Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВАМ

К главе I. Алгоритмическая информация и демон Максвелла

В разделе 5 "Энтропия и информация" мы рассмотрели действия демона Максвелла с точки зрения второго закона термодинамики. При этом мы пользовались величиной информации по Шэннону (3), (5), которую очень легко связать с выражением для энтропии (27). Выражение (3) можно было бы назвать "физической информацией", поскольку она выражается в терминах вероятностей, естественных для физической статистики.

Но к понятию информации можно подойти с совершенно иных позиций. А именно, в работах Соломонова [107], Колмогорова [108] и Чайтина [109] была введена новая мера информации — размер (в битах) кратчайшей компьютерной программы, которая может описать ленту из нулей и единиц, представляющей собой запись данного информационного сообщения. Такое определение даже по внешнему виду существенно отличается от простого выражения (3), а по своей сути оно кажется даже более приемлемым для демона Максвелла, который вполне мог бы воспользоваться в своих действиях универсальной вычислительной машиной.

Рассмотрим, например, следующую ситуацию. Пусть в распоряжении демона Максвелла имеется множество, идентичных микротепловых машин Сцилларда. Каждая из них представляет собой ящик с одним единственным атомом. Каждый ящик может посредине перегораживаться заслонкой и тогда образуется N ящиков с атомами, расположенными только в одной из половин. Далее демон может измерить, в какой из половин каждого ящика находится атом, и записать результат этого измерения в виде ряда из нулей и единиц:

Как было показано Беннетом [110], такое измерение может быть проведено без затраты энергии. После измерения у демона появляется запись (367) с некоторым объемом информации, а энтропия N ящичков

с атомами падает на величину Строго говоря, чтобы произвести запись (367) демон или компьютер, его заменяющий, должен иметь определенные информационные ресурсы, но мы вернемся к этому вопросу чуть позже, а сейчас обратим внимание на несколько иное обстоятельство. Если бы ряд (367) был выбран совершенно случайно, то его информация по Шэннону равнялась бы Но демон, или компьютер, может попытаться найти алгоритмическую информацию ряда (367). Эта информация может оказаться меньше и тогда возникает вопрос, нельзя ли получить работу с помощью N микромашин Сцилларда (т.е. путем расширения той части объема, где находится атом) с гораздо меньшим возрастанием энтропии, чем в случае полного стирания информации ряда (367) и превращении ее в тепло. Этот вопрос был подробно проанализирован в работах Беннета [110] и Зурека [111, 112] (см. также работы [113, 114]). Мы резюмируем здесь результаты проведенного ими анализа.

Алгоритмическую информацию ряда (367) можно рассматривать как меру алгоритмической хаотичности рядов такого рода. Оказывается (см., например, [112] и цитированную там литературу), что практически все ряды вида (367), за малым исключением хорошо упорядоченных рядов, имеют алгоритмическую информацию, равную Другими словами, алгоритмическая информация очень длинных рядов вида (367) практически совпадает с информацией по Шэннону (3). Это значит, что практически все ряды вида (367) имеют энтропию, равную физической энтропии. Поэтому, если своим конечным шагом демон Максвелла сотрет всю информацию вида (367) и превратит ее в энтропию (т.е. в тепло), то он диссипирует при этом точно такое же количество энергии, какое он приобрел с помощью микромашин Сцилларда.

То же самое утверждение можно сформулировать несколько иначе. В течение многих лет считалось, что необратимость в действиях демона возникает при измерении. Необратимость в цикле демона в самом деле есть, но она не обязательно связана с процессом измерения. Ведь результатом измерения является просто архивная запись в виде ряда (367). Этот ряд можно рассматривать как копию с информационного ряда ящиков Сцилларда, в каждом из которых атом находится либо в правой, либо в левой из его половин. Как было показано Ландауэром [115, 116], снятие копии является обратимой информационной операцией, не требующей затраты энергии и превращения ее в тепло. Ту же самую обратимость можно увидеть и на рис. 1: восприятие, т.е. переброс информации из питателя в анализатор А является полностью обратимым процессом. Информационная необратимость возникает только при стирании информации,

содержащейся в ряде (367). А для того, чтобы подготовить систему измерения и записи информации А (см. рис. 1) к следующему циклу, демон должен сбросить в окружающую среду всю записанную ранее информацию и запитать систему негэнтропией, которую можно использовать для последующей операции копирования. Согласно Ландауэру именно стирание информации и подготовка системы сбора информации к следующему циклу (reset of memory) сопровождается увеличением энтропии окружения, притом не менее одного бита на одну ячейку памяти.

Итак, рассмотрение более сложных операций демона Максвелла, опирающихся на его "разумное" использование универсальной вычислительной машины, приводит к прежнему выводу: никакие действия не дают возможности превратить тепло в работу без всяких изменений в окружающей среде. Другими словами, информационное описание демона Максвелла полностью согласуется со вторым законом термодинамики.

К главе II. Чистые и смешанные ансамбли

В книгах и статьях по квантовой теории довольно часто встречается утверждение, что квантовая механика является статистической теорией: все, что она может предсказать, это якобы вероятности тех или иных событий, или результатов измерений. Такое утверждение, хотя и правильное, находится в сильном контрасте с тем фактом, что вычисленные в рамках квантовой теории константы имеют потрясающую точность и находятся в блестящем согласии с экспериментами.

Встречается также утверждение, что вся информация о квантовой системе содержится в матрице плотности. Тем самым создается впечатление, что все квантовые системы по отношению к измерительным приборам, т.е. к внешнему миру, всегда оказываются представителями смешанных ансамблей. В связи со всеми этими утверждениями хотелось бы дать некоторые разъяснения по поводу той точки зрения, которая принята в данной книге. Она состоит в следующем.

Во-первых, я полагаю, что -функция представляет собой реальность, существующую независимо от всяких приборов и методов измерений. Реальность -функции, а не просто способ описания — вот главный тезис. Но эта реальность особого рода. Волновая функция только по внешнему виду, — как функция координат и времени, — похожа на скалярные физические поля. На самом деле, это не обычное физическое поле. Волновая функция не переносит энергии и импульса. Она имеет чисто информационный характер: среднее

значение любой физической величины находится по формуле

где — соответствующий оператор, х — набор соответствующих переменных.

Согласно (368) нормировка -функции не имеет никакого значения. Не имеет значения и постоянный фазовый множитель который может быть добавлен к Более того, если оператор относится к некоторой не очень широкой области пространства, то при заданном волновая функция может быть исчезающе мала вдали от данной области. Другими словами, пакетизация волновой функции может не сказываться на значении физической величины Именно этот факт и означает, что мы придаем -функции чисто информационный смысл. Можно сказать, что волновая функция представляет собой физический объект, гораздо более тонкий по сравнению с обычными физическими полями.

Во-вторых, я считаю, что у одной единственной квантовой системы никаких объективно существующих смешанных ансамблей нет. Каждый квантовый объект, каждое физическое тело имеет в данный момент только одну единственную волновую функцию. В этом смысле все объективно существующие волновые функции соответствуют чистым состояниям (их можно называть ансамблями, но в этом большого смысла нет).

В-третьих, волновые функции в общем случае являются случайными функциями. Только в специфических условиях изолированных квантовых систем волновые функции детерминированы и подчиняются уравнению Шрёдингера. При любой открытости квантовой системы, т.е. при соприкосновении ее с внешним окружением, волновая функция становится случайным объектом: даже слабая открытость системы может приводить к "событиям", т.е. к случайным "квантовым скачкам".

Именно по той причине, что волновая функция является случайной, появляется возможность и целесообразность введения в рассмотрение смешанных ансамблей. Смешанный ансамбль — это способ статистического описания квантовой системы. Смешанные ансамбли удобно вводить в тех случаях, когда возникает необходимость статистического, т.е. усредненного описания физических свойств квантового объекта.

Такая необходимость возникает в двух случаях. Первый — это нахождение усредненных значений физической величины по многим результатам измерений. Второй — это, когда мы имеем сложную

систему с большим числом однотипных квантовых подсистем. Например, в случае газа объемы с размерами порядка длины свободного пробега являются как бы представителями одной и той же системы: смешанный ансамбль появляется здесь как физический объект в виде множества подсистем с "одним лицом". Но этот объект опять же не вполне реален — в каждой подсистеме волновая функция близка к чистому состоянию и только при усреднении появляется возможность пользоваться смешанными ансамблями.

Таким образом, именно чистая волновая функция (чистый ансамбль) является объективной реальностью в каждый момент времени, а смешанный ансамбль представляет собой вспомогательный теоретический инструмент, удобный для статистического описания.

К главе III. Запутанные состояния

III.1. Квантовая нелокальность

С проблемой нелокальности квантовая механика встретилась буквально в первые же годы своего становления. Первой неожиданностью физики микромира было соотношение неопределенностей Гейзенберга. Оказалось, что даже для простой локализации частицы в пространстве требуется иметь определенный запас энергии. Вторым сюрпризом была интерференция квантовых волн на двух щелях: у частицы явно существуют нелокальные волновые свойства. Но особенно большой отклик у ученого мира нашла статья Эйнштейна, Подольского, Розена [7] под названием "Можно ли считать, что квантовомеханическое описание физической реальности является полным?". Авторы вводят сначала следующее определение элемента физической реальности: "Если мы можем, без какого бы то ни было возмущения системы, предсказать с достоверностью значение некоторой физической величины, то существует элемент физической реальности, соответствующий этой физической величине". Затем они рассматривают волновую функцию двух частиц в виде

Это функция является собственной функцией по отношению к оператору (с собственным значением а), а также по отношению к оператору (с собственным значением 0). Это возможно, поскольку коммутатор равен нулю.

Но теперь видно, что измерение координат одной из частиц, скажем автоматически приводит к значению координаты второй частицы. А измерение импульса той же частицы дает значение первой частицы. Таким образом, измерение, проводимое над одной из частиц, автоматически изменяет состояние второй частицы, даже если они удалены друг от друга на очень большое расстояние. Это и есть так называемый "парадокс" Эйнштейна - Подольского - Розена. По мнению авторов этот мысленный эксперимент указывал на неполноту квантовомеханического описания, поскольку он находится в противоречии с интуитивным представлением о существовании элементов реальности.

На статью Эйнштейна, Подольского, Розена немедленно откликнулся Бор [117], показавший, что в данном случае речь идет опять о тех же самых основных квантовомеханических свойствах, которые проявляются в соотношении неопределенностей и в эффекте интерференции. Свойства микрочастиц не могут быть полностью отделены от той экспериментальной обстановки, в которой они наблюдаются. Фактически это утверждение соответствует признанию нелокальности квантовых явлений.

Более простой вариант ЭПР-корреляций был рассмотрен Бомом [118]. Он представлен на рис. 43. Две частицы со спином 1/2 приготавливаются вначале в точке в синглетном состоянии, затем они разлетаются в противоположные стороны.

Рис. 43. Две частицы со спином 1/2 в синглетном состоянии разлетаются в противоположные стороны. В каждой из точек наблюдения, А или В, имеется суперпозиция состояний со спином вверх и спином вниз. Измерение в одной из точек, скажем в В, оставляет только одно из направлений спина, а в точке А немедленно уничтожается состояние с тем же самым направлением спина.

Каждая из частиц находится в суперпозиции состояний со спином, направленным вверх, и со спином, направленным вниз. Если в точке В измерить направление спина, то волновая функция в точке А испытает коллапс в состоянии с противоположно направленным спином.

На первый взгляд может показаться, что рассмотренная ситуация мало чем отличается от классических коррелированных событий. В самом деле, рассмотрим следующий пример (рис. 44). Пусть имеется два шара - белый и черный. Эти шары помещаются в коробку и там взбалтываются. Затем, не открывая коробку, в нее вводят перегородку и разделяют ящик на два ящика меньших размеров А и В. Ящики А и В разносятся на далекое

расстояние друг от друга. Если теперь один из наблюдателей, А или В, откроет свой ящик и увидит цвет своего шара, он мгновенно поймет, что у другого наблюдателя шар имеет противоположный цвет.

Рис. 44. Классический корреляционный эксперимент с черным и белым шарами. Черный и белый шары помещаются в ящик, который разделяется затем перегородкой на два меньших ящика А и В. Наблюдатель В может открыть ящик, и если он увидет черный шар, то ему станет известно, что в точке А находится белый шар.

Как мы видим, у классического эксперимента (см. рис. 44) имеется отдаленная аналогия с квантовым экспериментом (см. рис. 43). Но на самом деле они принципиально различны. Чтобы лучше понять, в чем это отличие, удобно рассмотреть квантовый эксперимент с шарами, которые при наблюдении могут быть окрашены только в белый или черный цвет. Пусть два таких шара помещаются в общий ящик, где их цвета запутываются, так что при наблюдении этих шаров (или одного из них) их цвета всегда будут противоположными. Пусть ящик снова разделяется на два ящика меньших размеров, которые разносятся в точки А и В. До наблюдения ни один из этих шаров не имеет определенного цвета: цвет появляется только при наблюдении, т.е. контакте волновой функции цвета шара с внешним миром. Как только ящик открывается для обозрения, у шара появляется цвет (т.е. происходит "коллапс цвета"). При этом второй шар мгновенно окрашивается в противоположный цвет.

Рис. 45. Квантовая аналогия с шарами, которые при наблюдении могут иметь либо черный, либо белый цвет. Шары помещаются в общий ящик, там запутываются, а затем разносятся в закрытых ящиках в точки А и В. Если наблюдатель В откроет ящик и увидит (измерит) черный цвет, то шар в ящике А мгновенно станет белым.

Теперь мы можем понять, в чем состоит главное различие между рис. 44 и 45. На рисунке 44 случайное разделение черного и белого шаров по малым ящикам происходит при взбалтывании большой коробки и последующем введении перегородки. Этот процесс

цесс абсолютно случаен: он зависит от столь большого числа не контролируемых переменных, что никакой закономерности в разнесении шаров по малым ящикам нет (можно сказать, что мир в целом "принимает решение" о том, как эти шары разместятся по малым ящикам). После введения перегородки образуется система с одним битом информации. Состояний может быть только два: черный - белый или белый-черный. Этот бит информации переносится затем в точку А, а копия этого бита (с заменой цвета на противоположный) переносится в точку В. Можно сказать, у ящиков А и В имеется скрытый параметр — цвет шара в ящике А и противоположный цвет в В. При открытии ящика В скрытый бит информации "выпархивает" во внешний мир.

Этот цвет может быть кем-то (или чем-то) записан в память и использован затем для приведения в действие некоторой цепочки событий. Сама считка цвета, т.е. копирование бита информации, представляет собой обычный обратимый информационный процесс. Для того, чтобы этот бит привел в действие цепочку процессов, он должен попасть в неустойчивую необратимую систему и активно повлиять на сценарий развития необратимого процесса.

В отличие от рис. 44 квантовые шары рис. 45 никаких скрытых параметров не несут. Случайный процесс появления цвета возникает только при открытии ящика: только в этот момент и происходит "коллапс цвета". У шаров А и В имеется квантовая корреляция: по предположению они находятся в запутанном состоянии, так что появление черного цвета у шара В мгновенно приводит к окрашиванию шара А в белый цвет.

Здесь-то мы и встречаемся с квантовой нелокальностью. Поскольку окрашивание шаров происходит при "измерении", т.е. при соприкосновении одного из шаров (или их обоих) с внешним миром, то следует считать, что внешний мир нелокален. Волновые функции внешнего мира опутаны нитями квантовых корреляций, которые мгновенно "срабатывают" при коллапсах волновых функций. Случайность таких процессов позволяет сохранить релятивистскую каузальность, но факт нелокальности следует признать реальным. Общая эволюция квантовых систем состоит из периодов их обратимого развития согласно уравнению Шрёдингера, перемежаемых случайными событиями коллапсирования волновых функций. Коллапсы волновых функций уравнением Шрёдингера не описываются.

Описанный подход соответствует взглядам Копенгагенской школы. Эйнштейн, Подольский и Розен, по-видимому, предпочли бы иметь теорию, в которой случайность событий следовала бы из случайности некоторых внутренних скрытых параметров. Долгое

время не было понятным, как можно экспериментально подтвердить или опровергнуть точку зрения о существовании скрытых параметров, т.е. о существовании свойств квантовых объектов до их измерения. Ситуация резко изменилась после работы Белла [29], в которой было показано, что допущение существования скрытых параметров приводит к некоторым неравенствам. Экспериментально было показано, что эти неравенства нарушаются в полном соответствии с ортодоксальной квантовой теорией.

Мы опишем здесь только два из многочисленных экспериментов по проверке оснований квантовой теории. В эксперименте Аспекта, Далибарда и Роджера [31] было показано, что квантовая связь между коррелированными объектами является сверхсветовой, а в экспериментах по идеям Франсона [119, 120] такая связь была продемонстрирована в специальной оптической схеме.

Упрощенная схема эксперимента Аспекта, Далибарда и Роджера представлена на рис. 46. Пары коррелированых квантов с длинами волн нм и нм создавались с помощью двухфотонного возбуждения каскада кальции. Тонкость эксперимента состояла в том, что направления поляризацией а и b могли очень быстро изменяться с помощью акустооптического взаимодействия фотонов со стоячими ультразвуковыми волнами в воде. Скорость переключения была около 10 наносекунд, что значительно меньше времени возможной корреляции наносекунд), производимой какими-либо электромагнитными сигналами.

Рис. 46. Упрощенная схема эксперимента Аспекта, Далибарда, Роджера [31]. Пара фотонов анализируется линейными поляризаторами I и II (с направлением поляризацией а и b соответственно) и регистрируется фотоумножителями и Схема совпадений обеспечивает регистрацию совпадающих по времени сигналов.

Результаты экспериментов оказались в полном соответствии с квантовой теорией. Тем самым было показано, что у фотонов нет никаких скрытых параметров, которые могли бы удовлетворить неравенствам Белла.

Идея второго оптического эксперимента была высказана Франсоном [119, 120]. Она схематически представлена на рис. 47.

Пусть возбужденный атом испытывает каскадный переход с излучением квантов у, и Допустим также, что время жизни промежуточного состояния значительно меньше времени жизни верхнего уровня Нелокальные свойства каскада таких двух фотонов определяются тем, что начальная неопределенность интервала времени излучения определяется величиной так что оба фотона описываются единым пакетом с длиной локализации (рис. 47 б). Но если фотон измерить (скажем, размещая детектор вблизи точки С на рис. 47 в), то фотон сколлапсирует в интервал шириной Такая нелокальная редукция вполне аналогична рассмотренным выше коллапсам запутанных состояний (см. рис. 43,45,46).

Рис. 47. Схема эксперимента Франсона [119, 120]. (а) Атомный каскад с коротким временем жизни промежуточного До измерения оба фотона имеют неопределенность в пространстве масштаба (в) Если фотон у, измеряется в точке С, то положение фотона коллапсирует в интервал

Ясно, что она должна сопровождаться соответствующей квантовой нелокальностью. Для наблюдения этой нелокальности Франсон предложил использовать нелокальный интерферометр (рис. 48). Он состоит из двух однофотонных интерферометров для наблюдения квантов у, и На первый взгляд, регистрация кванта должна давать зависимость от сдвига фаз только второго интерферометра при полном отсутствии зависимости от фазы удаленного интерферометра. Но в квантовой механике это не так.

Пусть разница в сдвиге по времени между пролетами квантов вдоль длинных и коротких путей одинакова для обоих интерферометров. Тогда амплитуда регистрации фотона у, в детекторе и фотона в детекторе в одно и то же время равна

Здесь амплитуда соответствует распространению кванта у, по длинному пути, а кванта по короткому пути (и аналогично для Если невелико, то все амплитуды равны между собой:

Соответственно, амплитуда (370) становится равной

В этом случае вероятность совпадений оказывается равной

Эта величина равна просто произведению индивидуальных вероятностей того, что кванты пройдут через соответствующие интерферометры и будут зарегистрированы детекторами в отсутствие какой-либо корреляции между квантами.

Рис. 48. Нелокальный интерферометр. Атом в точке 5 испытывает каскадный переход с испусканием квантов у, и Фильтры пропускают соответствующие кванты на интерферометры с короткими и длинными путями. Детекторы могут быть включены в схему совпадений.

Нелокальные эффекты возникают при условии

При этом разность фаз, набираемая на длинном пути, настолько больше разности фаз, набираемой на коротком пути, что величины

Поэтому амплитуда равна просто

Сумма частот должна удовлетворять закону сохранения энергии, так что неопределенность Лео] в силу предположения (374) удовлетворяет неравенству

Соответственно, при для вероятности совпадений получается выражение

— центральные частоты соответствующих спектральных линий.

Выражение (378) зависит сразу от двух фазовых сдвигов: Ясно, что тем самым явно демонстрируется квантовая нелокальность. Результаты экспериментов по схеме Франсона приведены в работах [121-123]. Они находятся в полном согласии с квантовой теорией. Таким образом, еще раз было показано, что скрытых параметров в квантовой теории нет.

III.2. Операции с запутанными состояниями

Как было показано в последние годы, в квантово-информационных процессах огромную роль могут играть квантовые корреляции Эйнштейна-Подольского-Розена. Поэтому мы более подробно рассмотрим вопрос о том, какие действия могут совершаться с квантовыми системами, находящимися в запутанных состояниях.

Начнем с самого простого примера — пары частиц со спином 1/2, находящихся в синглетном состоянии. Волновая функция таких частиц, А и В, имеет вид

Такая пара имеет максимальную величину запутывания. Если у одной частицы, скажем А, измерить направление спина частицы, то спин другой частицы В окажется направленным точно в противоположную сторону.

Если имеется ансамбль идентичных пар частиц, то измерение спина у частиц сорта А автоматически влечет за собой измерение спина частиц сорта В, причем каждый раз спины частиц А и В будут направлены в противоположные стороны. Можно сказать, что измерение

спинов частиц в системе В автоматически переводит чистый ансамбль подсистемы А в смешанный ансамбль. Если нас интересуют только усредненные по многим измерениям результаты, то нам следует пользоваться матрицей плотности

Если в системе В произведены измерения, то матрица плотности системы А в соответствии с аксиомами квантовой теории равна

где означает взятие следа матрицы по переменным системы В. В случае синглетного состояния (379) матрица равна

Написанные выше соотношения легко обобщаются на случай произвольных квантовых систем А, В. Обозначим через ортонормированные функции систем А и В.

Тогда волновую функцию объединенной системы А + В, которая описывает запутывание этих систем, можно представить в виде

Здесь — число запутанных состояний. Такое представление называется полярной формой Шмидта (или представлением Шмидта). Подходящим выбором функций можно добиться, чтобы коэффициенты с, были действительными и положительными. Например, в случае (379) в качестве базисных векторов можно взять Кроме того, базисные векторы можно перенумеровать таким образом, чтобы числовая последовательность была убывающей. Фактически, именно так и строится разложение Шмидта. А именно, первая пара векторов находится из условия максимума скалярного произведения Затем эта процедура повторяется в ортогональном пространстве и так далее, пока не будет построена форма (383).

Согласно (383) матрица плотности равна

а матрица равна выражению

Выражение для получается отсюда заменой а, на

Как мы видим, в выбранном базисе матрицы являются диагональными с одним и тем же набором собственных значений

Введем в рассмотрение меру запутывания. Согласно [125] при измерении величины запутывания в битах она определяется соотношением

где символ означает логарифм при основании — число запутанных состояний. В случае одного синглета (379) коэффициенты так что равно одному биту.

Если речь идет не о квантовых вычислениях, а о физических системах, то более удобной мерой информации является величина

Здесь Е измеряется в натах, а не в битах. Если число запутанных состояний равно то максимум Е достигается, когда все равны между собой, так что — размерность гильбертова пространства.

Рассмотрим теперь некоторые операции с запутанными состояниями. Допустим, например, что в синглетном состоянии (379) частица В представляет собой составной элемент более сложной системы С. Если частица В со спином 1/2 находится во взаимодействии с другими степенями свободы системы С, то временную эволюцию полной системы С можно описать как унитарное преобразование с оператором где Я — гамильтониан системы С. Но унитарное преобразование не меняет ни матрицы плотности, ни величины запутывания Е (см. ниже). Более того, любое состояние систем А, С в момент времени с помощью обратного унитарного преобразования можно привести к исходной полярной форме Шмидта (383). Таким образом, при унитарных преобразованиях, в частности, при эволюции систем согласно уравнению Шрёдингера величина запутывания Е сохраняется.

Рассмотрим другой крайний случай, когда частица В попадает в измерительный прибор и тот производит измерение ее спина. Что при этом происходит с матрицей плотности? Если сохранить тот же самый базис то измерение приводит к превращению

Формально мы опять имеем но сам матрицы изменился: раньше матрица (384) была диагональной по совместному индексу а после измерения превращается просто в произведение независимых матриц . В разложении Шмидта коэффициенты с, для не запутанных степеней свободы следует положить равными нулю и только один из бывших коэффициентов с, следует заменить на единицу. Если только один из коэффициентов с, заменяется на единицу, а все остальные коэффициенты обращаются в нуль (в результате коллапса), то запутанность

Рассмотрим теперь промежуточный случай. Пусть система В, например, второй партнер синглета (379), попадает в сложную среду, где наряду с унитарной эволюцией объединенной системы могут вступать в игру механизмы декогерентности. Строго говоря, это означает информационную открытость объединенной системы. Но очень приближенно разрушение когерентности можно описать в виде монотонного убывания всех со временем:

Если при выполнялось условие нормировки то величина запутанности будет изменяться со временем по закону

Как мы видим, монотонно убывает со временем только при Это значит, что модель монотонного убывания со временем всех с, вряд ли является законной в применении к синглетному состоянию (329), когда Но в случае многих уровней монотонное убывание со временем не противоречит монотонному убыванию

Вернемся опять к паре частиц со спином 1/2. Синглетное состояние (379) соответствует максимальной запутанности. Если спины частиц А, В только частично запутаны, то соответствующую волновую функцию можно записать в виде

Отсюда видно, что в. Запутанность при и достигает максимального значения при Монотонное убывание Е со временем можно было бы описать как поворот угла в или в от первоначального значения Каждый из таких "поворотов" не является унитарным преобразованием и соответствует необратимому процессу разрушения запутанности.

Рассмотрим теперь, что происходит с матрицей плотности и запутанностью при унитарных преобразованиях [124]. Пусть матрица где — действительны и положительны. Пусть является матрицей произвольного унитарного преобразования, так что

Здесь целое число к может быть больше или равно так что в общем случае матрица является к матрицей.

Пусть ансамбль функций задан преобразованием

Найдем матрицу плотности состояний

Отсюда видно, что в силу условия унитарности (392) матрицы матрица плотности Таким образом, любое унитарное преобразование системы А не меняет ее матрицу плотности.

Верным оказывается и обратное утверждение: если две квантовые системы с одной и той же размерностью имеют одну и ту же матрицу плотности, то можно найти унитарное преобразование, которое переводит одну систему в другую. Это доказательство несколько сложнее (см. [124]), поскольку унитарное преобразование может относиться к системе, содержащей квантовую подсистему А как свою составную часть. Но с точки зрения физических представлений сформулированное выше утверждение кажется вполне естественным.

Что касается величины запутанности, то для доказательства ее инвариантности по отношению к унитарным преобразованиям достаточно

точно иметь в виду инвариантность матрицы плотности записанной в форме разложения Шмидта в базисе Отсюда следует, в частности, что величина Е не меняется при унитарных преобразованиях, проводимых порознь в системах А и В. Поэтому унитарными преобразованиями в системе В никак нельзя повлиять на приведенную матрицу системы А. Отсюда следует, в частности, невозможность передачи сверхсветовых сигналов на сколь угодно большие расстояния.

Процессы измерения и процессы коллапсирования волновых функций являются необратимыми и описываются не унитарными операторами. Например, простейшие виды измерения описываются согласно фон Нейману проекционными операторами. Такие проекции в системах с дискретными спектрами уничтожают недиагональные элементы матрицы плотности. Но нельзя a priori утверждать, что все физически допустимые процессы коллапсирования волновых функций должны быть полными. Если речь идет об ограниченных промежутках времени, то некоторые из процессов коллапсирования могут оказаться не завершенными. Соответствующие измерения окажутся неполными, и связь систем А и В в течение некоторого промежутка времени может частично сохраняться.

Рассмотрим некоторую идеализированную модель. Пусть система А представляет собой одну частицу со спином 1/2, а система В состоит из N частиц со спином 1/2. Пусть начальная волновая функция выглядит как

Такое представление соответствует полярной форме Шмидта; Во втором слагаемом (395) спин номера системы В повернут вверх, поэтому данное состояние является запутанным.

Допустим, что система В испытывает необратимый не унитарный переход где Тогда матрица плотности с точностью до членов первого порядка по а перейдет в выражение:

Как мы видим, у матрицы плотности не исчезли недиагональные члены, что свидетельствует о неполной декогерентности. Если N очень велико, то параметр может оказаться не очень малым даже при

Выражение (396) для можно рассматривать как сумму полностью диагональной декогерентной части и когерентной части, образованной волновой функцией

где константы удовлетворяют соотношению:

Нетрудно видеть, что рассмотренное в главе V объяснение эффекта Соколова соответствует именно такому необратимому процессу релаксации, когда когерентная часть волновой функции атома не исчезает полностью. Заметим еще, что унитарное преобразование вида матрицу плотности не изменило бы.

Если второй партнер коррелированной пары (379) попадает в сложную квантовую систему и там испытывает взаимодействие со многими частицами, то в отсутствие необратимых процессов величина запутывания Е остается постоянной. При этом число партнеров возрастает, т.е. возникает своего рода "растворение" запутывания по многим степеням свободы. Однако, как оказывается, возможен и обратный процесс "концентрации запутывания". Разумеется, самый простой способ осуществить "концентрацию" — это обратить время, т.е. осуществить обратное унитарное преобразование Правда, этот способ удобен для теоретических рассуждений, но трудно реализуем практически. Как показано в работе [125], можно построить более приемлемый алгоритм для концентрации запутанности, если воспользоваться механизмом телепортации. При некоторой заданной начальной запутанности ее можно сконцентрировать на меньшем количестве синглетных пар с максимальной удельной запутанностью. Такой процесс может быть осуществлен с использованием обмена только классической информацией между коррелированными системами А и В. Мы кратко изложим здесь логику статьи Беннетта и др. [125], которые используют для этой цели следующую простую модель.

Пусть имеется ЭПР-пар частиц с неполной, но одинаковой запутанностью, так что начальное состояние системы можно записать

в виде

Здесь каждые из можно представлять себе в виде: Функцию можно представить в виде суммы 2" различных слагаемых, которые можно сгруппировать в групп слагаемых при коэффициентах Их можно занумеровать индексом и, который соответствует показателю степени при Волновые функции, стоящие при множителях вида взаимно ортогональны. Поэтому можно представить себе такую схему измерений, которая проектирует состояние В на одну из таких волновых функций. Если такая проекция привела к результату под номером к, т.е. к волновой функции при то наблюдатель В с помощью классической информации может сообщить наблюдателю В, какой именно результат получен. Поскольку это состояние отвечает максимальной величине Е, то после соответствующих унитарных операций наблюдатели в А и В могут получить состояние в виде стандартных синглетов (такой процесс и есть телепортация).

Но как оказывается, существует и более интересный метод концентрации запутанности, который был назван в работе [125] прокрустовым методом. Пусть в начальном состоянии опять имеется много пар частично запутанных состояний вида (391) с углом Для простоты допустим, что угол мал. Этот факт должен быть известен наблюдателям А и В до проведения всех последующих операций: оба они должны знать, что вероятность состояния много больше вероятности состояния Допустим, что у наблюдателя В имеется возможность развести поляризации с помощью поляризатора, а затем поглотить часть пучка так, чтобы после поглотителя осталась только доля этого пучка. Потом прошедший пучок можно снова смешать с пучком Ясно, что при таком процессе суммарная запутанность сильно уменьшится: от начального значения она упадет до значения где — число оставшихся коррелированных пар. Каждая из таких пар имеет максимальную запутанность, равную т.е. одному биту.

У наблюдателя А останется малое количество коррелированных пар и "огромный объем шлака" из частиц в декогерентном состоянии Отделяя частицы в состоянии с помощью поляризатора и смешивая их с когерентной частью состояний ,

наблюдатель А как бы отбросит декогерентную часть. Таким образом, концентрация запутанности в процессе по методу Прокруста использует механизм отбраковки декогерентных состояний. При этом значительная часть первоначальной величины когерентности теряется, но зато оставшаяся когерентная часть приходится на значительно меньшую долю максимально запутанных синглетных пар.

Такой процесс можно представить себе происходящим в естественных условиях. Если имеется большая неравновесная система С, содержащая А и В как свои подсистемы, то можно представить себе следующий механизм запутывания А и В. Вначале система С создает очень слабую запутанность А и В. Затем система С поглощает (т.е. коллапсирует или измеряет) большую часть запутанных состояний. Если это затухание происходит избирательно, т.е. "вымываются" компоненты запутанных состояний, которые имеют большую амплитуду, то оставшиеся когерентные состояния концентрирует большую удельную запутанность на каждую из коррелированных пар. Можно сказать, что необратимый процесс релаксации приводит к квантовой самоорганизации. В общем случае квантовые и классические процессы самоорганизации могут приводить к созданию очень сложно организованных физических систем.

К главе IV. Необратимость в квантовой теории

IV.1. Термодинамические ограничения (constraints) на аксиомы квантовой теории

При описании коллапсов волновых функций атомов газа приходится использовать понятие "самоизмерений" или "внутренних измерений". Такие самоизмерения относятся к непрерывному спектру и соответствуют коллапсированию функций в одно из не полностью ортогональных состояний. Сам темп коллапсирований пропорционален плотности атомов, поэтому речь идет о своего рода нелинейном процессе. В этой связи представляется уместным обсудить работу Переса [126]. Она имеет название "Термодинамические ограничения на квантовые аксиомы", а в аннотации к ней сказано: "Второй закон термодинамики был бы нарушен, если бы была возможность различать неортогональные состояния, или если бы уравнение Шрёдингера было нелинейным".

Статья Переса написана простым, ясным языком. Нам здесь вполне достаточно еще более простое ее изложение. Как известно,

для термодинамических рассуждений наиболее удобным физическим телом является идеальный газ. Пусть температура Тогда та часть энтропии которая связана с объемом газа V, равна, согласно выражению (22)

где N — полное число частиц.

Пусть тот же самый объем заполняется частицами двух сортов, так что где — относительные концентрации. Тогда полная энтропия равна просто сумме соответствующих энтропий вида (399), т.е.

Если полное число частиц и объем то второе слагаемое может рассматриваться как энтропия смешения двух газов (аналогичное соотношение имеет место для слабых растворов в жидкости). Обозначим эту часть энтропии через Если имеется смесь многих газов, то

Допустим теперь, что мы имеем квантовую систему при температуре Т. Пусть функции представляют собой базис, т.е. полный набор ортонормированных состояний. Тогда произвольную волновую функцию можно представлять в виде

Здесь амплитуды можно считать действительными числами, если соответствующие фазовые множители вида внести в функции При тепловом равновесии амплитуды являются случайными числами, так что физический смысл имеют только вероятности Если у нас имеется N частиц, то величины можно рассматривать как соответствующие числа частиц в состояниях Соответственно, энтропия этих частиц (зависящая только от распределения вероятностей) может быть представлена в виде (401). В более формальной записи соответствующее выражение для энтропии фон Неймана имеет вид

где символ обозначает след матрицы, а есть матрица плотности:

Последнее выражение имеет диагональный вид в ортонормированном базисе но простым унитарным преобразованием матрица может быть переведена в любой другой базис.

Построим теперь идеальные тепловые машины, с помощью которых можно будет понять некоторые свойства смешанных квантовых ансамблей. Начать удобно с классических газов. Допустим, что у нас имеются перегородки, которые могут пропускать молекулы одного сорта и не пропускать молекулы других сортов. Возможность существования таких перегородок никак не противоречит законам термодинамики.

Пусть имеется равнокомпонентная смесь двух газов: С помощью полупроницаемых перегородок можно осуществлять следующие действия. Допустим, что с помощью перегородок, не пропускающих атомы первого сорта, мы фиксируем их объем V, а с помощью перегородки второго сорта увеличиваем объем, доступный для атомов второго сорта вдвое. При этом энтропия газа увеличивается на за счет чего производится работа, равная Затем с помощью перегородки второго вида можно вытеснить атомы второго сорта в объем V, не доступный атомам первого сорта. При этом объем атомов второго сорта возвращается к своему прежнему значению, так что на такое вытеснение требуется затратить работу - Мы возвращаемся к прежнему значению энтропии при нулевой суммарной энтропии. При этом газы оказываются в разных ящиках объема V.

Точно такого же эффекта можно достигнуть несколько иным способом. Допустим, что объем V представляет собой параллелепипед. Около противоположных торцов расположим по паре полупроницаемых перегородок. Затем продлим стенки параллелепипеда вдоль направления, перпендикулярного перегородкам и зафиксируем перегородки, не пропускающие атомы первого сорта. А перегородки, не пропускающие атомы второго сорта, будем передвигать вдоль ящика. Сохраняя расстояние между ними неизменным, мы сможем вытеснить весь газ второго сорта за пределы первого газа. После этого каждый газ будет занимать объем V, и при этом никакого изменения энтропии не происходит, и работы затрачивать не нужно. Суммарная энтропия при этом будет равна Можно далее уменьшить объемы вдвое, так что суммарная энтропия станет меньше:

Если позволить теперь газам свободно смешиваться, то энтропия вернется к своему прежнему значению Таким образом, возрастание энтропии при смешивании равно

Можно было бы представить себе, что разница между двумя сортами газа становится исчезающе малой. Тогда мы пришли бы к известному парадоксу Гиббса, который, как известно, был разрешен благодаря квантовой теории, в которой частицы одного сорта являются тождественными. А в наших рассуждениях парадокс разрешается тем, что перегородки могут различать молекулы только разных сортов.

Обратимся теперь к квантовой теории. Допустим для простоты, что у атомов газа имеется только два квантовых состояния. Например, это могут быть направления поляризации фотонов света. Согласно стандартным рецептам квантовой теории приборы могут различать между собой взаимно ортогональные состояния. Поэтому частицы в таких состояниях можно считать разными, так что мы приходим к выражению для энтропии, не отличающегося от классического (401). Не вступая в противоречие с аксиомами термодинамики и квантовой теории, можно опять представить себе существование полупроницаемых перегородок для каждого из взаимно ортогональных состояний. При этом снова будет иметь место полное согласие со вторым законом термодинамики.

Допустим теперь, что существует возможность различать не ортогональные состояния. Пусть, например, оказывается возможной мембрана, которая не пропускает через себя состояния вида . В случае фотонов это было бы состояние с поляризацией, направленной под углом по отношению к нормально поляризованным. Оказывается, что такое допущение сразу приводит к возможности создания вечного двигателя второго рода.

В самом деле, можно представить себе, что с помощью обычной полупроницаемой мембраны мы запираем в ящике частицы сорта 2, а частицы сорта 1 расширяем вдвое. При этом совершается работа, равная Затем вставляем обычную перегородку между объемами V, и частицы в новом объеме "поворачиваем" с помощью унитарного преобразования в состояние Если имеются перегородки, не проницаемые для этого состояния и проницаемые для остальных состояний, то с помощью таких перегородок частицы в состоянии можно "задвинуть" в исходный ящик. При этом никакого изменения энтропии не происходит и никакая работа не совершается. Если подождать некоторое время, то в ящике все состояния частиц перемешаются, т.е. мы перейдем к исходному

макроскопическому состоянию. Но, поскольку в первом такте цикла была совершена работа, то такой цикл позволяет совершать работу только за счет тепловой энергии. Невозможность создания вечного двигателя второго рода означает невозможность различать неортогональные состояния.

Аргументация по поводу недопустимости нелинейных членов в уравнении Шрёдингера является более тонкой, но суть ее сводится к тому же: нелинейность порождает со временем неортогональность, что противоречит неразличимости неортогональных состояний. Именно с линейностью уравнения Шрёдингера связана и невозможность клонирования одиночных квантов [97]. Поэтому окончательный вывод из работы Переса состоит в том, что второй закон термодинамики был бы нарушен, если бы можно было различать неортогональные состояния, клонировать отдельные кванты или вводить нелинейные члены в уравнение Шрёдингера.

Нетрудно видеть, что все приведенные аргументы не относятся к процессам внутренних самоизмерений. Процессы коллапсирования волновых функций в газе выглядят как слабо не ортогональные, если их выражать на языке одночастичных функций. Однако эта неортогональность не может быть выведена наружу от квантовой системы и превращена в макроскопические параметры. Нелинейность процессов коллапсирования — это не регулярная нелинейность в уравнении Шрёдингера, а результат случайных событий. Поэтому регулярный процесс развития неортогональности здесь также отсутствует. Что же касается клонирования, то оно к процессу самоизмерений никакого отношения не имеет. Поэтому процессы самоизмерений и пакетизации волновых функций атомов газа к противоречию со вторым началом термодинамики не приводят.

IV.2. Квантование систем с диссипацией

В модели непрерывного коллапсирования было использовано модифицированное уравнение Шрёдингера (209). В отличие от обычного уравнения Шрёдингера для квантового осциллятора в уравнении (209) член с "потенциальной энергией" имеет множитель Это значит, что соответствующий "гамильтониан" не является эрмитовым оператором, что явно указывает на наличие диссипации. Путем подбора параметра у в этом уравнении нам удалось построить стационарное решение, соответствующее нижнему уровню осциллятора, но все другие решения являются затухающими. С точки зрения физики это означает, что любой не гауссов волновой пакет стремится со временем принять стандартную гауссову форму.

Интересно обсудить вопрос о том, в какой мере уравнение непрерывного коллапсирования укладывается в общую схему квантовых систем с диссипацией. Вопрос о том, как должно строиться уравнение Шрёдингера для диссипирующих квантовых систем, был рассмотрен в работе Энца [127]. Мы обсудим здесь вкратце основные выводы из этой работы и их отношение к уравнению непрерывного коллапсирования (209).

Самое простое обобщение уравнения Шрёдингера на случай диссипации можно представить в виде

Здесь — оператор Гамильтона, а величина у добавлена для учета диссипации. Для волновой функции здесь использовано обозначение Дирака:

Величину у в (405) можно было бы принять за константу, но тогда мы пришли бы к нефизической задаче, когда все собственные функции оператора энергии затухали бы со временем. Чтобы сохранить разумный физический смысл уравнения (405), величину у следует считать оператором.

Допустим, что гамильтониан соответствует свободному одномерному движению одной частицы: где к — волновое число. Как показано в работе [127], разумное обобщение уравнения Шрёдингера в представлении выглядит как (405) с оператором у, имеющим вид

где — произвольная эрмитова матрица.

Как видно из этого выражения, у является эрмитовым оператором.

Если то величина у в уравнении является просто константой, так что простейший вариант уравнения (405) диссипацией также не исключен. Если считать то член можно считать константой: это тоже один из простейших вариантов уравнения с диссипацией.

Допустим теперь, что оператор связывает между собой близкие, но не равные друг другу состояния к, Одно из простейших допущений состоит в том, что

В конфигурационном представлении имеем

Но тогда в уравнении (405) мы получим потенциальную энергию осциллятора с мнимым коэффициентом упругости. Если добавить сюда еще слагаемое с мнимой константой, то мы получим уравнение (209) непрерывного коллапсирования.

Итак, уравнение непрерывного коллапсирования представляет собой простейший пример квантового уравнения Шрёдингера для системы с диссипацией. Как видно, оно соответствует допущению, что диссипация вовлекает в перемешивание только близкие друг к другу -уровни. Ясно, что такое допущение в точности соответствует гипотезе непрерывного коллапсирования.

К главе V. Эффект Соколова

V.I. Эффект Соколова как результат когерентной суперпозиции ЭПР-взаимодействий

В разделе 42 была описана качественная теория эффекта Соколова, основанная на газовом приближении для кинетики свободных электронов в металле. Здесь мы обсудим вопрос о том, почему предлагаемая система представлений кажется наиболее приемлемой.

Начнем с оценки числа электронов принимающих участие во взаимодействии с возбужденным атомом водорода. Если атом пролетает на расстоянии от образца металла (т.е. от достаточно узкой диафрагмы), то он за время пролета успевает провзаимодействовать с электронами. Здесь фактор учитывает величину эффективной поверхности, есть плотность свободных электронов выше уровня Ферми, — скорость электронов на границе Ферми, так что При см, находим Как мы видим, каждый акт пролета атома вблизи поверхности металла вовлекает во взаимодействие фантастически большое число электронов.

Рассмотрим волновую функцию одного из таких электронов. Для наглядности рассуждений допустим, что эта волновая функция выглядит как волновой пакет с огибающей похожей на функцию Гаусса (рис. 49а). Координата х отсчитывается вдоль направления распространения пакета. Допустим, что волновой пакет налетает на границу металла и затем, слой за слоем, отражается от границы

металла и улетает в его глубину. На границе металла электрон может провзаимодействовать с возбужденным атомом, создавая в нем малую добавку состояния из состояния относящегося к уровню. Как было аргументировано в основном тексте книги, электрическое поле электрона в значительной мере компенсировано обратным по знаку полем ионного остова. Но амплитуда состояния может быть отлична от нуля за счет того, что атом водорода движется, Эту добавку к состоянию можно считать пропорциональной х, где х отсчитывается от центра пакета (см. рис. 49а). В среднем по волновому пакету амплитуда обращается в нуль.

Рис. 49. На рисунках изображена волновая функция свободного электрона в виде волнового пакета с огибающей ему соответствует "запутанная" амплитуда атома водорода, антисимметричная относительно продольной координаты На рисунках то же самое состояние имеет антисимметричную огибающую

Как мы видим, волновые функции электрона и атома оказываются запутанными: амплитуда атома является функцией координаты электрона, отсчитываемой от центра волнового пакета, запрятанного глубоко внутрь металла. Функция является совместной функцией атома и электрона, и ее можно на столь же законных основаниях представить в виде где (см. рис. 49 в, г).

Если мы учтем все N электронов, то волновую функцию атома и электронов металла можно представить в виде

Здесь — амплитуды состояний возбужденного атома водорода, — невозмущенная функция всех N электронов металла (принимавших участие во взаимодействии), а функция соответствует суперпозиции, в которой одна из индивидуальных функций соответствует несимметричному волновому пакету вида (рис. 49в). Форма представления сложной волновой функции многих частиц в виде суммы (409) называется полярной формой Шмидта (или представлением Шмидта). Два слагаемых в (409) ортогональны друг другу:

амплитуды соответствуют ортогональным состояниям электрона внутри атома, а волновая функция содержащая волновые пакеты вида ортогональна с пакетами вида очевидным образом (ср. рис. 40а и в).

Как мы видим, согласно соотношению (409) состояниям атома соответствуют кардинально различные волновые функции электронов металла; пока в игру не вступили необратимые механизмы релаксации, металл "запоминает" всю историю предыдущего взаимодействия.

Согласно (409) волновая функция соответствует запутанному состоянию: функция Ч не может быть представлена в виде простого произведения волновой функции атома на волновую функцию электронов металла. Если функции считать нормированными на единицу, то величину запутывания (в битах) согласно [125] можно представить в виде:

Заметим, что предположение о существовании пакетов рис. 49 использовано нами для наглядности. Что касается представления в виде полярной формы Шмидта (409), то оно является гораздо более универсальным и не зависит от конкретной формы волновых функций электронов.

Предположим теперь, что над функцией производятся измерения. Например, это может быть регистрация кванта лайман-альфа в фото детекторе. Согласно традиционным представлениям такое измерение должно спроектировать волновую функцию на одно из взаимно ортогональных состояний. А именно, срабатывание фотодетектора должно согласно (409) означать не только факт наличия состояния атома водорода, но и одновременно переход от невозмущенной функции к ортогональной функции одного из электронов металла, принявших участие во взаимодействии. Исходя из представлений об абстрактных операторах проектирования, такую возможность исключить нельзя. Но более естественной представляется картина, когда "измерение" происходит за счет декогерентности электронов внутри металла.

При этом коллапсы волновых функций электронов металла ("самоизмерения") происходят сами собой в силу естественной необратимости квантовых процессов в металле. Тогда у атома должна сначала появиться амплитуда и только вслед за этим детектор может зафиксировать факт распада этого состояния.

Если так, то можно представить себе, что только один из N электронов в функции испытывает коллапс. Такой процесс соответствует

неупругому процессу взаимодействия атома с одиночным электроном [127]. Вероятность соответствующего процесса можно найти, вычисляя амплитуду для одного электрона и умножая затем квадрат амплитуды на все N атомов, принявших участие во взаимодействии.

Величину приращения амплитуды от одного электрона можно оценить с помощью соотношения (271) (оно соответствует передаче электрону кванта где — частота лэмбовского сдвига). По порядку величины получаем где — дипольный момент атома (по отношению к переходу), для квадрата амплитуды состояния получаем оценку При эта величина очень мала: . Другими словами, вероятность неупругого столкновения остается очень малой вплоть до

Но остается еще одна возможность, которая и приводит к эффекту Соколова. Если коллапсирование электронов происходит с малой асимметрией, то вклады во второе слагаемое в (409) не уничтожаются "индивидуальными измерениями" электронов, а суммируются, и притом когерентно. Амплитуда набирается теперь суммированием N индивидуальных амплитуд за счет энергии в формуле (272). Если асимметрия волнового пакета электрона характеризуется малым смещением центра пакета на величину то энергию (272) можно оценить как Соответственно, вклад в амплитуду от одного электрона имеет порядок величины Вследствие эффекта когерентности эти амплитуды складываются, так что суммарный набег амплитуды становится порядка Так как то получаем оценку для эффекта Соколова . После релаксации электронов совместная волновая функция Ч вновь факторизуется, но атом оказывается в суперпозиции -состояний.

Нетрудно видеть, что процесс последовательного коллапсирования волновых функций электронов неизбежно приводит к эффекту запаздывания. Пусть — соответствует моменту (отсчитываемого от момента предшествующего коллапса) отражения волнового пакета от границы металла. Именно на волновом пакете и записывается информация изображенная на рис. 496). Чтобы коллапс, последующий за этим взаимодействием, смог дать отличный от нуля несимметричный вклад в должно пройти некоторое время. Отсчитываемая от несимметрия коллапса должна накопиться. Характерное время этого накопления составляет величину порядка т. Именно на величину порядка должен быть сдвинут

максимум производной по времени от (если не учитывать распады -состояний).

Итак, если придерживаться представлений о том, что измерения в квантовой механике не являются чем-то мистическим, а представляют собой естественный продукт декогерентности, то мы приходим к той картине эффекта Соколова, которая была изложена в книге. Эффект представляет собой результат когерентного сложения очень многих взаимодействий Эйнштейна-Подольского-Розена. Каждый свободный электрон проводимости металла образует ЭПР-пару с возбужденным атомом водорода. При последующей релаксации волновой функции этого состояния у атома водорода появляется малая добавка к амплитуде -состояния. Поскольку речь идет о суммировании очень малых вкладов от огромного числа электронов, то суммарный эффект можно описать на языке корреляционного электрического поля . Это поле не может быть измерено макроскопическим прибором, поскольку оно носит сугубо корреляционный характер. Однако в некотором отношении у него можно найти черты, делающем его похожим на обычное электростатистическое поле.

V.2. Электростатика корреляционного поля Е,

Чтобы понять, в чем сходство и в чем различие корреляционного поля Е в сравнении с обычным электростатическим полем, удобно рассмотреть взаимодействие возбужденного атома водорода с металлическим образцом произвольной формы. Для этого достаточно лишь слегка обобщить соотношения (280), (281).

Пусть атом водорода в состоянии движется со скоростью вдоль оси х. Координаты атома обозначим через Координаты элемента поверхности металла, который "видит" летящий атом, обозначим через Для простоты мы допустим, что образец является однородным вдоль поперечной координаты у. Элемент дуги поперечного сечения образца (при обозначим через Тогда общее выражение для корреляционного поля можно представить в виде

где интеграл по берется только по "видимой" части дуги сечения (рис. 50), а константа Ф» дается выражением (276).

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

Эта функция по своему выражению через интеграл выглядит как потенциал электрического поля, создаваемого двойным слоем с дипольной плотностью Ф. Если точки а и b соответствуют ребрам образца, то . В этом случае и являются гармоническими функциями в тех областях пространства, где видны одни и те же грани образца. В общем же виде связь между и более сложная, так как при смещении атома в плоскости точки также смещаются. По этой причине Е, в общем случае нельзя представить в виде производной по от некоторого потенциала. Но в частных случаях такое представление возможно.

Рис. 50. Атом водорода при взаимодействии с металлическим образцом произвольной формы "видит" только часть металлической поверхности между лучами А и В. Соответственно, для данного положения атома интегрирование по проводится только по дуге

Рассмотрим, например, самый простой случай тонкой узкой диафрагмы (рис. 51). Вдали от диафрагмы поле Поэтому производная от по х может быть приближенно представлена в виде

Если вместо щели оставить только одну пластину, убрав вторую половину, то корреляционное поле Е можно приближенно представить в виде

Рис. 51. Атом А пролетает сквозь узкую щель в тонкой диафрагме.

V.3. Коллапсы волновых функций

Вопрос о коллапсах волновых функций возник в самые первые годы становления квантовой теории. С тех пор он не перестает быть предметом дискуссий и самых разных точек зрения.

С математической точки зрения этот вопрос был проанализирован фон Нейманом [2]. Он различает два непохожих друг на друга процесса: непрерывную эволюцию квантовой системы в соответствии с уравнением Шрёдингера между измерениями и случайные проекции на одно из возможных состояний при измерении. Второй процесс не описывается уравнением Шрёдингера и является случайным. Но согласно фон Нейману этот случайный процесс не может быть описан и в терминах скрытых параметров. Разбиение процессов эволюции только на два типа без физически ясного описания самого явления коллапса не мог удовлетворить физиков с образным мышлением. Поэтому вопрос о коллапсах оставался и продолжает оставаться предметом оживленных дискуссий. К его объяснению были намечены многие, часто сильно различающиеся подходы.

Существует, например, точка зрения А. Переса [129, 130], что проблемы коллапсов вообще нет, поскольку "вектор состояния нельзя приписать отдельной системе, а только ансамблю систем". Соответственно, волновая функция становится не свойством системы, а только "процедурой" для вычисления вероятностей, но с таким подходом трудно согласиться. Перес добавляет в своей статье [130]: "Те из читателей, которые привержены позиции "реализма", не примут моего подхода, но тогда это их проблема, как объяснить удивительные события..." при измерениях. Прямо противоположная точка зрения, напротив, допускает динамическое описание коллапса [131] и существование спонтанных коллапсов [132] даже у свободной частицы. Для описания таких коллапсов уравнение Шрёдингера предлагается дополнить феноменологическим слагаемым со стохастичностью. Поскольку при этом изменяется динамика даже свободной частицы, данный подход должен привести к кардинальному изменению основ квантовой механики, для чего пока не видно достаточных оснований.

Более естественными представляются подходы, которые связывают коллапсы с влиянием сложного внешнего окружения [133-135]. Моделируя взаимодействие с внешним окружением бассейна осцилляторов, Унру и Зурек [136] в самом деле обнаружили возможность коллапса волновой функции перевернутого маятника. Можно полагать, что аналогичным образом коллапсы волновых функций должны происходить и в системах, классические аналоги которых имеют разбегающиеся траектории в фазовом пространстве. Простейшей из

таких систем является обычный газ. Естественно допустить поэтому, что газ является усилителем стохастичности как классической, так и квантовой. Если это так, то мы приходим к естественной картине квантового молекулярного хаоса, когда усиление внешней стохастичности проявляется в виде коллапсирования волновых функций атомов газа при их рассеянии и последующей сложной декогерентности.

Предполагая, что такая декогерентность проявляется в уничтожении волновых функций там, где атомов нет, мы естественно приходим к описанию газа в терминах волновых пакетов. Каждый из таких пакетов взаимодействует с другими атомами, порождая рассеянные волны, а затем коллапсирует в один из возможных рассеянных пакетов. При таком подходе волновые функции атомов газа приобретают информационный характер, и механизм уничтожения волн там, где частица отсутствует, является вполне естественным.

Коллапсы волновых функций атомов газа приводят к коллапсам волновых функций других частиц, взаимодействующих с газом. Таким образом, газ можно рассматривать как измерительный прибор: он легко выполняет самый деликатный этап процесса измерения — коллапс волновой функции.

Коллапсы волновых функций не являются произвольными: они подчиняются универсальной наложенной извне связи — вероятности коллапсов должны быть пропорциональны для соответствующего состояния. Этот универсальный закон не позволяет создать сверхсветовую коммуникацию на произвольно больших расстояниях. Но коллапсы индивидуальных волновых функций в газе, в том числе в газе свободных электронов, допускают малое отклонение от универсального закона если взаимодействие сложной системы большого количества электронов описывать на языке индивидуальных волновых пакетов. Обычно такое малое отклонение от закона не играет большой роли, но оно является ключевым для объяснения эффекта Соколова. Соответственно, на базе эффекта Соколова можно представить себе передачу информации посредством квантовых корреляций на сравнительно небольших расстояниях. Существенную роль при этом играют необратимые процессы релаксации электронов проводимости в металле.

Итак, если стоять на позициях реалистического подхода, то коллапсы волновых функций следует рассматривать как реально протекающие процессы. Коллапсы волновых функций могут происходить внутри физических систем, как своего рода "внутренние измерения" или "самоизмерения". Именно такие процессы имеют место при эволюции волновых функций атомов газа или броуновских

частиц в газе. Еще более четко коллапсы волновых функций проявляются при обычных "внешних" измерениях: при этом одновременно коллапсируют функции измеряемого микрообъекта и измерительного прибора. Такой коллапс четко демонстрирует квантовую корреляцию двух систем — микрообъекта и прибора.

При коллапсе коррелированных систем происходит обмен информацией, связанный со случайным выбором одного из коррелированных состояний. Вопрос состоит в том, является ли этот обмен чисто случайным или он скрывает в себе возможности для управляемой передачи информации, накапливаемой многими микрообъектами. Поскольку коллапсы скоррелированных систем могут происходить в течение достаточно коротких интервалов времени, то возможность передачи информации посредством квантовых корреляций перекликается с возможностью сверхсветовых коммуникаций. Ясно, что сверхсветовая передача сигналов на большие расстояния вступает в противоречие с принципом относительности. Поэтому мгновенная передача сигналов на очень большие расстояния запрещена. Согласно работам [92-95] этот запрет следует из общего принципа квантовой механики, что вероятности событий пропорциональны Можно сказать и наоборот: из принципа относительности следует случайность квантовых событий и закон (см. по этому поводу [137]). Однако в сложных необратимых системах внутренний обмен информацией за счет квантовых корреляций, в том числе сверхсветовой обмен информацией, кажется не запрещенным.

К главе VI. Информационно открытые системы

Главная трудность квантовой теории — кардинальное отличие квантового микромира от классического макромира — появилась с первых шагов становления этой теории и продолжает быть объектом многочисленных дискуссий вплоть до настоящего времени.

Именно из-за неопределенности границы между микромиром и макромиром (и даже наблюдателем) возникли различные интерпретации квантовой теории. К настоящему времени наибольшее признание получила интерпретация Копенгагенской школы. Согласно этой концепции эволюция микромира, изолированного от макромира, описывается уравнением Шрёдингера. При этом макроскопическая обстановка такой эволюции создается макроскопическим классическим окружением, а взаимодействие микрообъектов с макромиром происходит только в приборах и выглядит как случайный процесс. Вероятности соответствующих случайных событий при измерениях

следуют принципу Борна: вероятности событий пропорциональны квадратам амплитуд волновой функции.

Хотя такая интерпретация и кажется наиболее удовлетворительной, она оставляет без ответа два вопроса: что такое классическое тело с точки зрения квантовой теории и чем определяется случайность событий при измерениях. После того, как был открыт целый ряд макроскопических квантовых явлений, стало ясно, что классическое поведение макротел не является универсальным, а зависит от конкретных макроскопических условий. Наиболее приемлемой кажется точка зрения, что классическое поведение макротел создается их взаимодействием с макроскопическим окружением. В работах Зурека и примыкающих к ним статьях (см. [138-141] и цитируемую там литературу) высказана основополагающая идея о том, что классическое поведение макротел объясняется их взаимодействием с внешним окружением. Такое взаимодействие, согласно Зуреку, выглядит как постоянный мониторинг (измерение) макротел окружающей средой. Предложенный им термин "Environment - Induced Superselection" (суперселекция, индуцированная окружением) отражает тот факт, что внешнее окружение в силу огромного числа его измерений должно разрушать когерентность между различными квантовыми состояниями макроскопических тел. Соответствующая декогерентность и должна приводить к классическому описанию макротел, связанных с внешним окружением.

Для моделирования такого процесса Унру и Зурек [141] рассмотрели точно решаемую задачу о поведении квантового гармонического осциллятора, взаимодействующего с одномерным безмассовым скалярным полем. Рассмотренная модель броуновского движения в самом деле позволяет описать потерю когерентности и редукцию волнового пакета. В работах [142, 143] Джоос и Зее обратили внимание на то, что для пакетизации волновой функции макротела следует привлечь механизм "неполных измерений", рассеивающихся на макротеле микрочастиц. Оценка [143] соответствующего темпа сжатия волнового пакета макрочастицы со временем отличается от приведенной нами в разделе 37 только численным множителем. Разница возникает из-за того, что для описания коллапсирования волновой функции Джоос использовал [143] формализм матрицы плотности, в то время как в данной книге используется более прямой и, на мой взгляд, более адекватный метод волновых пакетов.

Поясним еще раз, почему естественный подход к проблеме декогерентности приводит и формализму волновых пакетов. Для упрощения логики рассуждений удобно стартовать с разрешенного газа при не очень низкой температуре. Как поддчеркивают Пригожин,

Петроски [56, 81, 82], в таком газе атомы испытывают не прекращающиеся столкновения. С точки зрения механики газ представляет собой систему с неразделяющимися переменными. По этой причине газ классических частиц обладает динамической стохастичностью, которая при ничтожно малых внешних возмущениях приводит к необратимому статистическому поведению такой системы. Что-то похожее должно происходить в газе квантовых частиц.

А именно, с точки зрения квантовой механики каждый акт рассеяния частиц друг на друге выглядит как рассеяние волновой функции. Каждый акт парных столкновений можно описать на языке сначала сходящихся, а потом расходящихся волн. В замкнутой системе частиц такая "паутина" из сходящихся и расходящихся волн может существовать сколь угодно долго. Но в открытой системе многократно сходящиеся волны (при многих повторных рассеяниях) не смогут существовать из-за того, что такой процесс требует очень точной "настройки" сходящихся волн. Взаимодействие с внешним окружением уничтожает целую половину возможных состояний, оставляя только расходящиеся волны (при многих повторных столкновениях).

Такой процесс разрушения когерентности позволяет сделать кардинальный шаг: кинетика открытой квантовой системы не описывается уравнением Шрёдингера. Это утверждение следует понимать так: волновой функции открытой системы следует приписать информационный смысл. Другими словами, в процессе ее эволюции со временем наряду с эволюционным развитием согласно уравнению Шрёдингера не следует исключать возможности процессов с уничтожением волновой функции в некоторых достаточно обширных областях пространства (на языке математики такой процесс выглядит как случайный "переброс" системы в "другое гильбертово пространство"). При таком подходе у волновой функции появляются черты, делающие ее похожей на вероятность. У вероятности существует два вида эволюции — регулярное ее изменение согласно дифференциальному уравнению Фоккера-Планка (или дискретной цепи Маркова) и скачок при реальном событии. Точно так же и у -функции существует два возможных вида эволюции: согласно уравнению Шрёдингера в отсутствие связи с внешним окружением и квантовый скачок при "измерении", т.е. при отклике на связь с внешним миром. Волновая функция как бы медленно "выжидает", совершая цепочку обратимых унитарных преобразований, чтобы потом "принять решение" и осуществить коллапс. Такое "принятие решения" очень похоже на выпадение того или иного числа на грани кубика. Можно сказать, что это "решение принимается"

самой системой и ее окружением. Существовавшие до того "намерения" превращаются в "решение": квантовая потенциальность превращается в классическую актуальность. Как показано в книге, для описания обоих аспектов поведения квантовых систем наиболее удобный подход может быть развит на основе уравнения типа Ланжевена. В таком уравнении с равным основанием можно учесть регулярную эволюцию в соответствии с уравнением Шрёдингера и коллапсы волновых функций.

При описании сложных квантовых систем, например, броуновской частицы в газе, нет нужды явно учитывать процессы декогерентности за пределами системы (т.е. данного макрообъема газа). Сама сложность системы гарантирует декогерентность при сколь угодно малом взаимодействии с внешним окружением. Достаточно просто иметь в виду, что данная система является открытой. Поскольку взаимодействие может быть очень малым, то представляется удобным использовать термин "информационно открытая система".

Весь мир в целом можно считать информационно открытой системой (такой подход представляется гораздо более правильным, чем считать ее замкнутой системой). Поэтому полная квантовая теория должна включать в себя два круга явлений. Со стороны микромира — это привычный мир квантовых явлений, подчиняющихся уравнению Шрёдингера. Со стороны макромира — это столь же привычный классический мир, возникший и поддерживаемый вследствие того, что все макрообъекты имеют сколлапсированные и не прекращающие коллапсировать волновые функции из-за взаимодействия с внешним окружением. А на границе между ними находится мезомир.

К мезомиру можно двигаться из двух направлений. Со стороны микромира описание мезоскопических явлений можно проводить с помощью уравнения Шрёдингера, дополненного необходимыми слагаемыми (которые могут быть малы при достаточной изолированности системы), учитывающими слабое взаимодействие с внешним окружением. А при движении со стороны макромира следует учитывать постоянный мониторинг классических тел внешним окружением. На границе соприкосновения этих подходов и требуется новый аппарат для описания мезомира. Он должен включать в себя, в частности, аппарат для описания квантовых измерений.

Как можно было видеть на целом ряде конкретных примеров, приведенных в книге, мезомир может обнаруживать огромное богатство информационных явлений. Для их описания явно не достаточен аппарат матрицы плотности и управляющего уравнения (master equation). Для целого ряда явлений большую роль играют фазовые

соотношения (аналог недиагональных элементов матрицы плотности). Для их описания большее удобство представляют более наглядные методы: метод волновых пакетов, матрицы распределения, кинетического уравнения для амплитуд и т.д. Как мы видели, во всех этих процессах огромную роль играют квантовые корреляции, т.е. запутанность взаимодействующих (или взаимодействовавших) квантовых систем с соответствующими ЭПР-парами частиц.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление