Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава VII. НЕЛИНЕЙНОСТЬ И САМООРГАНИЗАЦИЯ

Данная глава посвящена рассмотрению некоторых нелинейных процессов в классических сложных физических системах. Речь идет, фактически, об открытых системах, через которые могут протекать потоки энергии и информации (негэнтропии). На простейшем примере конвекции жидкости показано, как может возникать неустойчивость, приводящая при превышении надкритичности к сложному нелинейному поведению, в частности, к странному аттрактору.

В разделах 50, 51 очень кратко затронуты вопросы самоорганизации и развития иерархических структур в сложно организованных физических системах.

В разделе 52 высказаны некоторые соображения о подходе к описанию свободы воли как физического явления.

49. Конвекция

До сих пор мы неявно предполагали, что внешнее окружение находится вблизи равновесия. Оказывается, что ситуация в корне меняется при неравновесном внешнем окружении. Физическая система, которая может обмениваться с внешним миром энергией и энтропией, называется открытой. Оказывается, что многие открытые физические системы обнаруживают свойство образования сложных нелинейных структур и процессов. Они так и называются — сложные физические системы, или системы с самоорганизацией.

В качестве простейшего примера необратимого процесса в открытой классической системе при неравновесном внешнем окружении мы рассмотрим конвекцию жидкости в поле силы тяжести. Такая конвекция легко возникает в любом слое жидкости при подогревании ее снизу. За счет теплового расширения более теплые участки жидкости становятся более легкими и архимедовой силой они вытесняются вверх, уступая место более холодным массам. Конвективных течений существует великое множество. Мы рассмотрим здесь лишь один из самых простых примеров конвекции в замкнутом тороидальном сосуде (рис. 34) радиуса R.

Будем считать, что жидкость в этом сосуде подогревается снизу и охлаждается сверху. Более точно, допустим, что температура стенок равна

где угол в обозначен на рис. 34. Пусть — температура жидкости, усредненная по поперечному сечению кольцевого сосуда. Если через у обозначить коэффициент теплообмена со стенками сосуда, то для температуры Т можно написать уравнение

Жидкость мы считаем слабо сжимаемой, так что скорость не зависит от в и может зависеть только от времени. Пусть а — коэффициент объемного расширения жидкости, так что у ее плотности появляется добавка . В поле силы тяжести изменение плотности приведет к появлению силы

Рис. 34. Жидкость в кольцевом сосуде подогревается снизу нагревателем при температуре заметно большей температуры Та холодильника в верхней части сосуда. При достаточно большой разнице температур в жидкости возникает конвекция.

Ее проекция на азимутальное направление равна в. Если эту силу усреднить по углу в, то мы найдем некоторое ее среднее значение. Именно это усредненное значение и действует на все кольцо жидкости, так что имеем

Здесь последний член с коэффициентом у, пропорциональным вязкости жидкости, учитывает торможение жидкости о стенки.

Усредняя (355) по углу в, найдем, что не зависящая от угла часть температуры Гдостигает стационарного значения Пусть . Тогда для получаем уравнения

А уравнение для скорости после усреднения по углу в произведения в записывается в виде

Как мы видим, в системе трех уравнений для переменных два уравнения (356), (357) являются нелинейными и только (358) линейно. Систему уравнений (356), (357) получил Лоренц [100], обративший внимание на ее весьма любопытные особенности. Обычно уравнения Лоренца записывают в безразмерном виде

где — безразмерные параметры, а величины выбираются таким образом, что они пропорциональны, соответственно,

Систему уравнений (359) принято называть моделью Лоренца. Ее самое простое решение имеет вид Оно описывает распределение температур в покоящейся жидкости. Но у системы (359) имеется еще одно стационарное решение

Разумеется, это решение существует только при Сравнивая второе уравнение системы (359) с уравнением (357), нетрудно заметить, что параметр пропорционален разности температур

Таким образом, решение с отличной от нуля скоростью появляется только после того, как разность превысит некоторое критическое значение. Стационарная конвекция при этом может идти либо против часовой стрелки либо по часовой стрелке Согласно (360) скорость конвекции пропорциональна корню квадратному из надкритичности

Рассмотрим линейное приближение (359), когда переменные малы. В этом случае квадратичные члены нужно отбросить, и тогда третье уравнение (359) оказывается не связанным с первыми двумя и описывает затухание со временем. А первые два линейных уравнения имеют решение в виде экспоненты Для инкремената нарастания малых возмущений у получаем дисперсионное уравнение

При два корня этого уравнения отрицательны, т.е. малые возмущения затухают со временем. А при одно собственное значение становится положительным, т.е. возникает неустойчивость. Если т.е. надкритичность мала, то одна из мод является медленно изменяющейся со временем: во многих областях физики такие моды называют мягкими. У мягкой моды является малой величиной, так что и X. Более того, во втором и третьем уравнениях (359) можно пренебречь производными по времени, после чего для и получаем их квазиравновесные значения . С учетом этих приближенных соотношений запишем второе из уравнений (359) в виде

Это уравнение можно рассматривать как уравнение безынерционного движения материальной точки с нулевой массой и координатой X под действием силы равной вязкому трению и силы со стороны потенциала

Согласно (362) "частица" медленно соскальзывает на дно потенциальной ямы Потенциал имеет существенно разный вид при (рис. 35).

При потенциал нарастает в обе стороны от так что является устойчивым стационарным состоянием. А при переходе параметра через единицу в сторону возникает так называемая бифуркация: у "материальной точки" с координатой X

появляется одно неустойчивое и два устойчивых положения, которые соответствуют стационарным состояниям.

Вспоминая, что координата X пропорциональна скорости жидкости мы можем сказать, что при малой надкритичности возникает стационарная конвекция либо по часовой, либо против часовой стрелки.

Параметр надкритичности называют обычно управляющим параметром: он задается извне.

Рис. 35. Зависимость потенциальной энергии от X в случае При частица в устойчивом стационарном состоянии может находиться только в одном из минимумов или (2).

Если параметр возрастает, переходя через единицу, то жидкость откликается на это неустойчивостью в точке и затем самопроизвольным раскручиванием потока, так что Можно сказать, что при жидкость не имела никакой информации, связанной с ее движением: жидкость просто покоилась. А при жидкости имеются два равновесных состояния, различающихся знаком скорости вращения. Это значит, что у одной макроскопической степени свободы появилась возможность "запомнить" один бит информации, который при устойчиво сохраняется конвекционным течением. Нетрудно видеть, что в рамках рассматриваемых нами макроскопических уравнений один бит информации появляется сразу же при когда скорость течения жидкости еще равна нулю: ведь если уменьшать от значений в сторону имеющийся у жидкости бит информации будет сохраняться вплоть до значений Можно сказать, что при жидкости появляется "тренд", т.е. намек на возникновение макроскопического параметра порядка и далее при ничтожно малом превышении над единицей этот "тренд" превращается в один бит информации. Дальнейшее увеличение никак не изменяет информационной емкости нашего конвекционного кольца, рассматриваемого как ячейка памяти: меняется лишь величина скорости у, т.е. ячейка становится более устойчивой по отношению к помехам.

Вспомним теперь, что реальные жидкости или газы имеют тепловые флуктуации. В частности, и на степень свободы, связанной с

круговым течением, приходится энергия, равная Следовательно, и при нас имеется "трава" из тепловых шумов различных мод. При мода кругового движения как бы выделяется из других мод: ее амплитуда становится больше, так как затухание уменьшается, а накачка тепловых шумов остается прежней. Вот это то явление и можно назвать "трендом": амплитуда моды выделяется "ростом среди сверстников". Переход параметра через единицу превращает эту надтепловую моду в макроскопическое течение.

Вернемся опять к полной модели Лоренца (359). У нее имеется три стационарных решения при и только два из них (360) устойчивы при небольшой надкритичности. Но что произойдет, если увеличивать параметр не ограничиваясь небольшими его значениями? Первый вопрос — устойчиво ли равновесие — можно опять рассмотреть с помощью линейного приближения вблизи равновесия. Соответствующий анализ показывает, что существует второе критическое значение выше которого происходит вторая бифуркация. Но это еще не все. Оказывается, система уравнений (359) имеет много различных мод движения. Самая удивительная из них была обнаружена самим Лоренцем при значениях параметров Это решение получило название "странный аттрактор". Лоренц обнаружил, что система совершает сложное хаотическое движение, похожее на "танец" вокруг двух неустойчивых фокусов. Стартуя с любой точки с небольшими система переходит на неустойчивый фокус, вокруг которого она начинает описывать витки с амплитудой, возрастающей со временем, т.е. пробегает траекторию по раскручивающейся спирали. После некоторого количества таких витков система внезапно устремляется ко второму фокусу, вокруг которого она снова описывает витки по раскручивающейся спирали. После нескольких витков, система снова перепрыгивает на первую спираль, чтобы приблизительно повторить то же самое движение. Однако никакой периодичности в таком движении нет: и времена, в течение которых система находится вблизи одного из фокусов, и число витков на каждой из спиралей кажутся совершенно случайными. Хаотическое движение появляется в совершенно детерминированной динамической системе с тремя координатами

Хотя запись уравнений движения в формуле (359) и является самой простой, она не дает наглядного представления, отчего возникает хаотичность. Для этих целей одно из уравнений удобно записать в более сложной форме. А именно, переменную

из первого уравнения (359) подставим во второе и третье уравнения, а затем переменную

подставим во второе уравнение. Тогда мы получим уравнение для X, которое по-прежнему не является замкнутым, но зато имеет очень удобную для качественного анализа форму:

Здесь — это тот же самый двугорбый (при потенциал (363). Как мы видим, без последнего члена уравнение (364) имеет вид уравнения движения материальной точки в потенциальной яме с силой трения, пропорциональной с коэффициентом трения, изменяющим знак с положительного на отрицательный при . А последний член имеет вид упругой силы с зависящим от времени коэффициентом упругости

Если производная не мала, то этот член, будучи зависящим от двух других переменных и со сложным поведением во времени, играет роль переменной вынуждающей силы. Если не учитывать корреляции между и X, то последнее слагаемое в (364) выглядит как случайная сила. Другими словами, материальная точка в двугорбой потенциальной яме движется под действием случайной силы, а коэффициент трения может быть как положительным, так и отрицательным. Этим и объясняется качественный характер движения странного аттрактора, хотя для количественного его анализа предпочтительнее вернуться к исходной системе уравнений (359).

Оказывается, что система Лоренца при больших значениях параметра имеет в дополнение к странному аттрактору целую серию различных динамических режимов. Мы не будем здесь их обсуждать подробно (см., например, [101]). Отметим только, что все эти решения связаны с конвекцией, а конвекция сама связана с усилением теплового потока от нагревателя к холодильнику. В самом деле, вертикальный тепловой поток рассчитанный на поперечного сечения сосуда, равен , где с — теплоемкость. Усредняя по углу , найдем , т.е. Если усреднить (359) по времени, то найдем, что усредненный по времени тепловой поток пропорционален

нален величине где черточка над означает усреднение по времени. В устойчивом состоянии а в режиме с конвекцией приближенно имеем Другими словами, конвекционное движение прямо связано с усилением теплопереноса, т.е. с увеличением темпа роста энтропии окружения.

Оказывается, что конвекция в модели Лоренца выражает основные общие черты диссипативных нелинейных процессов в приближении небольшого числа параметров порядка. А именно, с ростом неравновесности (т.е. разности — То) сначала, при некотором критическом значении этого управляющего параметра, появляются сами собой новые ненулевые параметры порядка (в данном случае и По мере дальнейшего роста надкритичности эти параметры возрастают, т.е. развивается стационарная бифуркация (360) с соответствующим возрастанием скорости диссипации, т.е. Затем, при дальнейшем возрастании надкритичности , наступает вторая бифуркация, так что параметры порядка становятся динамическими переменными сложной нелинейной системы (359). При дальнейшем возрастании в рамках системы (359) различные моды могут сменять друг друга. А в реальной физической системе могут появляться новые параметры порядка, описывающие более высокие гармоники движения жидкости. По мере роста числа гармоник движение становится все более и более сложным: для простоты его называют просто турбулентным. Такое турбулентное движение вместе с теплопереносом от нагревателя к холодильнику представляет собой сложный сценарий приближения к равновесию в сильно неравновесной системе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление