Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

47. Вторичное квантование

В системах многих одинаковых частиц во многих случаях более удобным оказывается аппарат вторичного квантования. Мы обсудим его здесь только в той мере, в какой он может быть полезен для более ясного понимания тех рассуждений, в которых привлекаются понятия операторов рождения и уничтожения частиц. Пусть есть волновая функция тождественных частиц, зависящая только от одной из пространственных координат х, для каждой частицы из общего числа Для простоты мы допустим, что эти частицы удовлетворяют бозе-статистике, т.е. волновая функция симметрична по переменным На языке вторичного квантования нет необходимости фиксировать число частиц допуская возможность как рождения и аннигиляции частиц, так и изменения чисел заполнения различных квантовых состояний. Поэтому вместо одной функции можно представить себе набор функций с разным числом частиц. Эти функции можно расположить в виде столбца, и тем самым мы получим так называемый вектор состояния в пространстве Фока. Оказывается, что вместо рассмотрения функции удобно ввести операторные функции, действующие на вектор состояния. Эти операторные функции представляют собой вторично квантованное, или просто квантовое, поле. В рассматриваемом нами случае пространства Фока вводят два операторных поля: оператор рождения и оператор уничтожения одной частицы. Иногда у оператора значок "минус" опускают, и тогда означает просто эрмитово-сопряженный оператор по отношению к Оператор при действии на функцию переводит ее в а оператор переводит Явное выражение для этих операторов имеет вид

Добавим сюда еще одно полезное соотношение для коммутатора операторов

Наиболее просто действие этих операторов можно понять на примере невзаимодействующих частиц, когда в качестве симметризованной функции можно взять произведение одночастичных функций

Такое состояние называют бозевским конденсатом. Теперь мы видим, что оператор превращает функцию в (-функцию и затем по всем производится суммирование. А оператор добавляет к произведению (317) еще один множитель Можно сказать (с точностью до множителя или что оператор осуществляет замену одной из функций на -функцию в точке х, так что один из сомножителей типа исчезает. А оператор просто добавляет еще одну частицу с волновой функцией т.е. увеличивает число сомножителей типа на единицу. С помощью соотношений (314), (315) нетрудно найти выражение для оператора который называется оператором числа частиц

Оператор числа частиц является диагональным, а интеграл т.е. он равен просто числу частиц N для каждой из функций Чтобы лучше представить себе смысл операторов удобно усреднить их, т.е. проинтегрировать по с весом После интегрирования в простейшем случае (317) получаем

В более общем случае, когда не равно произведению (317), вместо входит одночастичная функция, усредненная по всем N переменным, кроме одной. С помощью операторов легко конструируются проекционные операторы. Допустим, например, что в результате измерения начальная функция коллапсирует в Если у нас имеется только одна частица, то этот коллапс осуществляется оператором коллапсирования (151). А если мы имеем N частиц, то мы должны осуществить коллапс поочередно у каждой из частиц да еще симметризовать полученную таким образом волновую функцию,

чтобы учесть бозе-симметрию. Если мы проинтегрируем (314) по х с весом то мы как раз и получим в правой части волновую функцию, у которой один из сомножителей заменен на т.е. у этой частицы осуществлен коллапс Теперь для получения выражения типа (151) нам осталось лишь добавить матричный элемент Как нетрудно видеть, его можно получить с помощью интегрирования (315) по х с весом Таким образом, мы естественно приходим к следующему выражению для проекционного оператора:

Разумеется, это выражение пишется с точностью до нормировочного множителя (если конечная волновая функция предполагается нормированной). Если воспользоваться соотношениями (314), (315), то действие проекционного оператора (320) на волновую функцию N частиц запишется как

Другими словами, у волновой функции вычисляется матричный элемент по отношению к функции затем он умножается на и полученное выражение симметризуется по всем частицам. После коллапса симметрия типа (317) теряется, но все же и новое выражение в применении к функции (317) выглядит достаточно просто.

Введение операторов удобно тем, что с их помощью описание динамики квантовых частиц становится очень похожим на описание динамики полей. Поэтому и оператор называют обычно квантовым полем. Поясним, о чем тут идет речь.

Оказывается, прежде всего, что некоторые аддитивные физические величины выражаются очень просто через операторы Например, импульс одной частицы выражается в виде оператора

который применяется к волновой функции. А если мы определим оператор

то согласно формулам (314), (315) его действие на эквивалентно сумме импульсов всех N частиц. Аналогичным образом, усредненный по х одночастичный гамильтониан в применении к равен сумме гамильтонианов N частиц. Более того, даже при наличии парных сил с потенциалом полный гамильтониан может быть записан в компактной форме

Здесь — одночастичный гамильтониан в поле сил с потенциалом — потенциал взаимодействия частиц. При описании динамики многих частиц часто оказывается удобным переход к представлению чисел заполнения. Он производится следующим образом. Пусть есть полный ортонормированный базис. В качестве такого базиса мы рассматривали, например, стоячие волны типа

Но в общем случае являются комплексными. Операторы как функции переменной х, могут быть разложены в ряды:

Поскольку функции составляют ортонормированный базис, то получаем отсюда

Амплитуды и также являются операторами. Волновые функции как функции своих переменных также можно разложить по базису При этом удобно перейти к представлению чисел заполнения. Обозначая волновую функцию с числом как можно показать, что действие операторов выглядит достаточно просто:

Оператор оказывается диагональным, а оператор полного числа частиц равен

До сих пор мы не учитывали временной зависимости волновых функций На самом деле они удовлетворяют уравнению Шрёдингера, которое в компактной форме записывается как

где — столбец из функций а оператор Гамильтона дается выражением (323). Символическое решение уравнения (328) имеет вид

где — вектор состояния в начальный момент времени.

Уравнения квантованных полей становятся еще красивее, если условиться проводить все усреднения физических величин с весовой функцией Тем самым производится переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга: волновая функция считается не зависящей от времени, зато все операторы приобретают временную зависимость. Для оператора это означает

где есть введенный нами ранее соотношениями (314), (315) оператор, не зависящий от времени. Из соотношения (330) находим

где квадратные скобки означают коммутатор. Уравнения (330), (331) описывают эволюцию чистого состояния. Они являются полностью обратимыми и не учитывают никакого взаимодействия с внешним миром. Если это взаимодействие сводится лишь к теплообмену со средой и нарушению когерентности состояний, то для описания соответствующих процессов достаточно введения матрицы плотности смешанных состояний. Однако если эти процессы включают в себя неравновесные коллапсы, то ситуация становится более сложной. Каждый из коллапсов можно описать оператором проектирования типа (319). Его можно представить в виде где амплитуды

равны соответственно

Появление случайных операторов проектирования можно учесть в уравнении (328) дополнительным слагаемым типа После этого обобщенное уравнение Шрёдингера перестает быть обратимым, и соответственно эволюция квантового поля, описываемая соотношениями (330), (331), имеет место только между коллапсами. В общем же случае многих взаимодействующих частиц эволюция квантовой системы становится гораздо сложнее, а главное, она перестает быть обратимой. Необратимость возникает в конечном счете вследствие информационной связи данной квантовой системы с неравновесным внешним миром.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление