Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

40. Квантовый хаос в газе

Рассмотрим атомарный газ с плотностью частиц при температуре Т. Температуру Т будем считать высокой по сравнению с температурой вырождения. Соответственно, величину где — масса атомов, — их средняя тепловая скорость, мы будем считать значительно меньшей среднего межатомного расстояния Условимся называть средней длиной волны де Бройля (она в раз меньше обычной длины волны де Бройля). Газ будем считать разреженным, так что средняя длина пробега где а — поперечное сечение рассеяния, значительно больше межатомного расстояния. В соответствии с принятыми допущениями отношение должно считаться малым параметром.

Как было показано выше, вся эволюция газа представляет собой квантовый хаос. Строго описать такой хаос практически невозможно, и поэтому наша задача состоит в развитии и приближенном обосновании качественной картины такого хаоса [83].

Будем исходить из предположения, что фазы множества рассеянных волн одной частицы "сбиваются" хаотически движущейся средой, так что частица, как единая сущность, может попасть только в одну из рассеянных волн. Такой процесс выглядит как "измерение" волновой функции данной частицы, производимое самим газом. "Измерения", точнее "самоизмерения", осуществляют последовательные коллапсы волновых функций атомов, и соответственно, волновую функцию любого атома можно представить себе в виде некоторого компактного волнового пакета. Наша задача состоит в более подробном описании движения волновых пакетов, их рассеяния друг на друге и поддержания определенных размеров и формы волновых пакетов.

Выберем некоторую пробную частицу и допустим, что в начальный момент ее волновая функция имеет вид волнового пакета:

Здесь — волновой вектор пакета, а радиус-вектор отсчитывается от центра пакета, параметр определяет начальную ширину пакета. Для простоты будем считать, что параметр является действительным числом.

Прямой подстановкой можно проверить, что уравнение Шрёдингера для свободного движения частицы удовлетворяется функцией

где — скорость волнового пакета. Согласно (239) волновой пакет расплывается со временем, так что среднее значение

В газе волновая функция пакета (239) должна затухать со временем как Здесь — среднее время парных столкновений, равное где — средняя частота столкновений, — средняя относительная скорость. Так как распределение по относительным скоростям соответствует максвелловскому распределению с приведенной массой то

где Т — температура, измеряемая в энергетических единицах (постоянная Больцмана полагается равной единице). Таким образом, к моменту времени после рождения волнового пакета его размеры определяются величиной

Как функция эта величина достигает минимума при Естественно поэтому считать, что равно именно этой величине, так что если приближенно положить Из последующего изложения станет более ясным, почему именно этим соотношением определяется размер пакета.

Рассмотрим теперь взаимодействие частиц, т.е. рассеяние волновых пакетов на частицах. Естественно начать с самого простого случая двух волновых пакетов вида (239). Пусть оба пакета родились в одно и то же время и сталкиваются друг с другом при Рассмотрим только лобовое столкновение пакетов с нулевым прицельным расстоянием. При таком столкновении закон сохранения импульсов автоматически удовлетворяется (так же, как и закон сохранения энергии), и поэтому мы будем следить только за эволюцией огибающих волновых пакетов вида (239). Совместную огибающую волнового

пакета частиц с координатами представим в виде

где А — фактор номировки. Введем переменные центра масс и полурасстояния частиц друг от друга Пусть Выберем систему координат такую, чтобы центр масс пакетов покоился, т.е. радиус-вектор выберем в виде где . В переменных волновая функция выглядит как

Как мы видим, в переменных огибающая волновой функции распадается в произведение

т.е. переменные разделяются.

Будем считать, что размеры атомов очень малы. В этом приближении рассеяние происходит в точке В этой точке падающая волна выглядит как

А рассеянная волна выглядит как

т.е. она отличается по фазе от источника излучения в точке на величину запаздывания Таким образом, для рассеянной волны получаем следующее выражение:

Здесь В — амплитуда рассеяния, а величина где — время, отсчитываемое от первоначального рождения волновых пакетов.

По отношению к переменной волновая функция (242) выглядит как тонкая сферическая оболочка с радиусом и толщиной За время радиус оболочки достигнет величины и ее отдельные области испытают столкновения с другими частицами. Ясно, что декогерентность, производимая такими столкновениями, разрушит тонко организованную оболочку волновой функции двух коррелированных частиц. Рассмотрим качественно, что при этом происходит.

Направим ось х вдоль направления предполагаемого повторного коллапса рассматриваемых нами частиц в системе центра масс. Удобно ввести новые переменные и тогда зависимость от новых переменных выглядит как

Что касается зависимости рассеянной волны от поперечных координат, то она целиком определяется зависимостью от и выглядит как

Эта функция не зависит от переменных Поэтому по этим переменным волновой пакет можно разрезать на куски с размерами, большими . Но тогда каждый из таких кусков можно рассматривать как классический объект, т.е. можно пренебречь их расплыванием за время . Классические частицы имеют разбегающиеся траектории, так что приближенно можно считать, что

и аналогично для разности Так как разности отвечает приведенная масса то уравнению (243) соответствует потенциальная энергия Соответствующее уравнение Шрёдингера в пренебрежении членом кинетической энергии выглядит как

откуда получаем

где отсчитывается от момента рассеяния, Аналогичное выражение имеет место для зависимости от Найдем теперь,

что происходит с волновой функцией первой частицы. Для этого умножим функцию

на сопряженную функцию относительного движения с учетом столкновений при т.е. на

и проинтегрируем результат по воспользовавшись соотношением

После интегрирования получим выражение, пропорциональное Как мы видим, за время величина возвращается к своему исходному значению

Тот же результат можно получить несколько иным образом. Допустим, что вторая частица, находящаяся в коррелированной с первой частицей сферической оболочке, сталкивается с третьей частицей и коллапсирует в волновой пакет вида

У этого пакета зависимость от является точно такой же, как зависимость функции (242) от х. Если умножить выражение (242) на сопряженную функцию (246) и проинтегрировать результат по переменным то мы найдем "проекцию" (242) на коллапсирующую функцию. Тем самым мы выделяем в (242) ту компоненту, которая выживает после коллапсирования. Соответствующее вычисление дает выражение для коллапсированной волновой функции

Так как то функция (247) возвращается к своей первоначальной форме (238) волнового пакета первой частицы.

Рассмотрим тот же самый процесс на более физическом языке. Расширяющаяся по закону сферическая оболочка из двух коррелированных частиц встречает на своем пути множество частиц и создает новые рассеянные волны. Если некоторая частица с номером сталкивающаяся с расширяющей оболочкой, имеет вид волнового пакета то соответствующее рассеяние можно найти следующим образом. Представим волновую функцию расширяющейся оболочки в виде суперпозиции волнового пакета, такого же, как у встречного пакета, и оставшуюся за вычетом пакета часть. Выделенный нами волновой пакет повторит с встречной частицей тот же самый сценарий образования новой рассеянной сферической оболочки из двух скоррелированных частиц. А оставшаяся часть старой сферической оболочки за время взаимодействия не успеет деформироваться, так что совместная волновая функция окажется равной нулю в точке рассеяния отсчитываются от центра масс первой пары частиц). Площадь оболочки возрастает со временем как поэтому число рассеяний и стохастизация волновой функции пары частиц возрастает очень резко по мере приближения к т. Соответственно и переход должен происходить достаточно резко.

Итак, мы приходим к следующей модели коллапсирования. Коллапс волновой функции в пакет происходит по всем трем направлениям при каждом "реальном" рассеянии. "Реальными" мы называем такое рассеяние и такой волновой пакет, в котором случайно оказывается зафиксирована частица. Все остальные возможные рассеянные волны и волновые пакеты должны просто уничтожаться, поскольку среда не может "наблюдать" одну и ту же частицу в состояниях с различными импульсами и энергиями одновременно. Коллапсы происходят в среднем через каждые секунд. После очередного коллапса в нормированный на единицу волновой пакет, волновая функция пакета убывает со временем в среднем как а квадрат волновой функции убывает как Такой закон убывания квадрата амплитуды со временем соответствует уменьшению вероятности рассеяний, но его можно интерпретировать просто как распределение коллапсов по закону Пуансона с вероятностью рассеяния за промежуток времени За время волновой пакет успевает создать множество рассеянных волн, и только одна из этих волн может породить в дальнейшем новый волновой пакет, "измеряемый" средой. Газ выполняет роль прибора, который "измеряет" передаваемые среде энергию и импульс при каждом реальном рассеянии с коллапсом волновой функции.

Все последовательные коллапсы должны быть согласованы между собой. Пусть частица номера "1" подходит к рассеянию при огибающей волновой функции где При рассеянии на частице с номером "2" она, по предположению, должна сколлапсировать в пакет из-за того, что ее предыдущий партнер по рассеянию испытывает к этому времени сильную декогерентность. В свою очередь, частица с номером "2" перед рассеянием и в момент рассеяния должна испытывать аналогичные изменения. С другой стороны, частица с номером "2" должна испытать коллапс при повторном рассеянии при превратившись в пакет вида где отсчитывается от центра пакета. Если от этого состояния частицы "2" вернуться к моменту времени то мы получим пакет вида где Этот пакет соответствует той компоненте в суперпозиции рассеянных волн, частицы которая при превратится в Совместная волновая функция частиц с номерами "1" и отвечающая пришедшему из прошлого пакету "1" и вычисленной из будущего составляющей волновой функции в точке равна Эта величина равна

где — координата центра масс, при . С другой стороны, если относить коллапс к моменту рассеяния частиц 1 и 2 при то эта функция должна быть равна где в точке рассеяния Отсюда находим:

Итак, мы приходим к следующей упрощенной модели описания газа. Волновые функции атомов газа представляют собой волновые пакеты вида (239). При столкновении таких пакетов образуются сферические расширяющиеся оболочки скоррелированных пар частиц. При рассеянии на других частицах эти оболочки разрушаются, и волновые функции скоррелированных частиц снова коллапсируют в волновые пакеты вида (239), разлетающиеся в противоположные стороны в системе их центра масс. Приближенно, пренебрегая уничтожающимися "пустыми волнами", можно считать, что пакеты вида (239) образуют квазичастицы газа, движущиеся по классическим траекториям и рассеивающиеся друг на друге по статистическим законам квантовой механики. Каждый волновой пакет (239) имеет при своем рождении, т.е. сразу после рассеяния, затем изменяется по закону где время отсчитывается от момента рассеяния. В среднем, через происходит повторное

рассеяние, и волновой пакет при этом уменьшает свои размеры до

Волновой пакет вида (239) обладает средним импульсом и средней энергией

где Второй член в (248) возник от усреднения оператора с огибающей волновой функции (239). Второе слагаемое в (239) остается постоянным, если приближенно считать . В этом приближении волновые пакеты похожи на классические частицы: они упруго сталкиваются, обмениваясь энергией и импульсом, а их внутренняя энергия остается постоянной.

При максвелловском распределении волновых пакетов по скоростям их средняя энергия (248) равна

где мы подставили вместо Как мы видим, на одну степень свободы приходится энергия .

Найдем теперь давление , оказываемое волновыми пакетами на зеркально отражающую стенку. Если считать, что каждый пакет представляет собой суперпозицию плоских волн вида и что каждая гармоника передает импульс с темпом то давление следует вычислять усреднением оператора

с волновой функцией (239), а затем по максвелловскому распределению и умножением результата на плотность частиц Такое вычисление дает

Как мы видим, давление отличается от давления идеального газа и Г на малую величину .

Соотношения были получены в приближении Проведем теперь более точное рассмотрение. Пусть волновой пакет перемещается вдоль оси х со скоростью Тогда зависимость

мость его волновой функции от х без учета затухания выглядит как

где отсчитывается от момента рождения волнового пакета. Учтем теперь затухание волновой функции (251) за счет столкновений. Пусть есть частота столкновений частицы с данной скоростью с другими частицами. Имеем где и — относительная скорость других атомов при заданной скорости рассматриваемой частицы:

— интеграл вероятностей, равный

При имеем где — средняя тепловая скорость атомов. При имеем а усредненное по значение частоты столкновений равно поскольку распределение по относительным скоростям соответствует максвелловскому распределению с приведенной массой Волновой пакет со средней скоростью можно рассматривать как набор гармоник с различными волновыми числами Запишем где Тогда слагаемое приведет к затуханию волнового пакета вида Таким образом, зависимость от волновой функции пакета с учетом затухания приобретает вид

где

В отличие от приближения мы имеем и, кроме того, в выражении (253) появилось последнее слагаемое под экспонентой. Это слагаемое приводит к занижению амплитуды волны при и к завышению амплитуды волны при Оказывается, что этот эффект приводит к систематическому замедлению пакета со временем. Действительно, согласно (253) имеем с точностью до

малых

где .

Отсюда видно, что максимум огибающей пакета движется равнозамедленно.

С помощью волновой функции (253) можно подсчитать изменение импульса и энергии вследствие зависящего от х затухания волновой функции. Соответствующий результат для энергии выглядит как

Эта величина вдвое меньше значения которое получилось бы при жестком замедлении пакета вместе с максимумом амплитуды его огибающей. Если то среднее изменение энергии имеет тот же порядок величины, что и второе слагаемое в (249).

Наличие эффекта замедления пакета показывает, что модель с неизменяющейся со временем энергией пакета является слишком упрощенной. Рассмотрим этот вопрос более подробно. Учтем, что индивидуальный волновой пакет имеет неопределенность по энергии порядка и соответствующую неопределенность по импульсу. Рассмотрим баланс энергий на больших временах, т.е. в среднем по пакетам.

Удобно начать с рассмотрения пакета, который выжил время после своего рождения. У такого пакета так что его можно приближенно рассматривать как суперпозицию из многих волновых пакетов с размерами При столкновении с обычными пакетами с размерами будет образовано много рассеянных волн, состоящих из пар скоррелированных частиц. На расстоянии от области рассеяния такие волны будут декогерентны, поэтому они могут испытывать независимые коллапсы. Им соответствуют коллапсы исходного широкого пакета в отдельные его фрагменты размером Если то соответствующие локальные коллапсы почти ортогональны, так что можно воспользоваться представлениями обычной квантовой механики об "измерении". По отношению к продольной переменной х такой коллапс можно учесть дополнительным множителем волновой функции, если коллапс произошел вблизи точки

Умножим (253) на этот множитель и с помощью полученной волновой функции вычислим энергию При получаем

Естественно предположить, что коллапсы распределены по как Но тогда усредненная по энергия не совпадет с величиной (248). Чтобы энергия в среднем сохранялась, коллапсы должны происходить несколько асимметрично, так что Усредняя (255) по с весом и допуская, что получим при

Естественно считать, что закон сохранения энергии с точностью, большей должен выполняться только в среднем по максвелловскому распределению с учетом малых эффектов порядка

Усредним выражение (256) по максвелловскому распределению по скорости Поскольку направление оси х выбрано таким образом, что то усреднение величины дает просто а среднее значение оказывается равным . Если умножить второй член в правой части (256) на 3, чтобы учесть поперечные степени свободы, и усреднить (256) по максвелловскому распределению, то мы найдем среднюю энергию Она должна совпадать с величиной (249). Из этого условия находим

Это выражение получено при условии Но поскольку (257) равно нулю при как и точная величина то выражением (257) можно пользоваться как разумной аппроксимацией при всех значениях .

Второй член в (257) компенсирует систематическое замедление центра пакета вследствие зависимости частоты столкновений от скорости, как это описывается соотношением (254). Как мы видим, малой асимметрии коллапсов порядка достаточно для сохранения энергии частиц в среднем.

Итак, мы познакомились с двумя эффектами, учитываемыми малыми членами порядка Первый эффект такого порядка связан с появлением дополнительного слагаемого в выражении для давления газа (250). Поясним его физический смысл. Как известно в модели реального газа Ван-дер-Ваальса, если принять для атомов газа представление о твердых шарах диаметра без притяжения, давление равно . Здесь параметр а равен относительному вытесненному объему: Для учета квантовых

поправок к этой величине следует добавить слагаемое учитывающее "свободную" от частиц оболочку толщиной поверхности каждого атома. Такая оболочка образуется из-за того, что волновые функции обращаются в нуль на границе рассеяния, т.е. на сфере радиуса Так как то получаем Учитывая, что получим

В пренебрежении параметром а это выражение близко к (250). Заметим, что малые слагаемые в соотношениях (249), (258) могут быть получены с помощью выражения (68) заменой на величину порядка .

Еще один эффект порядка возникает из-за зависимости частоты столкновений от скорости атома. Он выражается последним слагаемым подэкспоненциального выражения в правой части (253). Подавление "носовой" части пакета и повышение амплитуды его "хвостовой" части приводит к систематическому замедлению пакета. В результате его энергия убывает со временем как где Это выражение можно представить в виде где представляет собой изменение средней скорости волнового пакета. Как оказывается, производная по времени от координаты по времени вдвое больше, чем Комбинируя это соотношение с выражением для мы получим следующее соотношение: Усреднение этого соотношения по максвелловскому распределению дает возможность получить значение Такое систематическое замедление пакетов компенсируется вторым членом в выражении (257), т.е. малой асимметрией коллапсов. А первый член в этом выражении дает величину асимметрии, необходимую для компенсации возрастания энергии при коллапсе.

Выраженная в терминах асимметрии коллапсов картина сложного поведения многочастичной системы позволяет достаточно просто учесть малые эффекты порядка при коллапсировании волновых функций атомов газа. Как мы видим, при каждом коллапсе имеет место систематическое смещение волнового пакета на расстояние порядка Это смещение очень мало, но оно оказывается существенным для объяснения эффекта Соколова (см. раздел 41).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление