Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

48. Кинетика газа

Кинетическая теория классического газа представляет собой вполне законченную область физики. Для описания газа используется уравнение Больцмана, которое решается обычно методом Чепмена-Энскога, т.е. разложением по обратным степеням члена столкновений. Тем самым из уравнения Больцмана выводятся уравнения газодинамики, т.е. уравнения Навье-Стокса. Кинетические коэффициенты этих уравнений вычисляются с помощью уравнения Больцмана. В случае очень резких градиентов, например, имеющих место в ударной волне, вместо уравнений Навье-Стокса можно воспользоваться методом моментов с той или иной процедурой замыкания высших моментов. Такой подход дает вполне удовлетворительные результаты.

Тем не менее, как мы установили в предыдущих разделах, подход к классическому газу с точки зрения квантовой теории позволяет обнаружить и рассмотреть ряд новых тонких эффектов, не описываемых обычным кинетическим уравнением. В этом разделе мы продолжим рассмотрение некоторых эффектов, связанных с квантовомеханической природой атомов или молекул газа. Рассмотрим опять газ с плотностью частиц при температуре Т в предположении, что газ является разреженным, так что длина пробега Пусть такой газ заключен в кубический сосуд со стороной куба, равной Фазовое пространство одной частицы в таком сосуде имеет ячеек, где — масса частицы, — ее средняя тепловая скорость. А полное число частиц в сосуде равно . В случае разреженного газа из общего числа ячеек только очень малая

доля оказывается заполненной частицами, а большая часть ячеек остается пустой. Как и в более ранних разделах, мы использовали здесь обозначение Л/тут для средней длины волны де Бройля. Таким образом, если газ разрежен, то он оказывается разреженным и в фазовом пространстве. Например, воздух при нормальных температуре и плотности имеет величину параметра Ясно, что классическая теория в этом случае должна иметь достаточно высокую точность. Тем не менее постараемся понять, к чему приводит квантовое рассмотрение.

Как мы установили выше, волновая функция каждого атома или молекулы газа выглядит, как волновой пакет. Размеры такого пакета в конфигурационном пространстве имеют порядок величины . А по импульсам волновой пакет имеет неопределенность порядка др Таким образом, волновой пакет занимает одну ячейку в фазовом пространстве. Соответственно, волновые функции атомов газа заполняют только очень малую долю от всего фазового пространства. Именно по этой причине волновую функцию всех атомов в единичном объеме можно считать равной произведению (223) индивидуальных функций вида (230), т.е.

Здесь — радиус-вектор выделенной частицы с некоторым номером (т.е. ), k — волновой вектор, а функции представляют собой однотипные огибающие вида

где плотность считается не зависящей от Таким образом, волновая функция (333) представляет собой сумму волновых пакетов с различными значениями волнового вектора к. Такая сумма получилась из-за неразличимости частиц, так что каждую частицу можно считать распределенной по множеству пакетов (в разреженном газе Ферми и Бозе статистики не отличаются друг от друга). В выражении (334) вектор где представляет собой скорость частицы, вектор соответствует центру волнового пакета, а вектор Величину будем считать постоянной, равной , где — среднее время столкновений.

Каждая из амплитуд (334) может включать в себя множитель вида где — произвольная фаза. Если эти фазы случайны, то можно составить произведение и затем произвести усреднение

по случайным фазам. При этом мы получим

Отсюда видно, что функция играет роль микроскопической функции распределения частиц. Если нас не интересуют флуктуации этой функции в фазовом пространстве, то можно произвести дополнительное усреднение по центрам волновых пакетов, и тогда мы получим обычную функцию распределения

Нечто подобное такому усреднению можно было бы провести и на более ранней стадии. Для этого рассмотрим все волновые пакеты, имеющие волновые векторы в небольшом объеме вблизи некоторого значения к. Все такие пакеты движутся с одной и той же скоростью . Поэтому их огибающие удовлетворяют уравнению (231). Теперь мы можем рассмотреть некоторую плавную функцию которая является общей огибающей для всех волновых пакетов. Такая огибающая в отсутствие столкновений также эволюционирует согласно уравнению

Естественно, что такая плавная функция связана с функцией распределения соотношением Таким образом, уравнение (336) является уравнением свободного движения для амплитуды а не для функции распределения Уравнение для последней получается как следствие уравнения для амплитуды: достаточно лишь умножить (336) на а и сложить с комплексно сопряженным уравнением.

Напомним, что плотность мы считаем пока постоянной величиной: Составим теперь билинейную комбинацию Если эту комбинацию усреднить по случайным фазам, то мы получим сумму билинейных величин по отдельным волновым пакетам. Если произвести еще дополнительное усреднение по центрам пакетов то мы получим следующее выражение:

Выражение

можно назвать матрицей распределения. Как мы видим, матрица зависит от двух непрерывных индексов: и . Если матрицу распределения усреднить по к с максвелловским распределением, т.е. выполнить суммирование по к в (337), то мы получим матрицу плотности.

Из этих соотношений видно, что наибольшее количество информации содержится в исходных выражениях (333), (334) для волновой функции При переходе к матрице распределения (338) часть этой информации теряется. Еще больше информации теряется при переходе от матрицы распределения к матрице плотности. Естественно, что при переходе к функции распределения теряется вообще вся квантовая информация.

Учтем теперь столкновения между частицами. Как было аргументировано в разделе 38, столкновения частиц можно описывать как случайный процесс: каждое реальное столкновение уничтожает два налетающих пакета и рождает два новых пакета. При этом сохраняется суммарный импульс и суммарная энергия взаимодействующих частиц. Число частиц тоже сохраняется, но иногда процесс рассеяния удобно считать происходящим в две стадии — сначала уничтожаются две налетающие частицы, а затем рождаются две новые, т.е. рассеянные частицы.

При переходе к рассуждениям с переменной плотностью числа частиц естественно отказаться от принятого ранее ограничения Поэтому вместо нормированной на единицу амплитуды а введем в рассмотрение величину Это означает, что величину можно считать суммой однотипных огибающих вида где нормировочный множитель В подбирается таким образом, чтобы имело место равенство При такой записи представляет собой микроскопическую функцию распределения. Но если нас не интересуют флуктуации, то мы можем перейти к плавной функции распределения, и тогда под можно подразумевать плавную огибающую всех волновых пакетов с импульсами Огибающая в отсутствие столкновений переносится со скоростью . А при наличии столкновений уравнение для А может быть записано в виде:

где представляет собой член столкновений.

Введем в рассмотрение операторы рассеяния оператор при действии на волновую функцию (333) уничтожает волновой

пакет с импульсом в окрестности точки точностью до ширины пакета) и рождает новый волновой пакет с импульсом вблизи той же самой точки Это значит, что можно представить в виде произведения оператора уничтожения пакета и оператора рождения Тогда член столкновений можно представить себе как результат действия произведения двух операторов Действие такого оператора на волновую функцию является случайным: оператор дожидается момента времени, когда в окрестности точки окажутся волновые пакеты с импульсами а затем он переводит их в новые пакеты с импульсами Вероятности соответствующего рассеяния находятся по правилам квантовой механики. При каждом рассеянии должны соблюдаться законы сохранения к

Член столкновений в уравнении (339) представляет собой результат всех рассеяний, в которых принимают участие волновые пакеты с данным импульсом

Здесь представляет собой сумму всех волновых пакетов (333), а множитель добавлен для того, чтобы выделить амплитуду из результата действия операторов рассеяния на волновую функцию Первая сумма в правой части (340) описывает инжекцию волновых пакетов с импульсом при рассеянии волновых пакетов к, а вторая сумма описывает убыль волновых пакетов к из-за рассеяния на пакетах к.

Если не интересоваться флуктуациями, то член столкновений (340) можно усреднить. Для этого достаточно умножить (340) на и провести затем усреднение по случайным фазам и центрам волновых пакетов. При этом получим

Здесь обозначает частоту столкновений частицы со скоростью с другими частицами:

где — вероятность рассеяния.

А член описывает инжекцию частиц со скоростью так что

где согласно закону сохранения импульса. Если перейти к упрощенному -приближению, то согласно (237) уравнение для амплитуды А можно приближенно записать в виде

Здесь отвечает максвелловскому распределению, так что где — локальная максвелловская функция распределения.

Умножая (344) на А и складывая результат с комплексно сопряженным уравнением, можно получить кинетическое уравнение Больцмана (233) с членом столкновений в -приближении (236). Из этого уравнения можно затем получить уравнения газодинамики с помощью приближенной теории возмущений, т.е. разложением по обратным степеням члена столкновений.

Итак, мы видим, что переход к классике осуществляется путем усреднения квадрата амплитуды волновых пакетов. Рассмотрим теперь задачу о броуновском движении. Пусть броуновская частица выглядит как шарик с радиусом Тогда о такую частицу в единицу времени ударяет в среднем атомов. Можно сказать, что величина играет роль поперечного сечения рассеяния атомов газа на броуновской частице конечных размеров.

При описании броуновской частицы возникают два вопроса: как быстро происходит ее диффузионное движение и что происходит с ее волновой функцией. Для описания диффузионного движения крупной броуновской частицы можно использовать классическое кинетическое уравнение. Мы сосредоточим здесь внимание на втором вопросе: как у броуновской частицы появляются свойства классической частицы?

Обозначим через координату броуновской частицы с массой М. С точки зрения квантовой теории броуновской частице следует приписать волновую функцию Как мы установили в разделе 37, волновая функция точечной броуновской частицы стягивается со временем в волновой пакет с размерами Здесь — ширина волновых пакетов атомов газа, — отношение массы атома к массе броуновской частицы, — длина пробега атомов газа. Сечение рассеяния атома на броуновской частице считается равным а. Здесь мы опишем броуновскую частицу конечных размеров.

Допустим сначала, что размер броуновской частицы значительно меньше длины свободного пробега атомов газа . Тогда можно воспользоваться рассуждениями раздела 36 с заменой частоты столкновений атомов газа с броуновской частицей на величину где Соответственно, для ширины установившегося волнового пакета броуновской частицы получаем оценку

Здесь — ширина волновых пакетов атомов газа.

В другом предельном случае рассеяние атома на броуновской частице происходит как отражение от границы макроскопического тела. Как было показано в разделе 30 (см. также рис. 9), волновая функция отраженного атома оказывается запутанной (завязанной) с волновой функцией макротела согласно соотношению (144). При коллапсировании волновой функции отраженного от тела атома на расстоянии от границы тела волновая функция макротела испытывает поджатие того же порядка величины, что и при рассеянии атома на броуновской частице малых размеров. Если коллапсы волновых функций атомов, отраженных от границы макротела, считать не зависимыми друг от друга, то мы снова придем к оценке (345).

Если ввести в рассмотрение размер атома то соотношение (345) можно записать в виде

Отсюда видно, что если размер броуновской частицы достигает величины , то ширина локализации ее волнового пакета становится меньше При этом броуновскую частицу заведомо можно считать классическим объектом.

По аналогии с броуновской частицей можно рассмотреть газовую частицу. Минимальный размер такой частицы, начиная с которого можно пользоваться представлением о сплошной среде, имеет порядок величины Я. Масса М такой частицы равна . Однако, в отличие от броуновской частицы, газовая частица не может воспринимать как целое импульсы от ударов атомов окружения. При размерах такую частицу следует рассматривать скорее как набор невзаимодействующих частиц. Поэтому квантовую неопределенность положения центра масс атомов в объеме следует оценить как Это выражение можно представить в виде

Как мы видим, квантовая неопределенность центра масс газовой частицы с размерами оказывается значительно меньше размера атома. Поэтому для описания газовых течений с размерами, значительно большими длины свободного пробега, вполне пригодны уравнения газовой динамики.

В разделе 9 мы рассмотрели один из простейших типов коллективного движения, а именно, звуковую волну малой амплитуды. Мы рассмотрим здесь эту волну с точки зрения волновых пакетов атомов газа. Как мы увидим, такой подход дает возможность сочетать классическое и квантовое описание.

Пусть газ занимает объем так что полное число атомов равно где — невозмущенная плотность. Будем считать, что звуковая волна является стоячей, а колебания газа происходят только вдоль оси х. Пусть скорость газа вдоль оси х равна Здесь является коллективной переменной (она отличается множителем от аналогичной переменной в разделе 9). Волновое число х считаем подобранным таким образом, чтобы соответствующие граничные условия удовлетворялись.

Пусть колебания плотности в звуковой волне имеют вид . При классическом подходе величину можно выразить через с помощью уравнения непрерывности (34).

Но точно такое же уравнение можно найти с помощью уравнения (339). Для этого достаточно умножить (339) на А, сложить его с комплексно сопряженным выражением и просуммировать все такого рода уравнения по Так как то мы получим уравнение непрерывности (34). В линейном приближении находим

Как было показано в разделе 9, колебания давления связаны с колебаниями плотности соотношением где — скорость звука. Учитывая, что колебания давления происходят по адиабатическому закону нетрудно найти поправку второго порядка

а стало быть, и локальную энергию . С помощью полученных соотношений находим полную энергию звуковой волны:

Зная выражение для энергии, нетрудно найти уравнение движения:

Это уравнение получено классически. Попытаемся теперь понять, как выглядит его квантово-механический аналог. Для этого воспользуемся волновой функцией Ч всех N атомов. Мы представим ее в виде функции от коллективной переменной

В пренебрежении взаимодействием между атомами функция Ч выражается в виде произведения (229) всех одиночных функций. Одиночные функции (333) были составлены нами для частного случая Если плотность не постоянна во времени и в пространстве, то более удобными являются функции

Для простоты мы сохранили здесь прежнее обозначение для функции одиночного атома, но следует иметь в виду, что функции (350) в раз больше, чем функции (333). Разумеется, при вычислении физических величин эта разница в нормировке функций роли не играет.

В пренебрежении взаимодействием между атомами функция Т удовлетворяет уравнению свободного движения

Так как согласно (229) волновая функция факторизуется, то уравнение (351) можно рассматривать как укороченную запись уравнения Шрёдингера для индивидуальных функций

Оператор А, действует на функцию следующим образом:

Сумму по к от второго слагаемого в квадратных скобках можно считать исчезающе малой, поскольку распределение по к практически изотропно. Что касается оператора то его удобно преобразовать с помощью перехода к новым переменным Тогда лапласиан А, заменится на новый оператор

Лапласиан А описывает расплывание волновых пакетов в относительной системе координат, движущейся со скоростью и. Как мы знаем, такое расплывание компенсируется столкновениями, и поэтому оператор можно опустить. После этого сумма в (351) превращается просто в оператор учитываем, что суммирование по сводится к умножению на N и усреднению

Обратимся теперь к сумме первых слагаемых в (352). Согласно уравнению Шрёдингера для индивидуальной функции слагаемое в правой части (352) приводит к ее временной зависимости вида где сок — энергия волнового пакета. Пакеты с разными к имеют разные частоты. Но если выделить некоторый пробный пакет и проследить за ним в течение промежутка времени, значительно большего то такой пакет успеет много раз сменить свою энергию. Поэтому его усредненная частота равна где — его средняя энергия. При термодинамическом равновесии эта энергия равна в чем можно убедиться с помощью усреднения по набору волновых пакетов с максвелловским распределением по скоростям.

Приближение газовой динамики пригодно только при т.е. . Поэтому локально газ можно считать термодинамически равновесным. Отсюда видно, что среднее значение суммы в (351) от выражения с первым слагаемым в квадратных скобках в (352) равно просто полной энергии газа. Соответственно, можно выделить энергию звуковой волны, и тогда уравнение для У относительно коллективной переменной запишется в виде:

Мы получили квантовый аналог классического уравнения движения (349). Уравнение (353) описывает звуковую волну, которую можно рассматривать как квантованную, но на очень высоком уровне возбуждения.

Представляется достаточно очевидным, что не все решения уравнения (353) могут иметь отношение к классическому газу. И это в самом деле так. Рассмотрим сначала волну минимальных размеров Согласно (353) при этом неопределенность основного состояния имеет порядок величины . Этой величине соответствует неопределенность центра масс где Мы приходим к той же самой оценке, что и при случайном сложении неопределенностей волновых пакетов.

При уменьшении х и увеличении N квантовая неопределенность центра масс газовых частиц должна уменьшаться, если считать, что процессы коллапсирования волновых функций атомов приводят в конце концов к коллапсированию волновой функции коллективного движения. Этот эффект можно рассмотреть на примере основного состояния осциллятора, описываемого уравнением (353). Учтем, что волновая функция осциллятора представляет собой некоторую огибающую, на которую нужно умножить волновую функцию (229). Если бы переменная не была связана с координатами частиц, то мы получили бы произведение на волновую функцию атомов (229). Но на самом деле имеет место соотношение где координата частицы с номером в лабораторной системе координат, — координата в "подвижной" системе координат, Это значит, что переменные , в волновой функции оказываются связанными между собой, т.е. фактически создается запутанное (entangled) состояние. Поэтому коллапсирование индивидуальных волновых функций должно приводить к процессу коллапсирования функции

Как мы знаем, волновые пакеты атомов испытывают периодические пульсации во времени. Сразу после коллапса зависимость волновой функции от х выглядит как где координата х отсчитывается от центра волнового пакета. Перед повторным коллапсом зависимость от х (в среднем) становится равной где . Таким образом, каждый коллапс можно описать в виде умножения волновой функции атома на формфактор

Рассмотрим некоторое фиксированное значение переменной Коллапсы волновых функций при данном , можно считать происходящими в подвижной системе координат. За время х частица с номером испытает смещение вдоль оси х порядка Смещение этой же частицы в неподвижной системе координат равно Форм-фактор около нового положения можно представить в виде

В среднем по этот фактор равен

Как мы видим, у каждого пакета появляется дополнительный множитель, зависящий от переменной Всего в объеме V находится N частиц, так что все пакеты дают вклад, который отличается от (354) отсутствием фактора и заменой на единицу (в силу усреднения по положениям пакетов). У волновой функции всех атомов (229) форм-фактор Ф за время равен Поэтому в приближении непрерывного коллапсирования уравнение Шрёдингера для основного состояния следует записать в виде

Здесь слагаемое добавлено для сохранения нормировки волновой функции Подставляя сюда решение в виде и подбирая у так, чтобы частота со была чисто действительной, находим величину для установившегося волнового пакета При получаем приближенно: Как мы видим, столкновения атомов создают очень узкий волновой пакет

Если функция относится не к основному состоянию, то ее удобно отнести к когерентному состоянию, в котором волновая функция локализуется около классической переменной Вблизи этого классического значения волновая функция имеет локализацию точно такую же, как у основного состояния. Поэтому мы можем повторить в точности то же самое рассмотрение и найти ширину волнового пакета вблизи классической переменной Как мы установили выше, эта ширина существенно меньше, чем квантовая ширина основного состояния без столкновений атомов между собой.

Приведенные здесь соображения можно перенести на любые несжимаемые и даже сжимаемые течения и потоки в обычном газе. Таким образом, квантовый хаос в газе, приводящий к пакетизации волновых функций атомов газа, создает условия для классического поведения его макроскопических параметров. Газ превращается в классическую среду. Как неявно мы предполагали, это происходит из-за слабого взаимодействия газа с окружающей средой. Именно это скрытое (мы условились называть его информационным) взаимодействие с окружением превращает газ в необратимую систему со всеми вытекающими отсюда последствиями.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление