Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

42. Теория эффекта Соколова

Попытаемся теперь более точно описать эффект Соколова как результат взаимодействия возбужденного атома водорода с электронами проводимости металла, предполагая, что электроны находятся в состоянии квантового хаоса. Поскольку рассматриваемый эффект представляет собой результат довольно сложного механизма взаимодействия очень многих частиц, при описании кинетики электронов проводимости будет принята простейшая газовая модель.

В приближении газовой модели ферми-жидкость электронов проводимости можно рассматривать как газ квазичастиц — электронов и дырок. Обозначим через энергию Ферми (точнее, это химический потенциал). Тогда плотность свободных носителей заряда можно принять равной где по — плотность электронов зоны проводимости, Т — температура, выраженная в энергетических единицах. Приближенно будем считать, что при мы имеем дело со свободными электронами с равновесным распределением

а при носители заряда представляют собой дырки с распределением

Для удобства будем считать при при так что являются положительными величинами. Поверхность Ферми считается при этом сферической.

Обозначим через импульс Ферми, а через скорость Ферми, которую будем считать равной где эффективную массу будем считать равной массе свободного электрона. Для электронов и дырок примем простейшие зависимости их энергии от импульса:

Рассмотрим сначала случай достаточно низких температур, когда фононов мало, и поэтому можно пренебречь электрон-фононными взаимодействиями. По аналогии с разреженным газом можно считать, что рассеяние электронов и дырок друг на друге должно приводить к

тому, что их волновые функции приобретают вид волновых пакетов. Постараемся найти их форму.

Рассмотрим некоторый пробный электрон, движущийся вдоль оси х с импульсом (здесь локальную ось координат х не следует путать с координатой х на рис. 20). Его волновую функцию можно представить в виде

где представляет собой огибающую волнового пакета, включающую в себя медленную зависимость вида Согласно (261) для волновой функции пробной частицы можно составить уравнение Шрёдингера свободного движения

Это уравнение составлено с помощью первого соотношения (261) путем замены на оператор и выбором частоты со, равной Согласно уравнению (262) волновой пакет перемещается со скоростью вдоль оси х и расплывается равномерно по всем трем направлениям.

Учтем теперь столкновения между электронами (и дырками). В уравнении (262) эффект столкновений можно учесть дополнительным слагаемым в правой части. Здесь — частота столкновений, равная — среднее время столкновений. Электрические поля электронов и дырок в металле заэкранированы на расстояниях Поэтому сечение рассеяния имеет порядок величины (на расстояниях, меньших носители заряда сильно взаимодействуют между собой). Из-за принципа Паули взаимодействие электронов и дырок сильно подавлено, так что частота столкновений в среднем имеет порядок величины (см., например, [87]).

Допустим, что в некоторый начальный момент времени волновая функция электрона выглядит как волновой пакет

где параметр b определяет ширину волнового пакета с центром в точке — волновой вектор "наполнения пакета". Предположим, что параметр b является действительным числом. В

последующие моменты времени волновая функция имеет вид

где

Как мы видим, волновая функция со временем расплывается в пространстве и затухает из-за рассеяний на свободных электронах и дырках. Как было аргументировано на примере обычного газа, затухание волновой функции вида (264) по закону соответствует уменьшению вероятности существования исходного пакета и сопровождается внезапным возникновением нового пакета с вероятностью за время Происходит коллапс волновой функции с уничтожением прежнего волнового пакета и рождением нового пакета. Коллапсы происходят случайно и распределены по закону Пуассона. Размеры волновых пакетов поддерживаются самими рассеяниями, так что а среднее значение Как мы видим, размеры волнового пакета слегка пульсируют от коллапса к коллапсу: при рождении пакета и перед следующим рассеянием, сопровождаемым повторным коллапсом. Если частота столкновений зависит от скорости частицы, то возникают дополнительные особенности в поведении волнового пакета. А именно, если волновой пакет распространяется со скоростью вдоль оси х, то частоту столкновений можно приближенно представить в виде где Член приводит к затуханию волнового пакета вида Поэтому огибающая волнового пакета (без учета нормировки) выглядит как

где Последний член под экспонентой уменьшает амплитуду пакета при и увеличивает амплитуду при (если ). Так как ширина пакета со временем возрастает, то член с приводит к уменьшению средней скорости пакета со временем. Можно сказать, что "носовая" часть пакета быстрее вымывается столкновениями, так что пакет в среднем замедляется. С помощью волновой функции (265) нетрудно установить, что энергия волнового пакета уменьшается со временем по закону

Величина связана со средней шириной волнового пакета при его рождении соотношением

В среднем по всем электронам энергия должна сохраняться, поэтому уменьшение энергии (266) каждого из пакетов должно чем-то компенсироваться. Как аргументировано в разделе 40, такая компенсация осуществляется за счет несимметрии повторных коллапсов. Симметричные повторные коллапсы сами по себе должны были бы приводить к возрастанию энергии пакета при каждом коллапсе, равному . Несимметрия коллапсов должна скомпенсировать и этот эффект. В результате, согласно (257) получается приближенное соотношение (при для асимметрии коллапсов:

Среднее значение показывает, насколько отличается закон распределения коллапсов с фактором от симметричного распределения коллапсов с вероятностью Первое слагаемое в (267) указывает на превалирование коллапсов в "хвостовую" часть пакета, а второе слагаемое — на повышенную вероятность коллапсов в "носовую" часть пакета. Согласно гипотезе работы [86], именно несимметрия должна приводить к эффекту Соколова. Выражение (267) получено в приближении но им можно пользоваться и при как разумной интерполяцией, поскольку при т. е. в момент рождения начального пакета.

Если считать, что сечение рассеяния электронов на электронах и на дырках слабо зависит от их энергии, то зависимость частоты столкновений от скорости определяется множителем при вероятности рассеяния. Этот множитель возникает из-за учета принципа Паули (см., например, [87]). Поэтому величину можно оценить как

При второе слагаемое в правой части соотношения (267) оказывается значительно больше первого слагаемого. Оба они пропорциональны величине т.е. постоянной решетки.

Выражение (267) получено для электронов. Рассмотрим теперь, что происходит с дырками. Согласно (261) энергия дырки отсчитывается от энергии Ферми Поскольку у дырки первое слагаемое в выражении (261) для положительно. Второе малое

слагаемое отрицательно, что соответствует как бы отрицательной массе дырки.

Величина означает ту энергию, на которую должна увеличиться энергия системы электронов при удалении электрона и появлении дырки. Величина обозначает импульс электрона на уровне к, так что при создании дырки на этом уровне импульс системы электронов изменяется на величину Если считать, что волновая функция дырки имеет вид

то во втором соотношении следует заменить на а выражение на Поэтому уравнение Шрёдингера для волновой функции дырки должно отличаться от аналогичного уравнения (262) для электрона заменой на в последнем слагаемом справа.

Поскольку масса дырки отрицательна, а заряд положителен, дырка в квазиклассическом приближении ведет себя как электрон. Однако знак дисперсии меняется, и поэтому в соотношении вида (264) для величину следует заменить на комплексную сопряженную. Соответственно, волновой пакет дырки имеет более коротковолновое накопление в "хвостовой", а не в "носовой" части. Энергия при коллапсе дырки не увеличивается, а уменьшается, поэтому первое слагаемое в правой части соотношения (267) в случае дырки меняет знак. При переходе к дырке величина меняет знак, поскольку частота столкновений опять пропорциональна нор так что Таким образом, имеем приближенно для дырок и электронов:

При величина асимметрии мала, но она оказывается вполне достаточной для объяснения экспериментально наблюдаемого эффекта Соколова.

Рассмотрим взаимодействие возбужденного атома водорода с электронами проводимости металла. Допустим, что возбужденный атом водорода со скоростью пролетает параллельно плоской поверхности металла на расстоянии от этой плоскости. Пусть есть дипольный момент для -перехода при продольной поляризации -атома. Энергия взаимодействия атома с электроном номера

находящимся вблизи точки Мповерхности металла (см. рис. 20), равна

где — расстояние между атомом и электроном, — продольные координаты атома и электрона. Естественно считать, что электрон взаимодействует с атомом только в тонком слое толщиной поскольку внутри металла все заряды экранируются на расстояниях порядка Среднюю скорость электронов по нормали к поверхности можно считать равной Волновой пакет электрона слой за слоем пересекает слой взаимодействия толщиной и, отражаясь от поверхности металла, улетает внутрь металлического образца. Время, за которое один слой замещается на другой, равно За это время амплитуда -атома изменяется из-за взаимодействия с у-электроном на величину

если допустить, что амплитуда -атома близка к единице.

За время атом смещается на расстояние так что энергия взаимодействия изменяется за это время на величину

Это различие во взаимодействии относится ко всем соседним слоям волнового пакета толщиной если положить Соответственно, величины оказываются разными для разных слоев волнового пакета. Другими словами, изменение амплитуды является функцией координаты электрона вдоль волнового пакета. Это означает, что совместная волновая функция атома и электрона не может быть представлена в виде простого произведения их волновых функций. Такие нефакторизуемые состояния называются "запутанными состояниями". Типичный пример запутанного состояния был рассмотрен Эйнштейном, Подольским и Розеном в их знаменитом парадоксе [8]. Можно сказать, что движущийся возбужденный атом образует с электронами металла ЭПР-пары коррелированных частиц. Нам следует рассмотреть дальнейшую эволюцию этих пар.

Каждый электрон в металле расталкивает другие электроны, так что около него образуется положительно заряженная сфера радиуса Такая экранировка сохраняется и в том случае, если электрон попадает в поверхностный слой взаимодействия толщиной

Соответственно, макроскопическое поле на атоме, равное усредненному его значению от суммы всех электронных микрополей, обращается в нуль, если пренебречь случайными тепловыми флуктуациями.

Усреднение производится с весом где — волновая функция всех электронов. Если дальнейшая эволюция системы происходит таким образом, что вероятности переходов точно следуют закону то электрическое поле на атоме будет тождественно равно нулю и в последующие времена. Но в реальной системе электронов все оказывается сложнее. Как показано выше, коллапсы индивидуальных электронов и дырок происходят таким образом, что среднее значение продольной координаты любого волнового пакета, отсчитываемое от средней координаты перед коллапсом, отлично от нуля и составляет величину (269). Так как электронная волновая функция может образовывать с атомом запутанное состояние, то ее коллапс с должен менять амплитуду атома . Что касается тех скоррелированных электронов, которые создавали экранировку заряда во время взаимодействия, то можно предположить, что будучи организованными по законур во время взаимодействия электрона с атомом, они не смогут в дальнейшем создавать более тонкие корреляционные связи с возбужденным атомом. Поэтому они вычтут вклад, пропорциональный от пробной частицы и оставят только чистый эффект от асимметрии коллапса (269). Это значит, что в выражении (272) для энергии взаимодействия одиночного электрона с атомом величину нужно заменить на — Чтобы учесть вклад от всех электронов, участвующих во взаимодействии, нужно умножить величину на число электронов в слое взаимодействия, заменить на его усредненное значение и проинтегрировать результат по . К полученному результату нужно добавить вклад от дырок, с заменой — на . В результате получаем полную энергию взаимодействия которую мы представим в виде Здесь — атомный дипольный момент -перехода, а Е, означает вспомогательное корреляционное электрическое поле:

Здесь — квадрат расстояния от атома до электрона в слое взаимодействия, а фактор Ф с учетом приближенных соотношений равен

Чтобы вычислить средние значения нужно учесть, что в выражениях (269) время отсчитывается от момента начального коллапса. Допустим, что электрон пролетает слой взаимодействия при Нам нужны лишь те значения которые накапливаются после поэтому при вычислении необходимых нам значений величины следует заменить соответственно на Вероятность того, что электронный пакет, родившийся при доживет до равна а вероятность выживания пакета в течение времени после акта взаимодействия равна Если умножить величины на и проинтегрировать от до то мы получим некоторое среднее значение с весом Усреднение его по с дополнительным весом заменяет на Таким образом, получаем

Полученные выражения следует подставить в соотношение (274). При этом первые слагаемые в (275) для электронов и дырок суммируются, а вторые слагаемые практически компенсируют друг друга. Но если учесть, что у дырок скорость меньше скорости электронов на малую величину порядка то от второго слагаемого в (275) возникнет малая добавка Учитывая этот факт и хорошо известное соотношение , получаем приближенное значение Ф, в модели свободного ферми-газа:

Здесь числовой множитель приближенно равен Специально проведенные эксперименты (см. [88] и следующий раздел) по определению величины и знака эффекта Соколова дают экспериментальное значение Если учесть, что теория построена на достаточно грубых оценках, то согласие теории и эксперимента следует считать вполне удовлетворительным. Заметим, что все характеристики металла содержатся только в и в коэффициенте

Выражение (276) получено нами с помощью усреднения эффекта по Если усреднение провести только по то можно найти явную зависимость фактора Ф, от времени - протекшего после взаимодействия атома с металлом. Эта зависимость дается фактором

Интеграл от этого выражения по времени дает просто Как видно из (277), эффективное поле Е, действует на атом с отставанием по времени порядка по сравнению с временем реального взаимодействия атома с электронами проводимости металла.

Все выше приведенные выкладки были проведены без учета фононов. При не очень низких температурах следует учитывать взаимодействие электронов с фононами. Это взаимодействие соответствует испусканию и поглощению фононов (электронами). Если температура заметно ниже дебаевской (температуры, равной энергии фонона с максимальной частотой то наибольшую роль играют процессы с испусканием и поглощением фононов с энергией (см. [87]). При каждом таком элементарном акте электрон рассеивается на малый угол в, равный по порядку величины отношению импульса фонона к импульсу электрона, т.е. в (средний импульс фонона равен Испускание или поглощение фонона производится всем волновым пакетом электрона, и никакого дополнительного коллапсирования электронной волновой функции при этом не происходит (каждый акт взаимодействия просто изменяет импульс электрона). Сами фононы при этом выглядят как волновые пакеты с широкой областью локализации. Для их описания вполне оправданно приближение плоских волн.

Среднее время между последовательными рассеяниями электрона на фононах составляет величину при при Для нас более важным является время рассеяния на угол , равное Это время составляет величину те при и те при Время те удобно сравнить с временем электрон-электронных столкновений Как мы видим, те при а при понижении температуры те возрастает, так что при Как мы видим, те обычно значительно меньше и только при достаточно низких температурах, рассеяние на фононах перестает играть роль. Так как то рассеянием на фононах можно пренебречь только при где М — масса иона.

С учетом рассеяний на фононах волновые пакеты электронов и дырок движутся по ломаным траекториям с изменением направления движения при каждом акте испускания или поглощения

фонона. При угол рассеяния мал, а при увеличении температуры до дебаевской температуры и выше угол рассеяния становится порядка единицы. Качественный вид ломаной линии у траектории пакета при этом не меняется.

Для нас важно прежде всего то, что локализация волновых пакетов осуществляется столкновениями электронов и дырок между собой и что пакеты пульсируют по своим размером от одного столкновения до повторного столкновения. Еще более важной является асимметрия коллапсов, описываемая соотношением (269).

Рассеяние на фононах, казалось бы, должно сильно повлиять на величину эффекта Соколова. Оказывается, однако, что это влияние невелико. За время парных столкновений электроны успевают испытать рассеяний на фононах с изменением направления движения на угол порядка единицы. Соотношение (269) для величины асимметрии коллапсов относится к координате вдоль направления движения пакета. Если пакет много раз меняет направление движения, то величина асимметрии вдоль некоторого заданного извне направления становится меньше. Так как скорость движения пакета по абсолютной величине всегда равна то среднее значение асимметрии вдоль некоторого направления пропорционально отношению диффузионной скорости вдоль этого направления к скорости

Допустим, что электрон столкнулся с поверхностью металла и провзаимодействовал с атомом в момент времени После отражения от границы металла средняя диффузионная скорость изменяется по закону где — коэффициент диффузии. Величина асимметрии убывает со временем по закону Среднее значение этой величины за время равно приближенно и при те оно мало. Но следует учесть еще эффект повторных отражений от поверхности металла.

Плотность диффузионного облачка изменяется по закону так что в единицу времени происходит столкновений с границей металла. За время электрон испытывает столкновений с границей металла и при каждом таком взаимодействии электрон испытывает взаимодействие с атомом. Как мы видим, два эффекта компенсируют друг друга: эффективная асимметрия на фактор меньше, а эффективное взаимодействие с атомом в больше, чем это было бы в отсутствие электрон-фононных рассеяний.

Таким образом, величина (276) оказывается не зависящей от электрон-фононных рассеяний, если за время атом не успевает сместится на расстояние, большее Сильное рассеяние на фононах может сказаться лишь на временной зависимости фактора от времени. А именно, поскольку средняя асимметрия изменяется с

по закону, близкому к линейному, а суммарный эффект также накапливается линейно со временем по многим отражениям от границы металла, то нормированный на фактор А изменяется по закону

При не очень низких температурах, когда те величина эффекта Соколова определяется приближенными соотношениями (276), (278). Соотношение (276) отличается от приведенного ранее в работе [88] только несколько иными обозначениями.

Величина Е с размерностью электрического поля была названа Ю.Л. Соколовым "полем Демона". В случае горизонтальной поверхности металлического образца поле Е определяется соотношением (273). Коэффициент Ф, в этой формуле определен соотношением (276). Он имеет размерность потенциала электрического поля и при имеет порядок величины одного вольта.

Поле Е, не является реальным электрическим полем. Оно не может быть измерено макроскопическим прибором, поскольку причиной его возникновения являются коллапсы скоррелированных квантовых систем — возбужденного атома водорода и электронов металла. Поле Е, не может быть обнаружено и при пролете пучка произвольных микрочастиц, например, пучка электронов.

Дело в том, что поле Е, не может передать энергию движущейся частице. В случае возбужденного атома водорода возможность воздействия поля Е, на атом связана с тем, что у движущегося атома уровни имеют в точности одну и ту же энергию: величина лэмбовского сдвига компенсируется небольшим изменением кинетической энергии движущегося атома. Поэтому поле Е, изменяет только поляризацию атома без изменения его энергии.

Поле Е является не реальным электростатистическим полем, а вспомогательным корреляционным полем. Тем не менее, у него имеются некоторые черты, аналогичные свойствам электростатистического поля. Из формулы (273) видно, что поле Е, выражается в виде производной по х от электростатистического потенциала, образованного "поверхностным дипольным зарядом" равномерно распределенным по поверхности металла.

Соотношение (273) было написано нами на примере горизонтального участка плоскости, но оно легко переносится на вертикальные или наклонные границы образца.

В случае вертикального участка плоскости, имитирующего тонкую диафрагму и расположенного от до "заряд" Ф имеет

одинаковый знак на обеих сторонах поверхности, а поле Е оказывается одного знака справа и слева от полуплоскости. С помощью электростатистической аналогии можно описать и более сложную геометрию образца. Нужно помнить лишь, что в случае необходимости к электростатистическому вспомогательному полю можно добавлять постоянное поле, производная от которого по х все равно обратится в нуль и не даст вклада в ?.

Итак, приближенная теория эффекта Соколова основана на гипотезе о том, что атом водорода образует коррелированные ЭПР-пары со свободными электронами металла. Последующие необратимые коллапсы волновых функций электронов металла приводят к совместной релаксации сложной квантовой системы: атом - электроны металла. Оказывается, что электроны и дырки (в подходе Ландау к ферми-жидкости) приводят к несколько различным вкладам в эффект, как это видно из соотношений (274), (278). Вклады, связанные с неравномерным движением волновых пакетов, из-за столкновений оказываются разного знака для электронов и дырок, так что они в значительной мере компенсируют друг друга. Поскольку вклад от электронов оказывается несколько больше вклада от дырок, то знак эффекта определяется электронами. По своей физической сущности эффект Соколова обязан своим происхождением когерентной суперпозиции взаимодействий Энштейна-Подольского-Розена.

Описанная здесь теория в существенной мере опирается на газовую модель. Она предполагает, во-первых, существование очень простой ферми-поверхности в виде замкнутой сферы, а во-вторых, слабость взаимодействия между электронами. К сожалению, второе допущение является слишком идеализированным: в реальных металлах взаимодействие электронов не может считаться слабым. Поэтому данная теория должна рассматриваться всего лишь как некоторое качественное описание эффекта. Нетрудно проверить, что при не слабом взаимодействии электронов ширина пакета b не очень велика, а уширение пакета по энергиям, может быть сравнимо с Т. Поэтому тонкие эффекты замедления пакетов и их последующего коллапсирования являются, скорее, проявлением идеализированной модели слабого взаимодействия. В реальных металлах картина необратимых процессов может быть не столь уж утонченной.

По этой причине кажется вполне оправданным грубый подход, который предсказывает порядок величины эффекта и оставляет некоторый свободный параметр. В соотношении (276) в качестве такого параметра служит коэффициент представляющий собой множитель порядка одной десятой. Он не может быть вычислен при принятом нами уровне точности вычислений. Как будет показано в

следующем разделе, найденная величина эффекта по знаку и по абсолютной величине соответствует экспериментальным данным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление