывает на область мезоскопики. Так как обычно то волновые пакеты выглядят как компактные образования, похожие на классические частицы. Траектории

их центров выглядят как ломаные линии с прямыми отрезками между столкновениями и с резкими изломами при столкновениях. Столкновения описываются обычной квантовой механикой, а общее поведение пакетов с учетом случайных коллапсов может быть описано кинетическим уравнением.

Изложенный выше подход явно вводит в рассмотрение коллапсы волновых функций. Тем самым волновым функциям придается информационный характер с включением процессов "самоизмерений", когда волновая функция частицы полностью уничтожается в тех областях пространства, где данная частица отсутствует. Не удивительно поэтому, что уравнение вида (221) может быть использовано для моделирования непрерывных измерений [80].

Естественно, может возникнуть вопрос, а почему бы для описания газа не воспользоваться стандартным аппаратом квантовой механики. Поскольку в разреженном газе взаимодействие атомов мало, то наиболее подходящей кажется теория возмущений. Вопрос об использовании теории возмущений для описания разреженного газа был подробно проанализирован в работах Пригожина и Петроски [43, 81, 82]. Они показали, что прямое применение теории возмущений приводит к расходимостям. Связано это с тем, что классический газ представляет собой типичный пример большой системы Пуанкаре, обладающей внутренней стохастичностью. Соответственно, в квантовой теории возникает парадокс саморассеяний, аналогичный проблеме малых знаменателей в классической теории. Чтобы обойти трудности с квантовыми расходимостями, Петроски и Пригожин развивают сложный аппарат описания квантовых систем в представлении Лиувилля. Но более предпочтительным является подход с явным использованием коллапсов волновых функций.

Рассмотрим теперь волновую функцию У газа в целом. В нулевом приближении по взаимодействию волновая функция естественно распадается на произведение волновых функций одиночных частиц:

В этом соотношении мы не учли пока принцип тождественности частиц. Каждая из функций нулевого приближения удовлетворяет уравнению Шрёдингера одиночной частицы. С учетом коллапсирования, она имеет вид волнового пакета (222).

Учтем теперь тождественность частиц. Нам удобно начать с бозе-частиц, и тогда в выражении (223) нужно добавить оператор Р, переставляющий частицы и суммирующий результаты всех перестановок

новок (с соответствующей нормировкой). Умножим выражение (223) с оператором перестановок Р на произведение сопряженных волновых функций типа (223), но без одной из функций, скажем, Проинтегрируем результат по всем кроме Тогда мы получим функцию в которой мы заменим на

Здесь — волновая функция пакета номера — центр волнового пакета. В модели непрерывного коллапсирования имеем с точностью до нормировки

Здесь — волновой вектор пакета с номером Таким образом, симметризованная одночастичная волновая функция (224) выглядит как набор волновых пакетов (225).

Умножая на получим

Здесь первое слагаемое соответствует сумме "пичков" вблизи центров пакетов вида (225). В классическом пределе эта сумма превращается в микроскопическую плотность

Как мы видим, первое слагаемое в (226) аналогично выражению (227) с "уширенными" -функциями: вместо нужно подставить функцию нормированную на единицу.

Что касается второго слагаемого в (226), то оно оказывается малым. Дело в том, что в произведения вида дают вклад только перекрывающиеся волновые пакеты и знак произведения не определен. Оценить второе слагаемое можно, взяв квадрат его модуля и усреднив результат по Такая оценка показывает, что вклад второго слагаемого не больше флуктуаций плотности и поэтому мы им пренебрежем.

Для дальнейшего рассмотрения удобно ограничиться единичным объемом газа. Тогда средняя плотность будет отличаться от на малую величину а флуктуации плотности будут масштаба

если . Такими флуктуациями мы также пренебрежем.

В сумме (226) можно ограничиться только теми пакетами, которые попадают в рассматриваемый нами единичный объем. Соответственно функцию будем считать нормированной на единицу

Рассмотрим теперь произведение Представим его (с точностью до нормировки) в виде

Здесь первый член справа отвечает произведению, когда все различны, а второе слагаемое (записанное в символическом виде) соответствует таким членам, когда две или более частиц попадают в одну и ту же "ячейку" размером . В невырожденном бозе-газе при нормальной эволюции волновой функции с рассеянием волновых пакетов друг на друге, ситуация с двумя частицами в одном пакете — чрезвычайно редкое событие.

Но и чисто формально второй член в правой части (228) гораздо меньше первого: ведь первый член создается перестановками частиц, а во втором члене при попадании двух частиц в один и тот же пакет число возможных перестановок равно т.е. в раз меньше. Так как по предположению , то вторым членом в (228) можно пренебречь.

Итак, функции даваемые выражением (228), составляют естественный базис для приближенного представления любого состояния атомарного газа. Поэтому функции вида (224) можно назвать динамическим базисом. Волновая функция всех частиц в нулевом приближении по взаимодействию равна просто

Разумеется, это представление является приближенным, поскольку оно предполагает, что все имеют форму стандартных волновых пакетов в модели непрерывного коллапсирования. Однако ничто не мешает нам найти более точные выражения для и учесть рассеянные волны.

Рассмотрим теперь несколько иное представление волновой функции (224). Каждая из входящих туда индивидуальных функций имеет вид (225), т.е. где представляет собой огибающую волнового пакета. Каждый из волновых пакетов имеет свое собственное "наполнение" в виде плоской

волны Пользуясь этим, мы можем перенумеровать частицы, расположенные в рассматриваемом нами единичном объеме. А именно, мы можем расположить их в порядке возрастания координат и волновых чисел Тогда вместо номера можно использовать пару векторов к (поскольку можно не делать различия между . В соответствии с этим полагаем:

Здесь — это та же самая волновая функция (224), а амплитуды представляют собой однотипные огибающие вида Плотность считаем пока постоянной. Функцию вида (224) можно подставить в уравнение Шрёдингера. Если в этом уравнении пренебречь малыми членами, содержащими а, то получим уравнение свободного распространения огибающих волновых пакетов:

Здесь мы ввели обозначение для средней скорости волнового пакета. Нетрудно видеть что точно такому же уравнению свободного движения удовлетворяет и функция распределения , определяемая соотношением

Здесь плотность считается постоянной.

Сделаем еще два замечания. Первое: с помощью функций вида (225) нетрудно найти матрицу плотности. Ее диагональные элементы совпадают со средним значением а недиагональные члены соответствуют выбранной нами стандартной форме волновых пакетов (225). Второе: при выводе выражения (224) для волновой функции мы предполагали, что имеем дело с бозе-частицами. Но поскольку выражение для огибающей определено с точностью до произвольного фазового множителя выражением (224) можно пользоваться и для ферми-частиц при температурах, далеких от вырождения. Таким образом, в разреженном теплом газе можно не делать различия между бозе- и ферми-статистиками.

Итак, мы узнали, как устроены волновые пакеты атомов газа и как поддерживается форма этих пакетов за счет коллапсов. При этом мы

пользовались уравнением Шрёдингера с дополнительной гипотезой об уничтожении волновых функций, не отвечающих реальному положению частиц в пространстве.

Но квантовая механика позволяет еще определить эволюцию с последующей интерпретацией этой величины как вероятности попадания частицы в соответствующую область пространства. Ясно, что наше описание газа в терминах волновых пакетов должно быть согласовано с эволюцией Поэтому коллапсы должны следовать закону где — соответствующая вероятность. Можно сказать, что закон является как бы наложенной извне связью которой должны подчиняться коллапсы волновых функций в газе.

Кинетическое или управляющее уравнение записывается обычно для функции распределения

Здесь — скорость частицы, соответствующая величине волнового пакета. Правая часть уравнения (233) представляет собой член столкновений, состоящий из двух нелинейных интегральных выражений. Первое из них описывает убыль частиц со скоростью и его приближенно можно представить в виде . А второе выражение описывает поступление частиц в окрестность скорости за счет их столкновений. В предельно простом случае так называемого -приближения этот член можно записать в виде где — максвелловская функция распределения.

Обычно кинетическое уравнение выводят путем нахождения рассеянных волн с последующей интерпретацией как вероятности данного рассеяния. Но можно поступить и по-другому.

Учтем в уравнении (231) затухание амплитуды а и возможность рождения пакета с волновым вектором к за счет рассеяния на других атомах. Мы получим кинетическое уравнение для амплитуды:

где — амплитуда волнового пакета.

В принципе, можно было бы попытаться найти выражение для путем прямых вычислений. Но мы поступим проще. А именно, поскольку модуль связан с функцией распределения соотношением (232), найдем с помощью (234) уравнение для Для этого умножим (234) на и сложим результат с комплексно

сопряженным уравнением. В результате получим

Правая часть этого уравнения должна представлять собой член столкновений кинетического уравнения Больцмана. Пользуясь упрощенным -приближением, положим

где — максвелловская функция распределения. В этом приближении Наряду с а, а введем в рассмотрение амплитуды отвечающие максвелловскому распределению, так что в среднем Если считать, что разность мала, то с точностью до линейных членов включительно так что в -приближении имеем

Здесь — амплитуда пакета с волновым числом — амплитуда пакета, принадлежащего равновесному распределению, так что среднее значение

Уравнение (237) представляет собой линейный по а упрощенный вариант уравнения (234). По сути дела, приближенное выражение ухватывает только самые основные черты оба они описывают "инжекцию" пакетов за счет столкновений с темпом, пропорциональным и, и с максвелловски равновесной функцией распределения.

Уравнение (237), подобно кинетическому уравнению (235), предполагает отнесение его к макроскопическим объемам фазового пространства. Это значит, что одна амплитуда может соответствовать многим волновым пакетам с одним и тем же значением к (с точностью до Поэтому убывание амплитуды описываемое уравнением (237), означает просто уменьшение числа пакетов с заданным волновым вектором к. Точно так же член в правой части (237) описывает инжекцию новых пакетов с более или менее гладким (в среднем) распределением по пространству.

Нетрудно проверить, что из уравнения (237) следует кинетическое уравнение (235) с членом столкновений (236), если пренебречь квадратичным слагаемым по малой разности

Итак, мы выяснили, как должны выглядеть волновые функции обычного разреженного газа. Описание в терминах волновых пакетов

дает больше возможностей для исследования необратимых процессов, чем это позволяет обычное кинетическое или управляющее уравнение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление