Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Энтропия и информация

Действуя в духе идеальных мысленных экспериментов, рассмотрим теперь случай, когда весь наш идеальный газ состоит только из одной частицы. Поначалу кажется, что это абсолютно абсурдный подход, но не будем слишком поспешны в своих суждениях. Если одна частица заключена в сосуде объемом V со стенками, находящимися при температуре Т, то рано или поздно она придет в равновесие с этими стенками. В каждый момент времени она, разумеется, находится в одной определенной точке пространства и имеет вполне определенную скорость. Однако мы можем условиться проводить все процессы настолько медленно, что частица не только успеет в среднем заполнить все пространство объема V, но и сможет многократно поменять величину и направление скорости при неупругих столкновениях со стенками сосуда. В этом случае можно говорить о частице, имеющей максвелловское распределение по скоростям и в среднем равномерно заполняющей сосуд. Здесь очень важным является условие, что мы ничего не хотим знать о частице кроме того, что она соударяется со стенками и оказывает на них среднее давление и что ее распределение по скоростям является максвелловским с температурой Т.

Теперь мы можем, например, адиабатически сжимать эту частицу, и в среднем ее действие на стенки будет в точности таким же, как частиц, но только в N раз меньшим. Не спеша можно изменять и температуру частицы, соответствующим образом меняя температуру стенок сосуда и давая возможность частице прийти в тепловое равновесие со стенками.

Среднее давление одной частицы на стенку при равно, очевидно, а средняя плотность . Для этой частицы мы опять можем организовать цикл Карно и тем самым создать

идеальную тепловую микромашину, полностью обратимую и имеющую Теперь с помощью некоторых идеальных устройств и с привлечением второго начала термодинамики мы постараемся установить связь между энтропией и информацией. Начнем с самого простого случая изотермических процессов. Итак, положим С помощью первого начала термодинамики при и соотношения получаем

Здесь следовало бы использовать малую букву для удельной энтропии, но мы сохранили обозначение чтобы перейти затем к более общим соотношениям.

Отсюда находим, что изменение энтропии не зависит от величины Т, так что можно положить

Здесь небольшой объем мы ввели намеренно — просто для нормировки: величина должна быть заметно больше размера частицы, чтобы не нарушалось приближение идеального газа.

Работа изотермического процесса тоже выглядит довольно просто

Как мы видим, т.е. работа выражается просто через разность соответствующих энтропий. Подчеркнем еще раз, что мы имеем в виду очень медленный полностью обратимый процесс.

Продолжим наши идеальные мысленные эксперименты. Допустим, что у нас есть идеальные перегородки, которыми мы можем делить сосуд на части без затраты энергии или рождения новой энтропии. Разделим наш сосуд на две равные части с объемом V/2 каждая. Частица при этом остается в одной из половин, но в какой из них, мы пока не знаем. Допустим теперь, что у нас имеется средство или некоторый измерительный прибор, с помощью которого можно определить, где именно находится частица. Например, мы смогли бы обнаружить ее в одной из половин с помощью пружинных весов в поле силы тяжести или просто по факту исчезновения давления на перегородку со стороны пустого полуобъема. Если это так, то из начального симметричного распределения вероятностей на

50 % нахождения в двух половинах мы получим вероятность 100 % для одной из половин. Происходит как бы "стягивание", или "коллапс", распределения вероятностей. Соответственно, и новая энтропия оказывается меньше исходной энтропии на величину За счет уменьшения энтропии можно совершить механическую работу. Для этого достаточно сдвигать перегородку в сторону пустого объема вплоть до полного его исчезновения, когда частица вновь займет полный объем. Соответствующая работа равна Если при этом во внешнем мире ничего бы больше не менялось, то повторяя эти циклы, можно построить вечный двигатель второго рода. Но поскольку второй закон термодинамики запрещает получение работы просто за счет тепла, то во внешнем мире должно что-то происходить. Что же происходит еще? Обнаружение частицы в одной из половин меняет информацию о частице. А именно, из двух возможных половинок указывается только одна, в которой находится частица. Это знание соответствует в точности одному биту информации. Процесс измерения уменьшает энтропию частицы и ровно настолько же увеличивает информацию измерительного прибора. Если совершать повторные деления пополам полученных ранее половинок, четвертушек, восьмушек и т.д., то энтропия будет последовательно уменьшаться, а информация увеличиваться. Другими словами,

Чем больше известно о частице, или в более общем случае о физической системе, тем меньше ее энтропия.

Но теперь мы можем сделать вывод, что появление информации во внешнем мире (или внешних приборах) невозможно без возрастания энтропии внешнего окружения на величину, не меньшую . В противном случае с помощью нашей обратимой тепловой микромашины можно было бы черпать энергию прямо из тепловой энергии. Другими словами, информация, т.е. определенная порция порядка, может быть усвоена внешними приборами, автоматами или просто внешним миром только за счет появления во внешнем окружении дополнительного беспорядка (теплового движения) с возрастанием энтропии не меньшим, чем усвоено информации.

Внешний прибор или среду, которая воспринимает информацию и может ее использовать для последующих действий, можно условно назвать демоном Максвелла. Именно для сходной ситуации Максвелл и придумал своего демона: если демон может отличать горячие частицы от холодных, то с помощью перекрытия отверстия заслонкой

кой он сможет перекачать тепло от холодного газа к горячему. Приведенные здесь рассуждения аналогичны демону Максвелла. Они опираются на универсальный второй закон термодинамики. Именно второе начало термодинамики требует, чтобы демон сам увеличивал энтропию в процессе "трудов тяжких" по распознаванию информации I.

Согласно (25) сумма и постоянна. Если в нашей модели частицу удается поместить в элементарную ячейку объема то при этом а информация достигает своего максимального значения поскольку вероятность найти частицу в данной ячейке равна отношению объемов: Для того чтобы зафиксировать частицу в элементарном объеме, т.е. усвоить информацию потребуется произвести не меньшее количество энтропии в приборе или за его пределами. Если в последующем частица начнет заполнять (в среднем) больший объем, информация будет постепенно утрачиваться, а энтропия частицы возрастать.

Еще раз подчеркнем, что за информацию приходится "платить" увеличением энтропии внешних систем, причем В самом деле, если бы за один бит информации прибор увеличивал бы свою энтропию на величину меньшую одного бита, то мы могли бы обратить тепловую машину. А именно, расширяя полуобъем, занятый частицей, мы увеличили бы ее энтропию на величину получая работу а суммарная энтропия системы частица плюс прибор уменьшилась бы. Но это невозможно по второму закону термодинамики.

До сих пор мы рассуждали об энтропии, связанной с пространственной локализацией частицы. Но то же самое рассуждение можно повторить и в отношении измерения скорости. Удобно выбрать случай только одного измерения, например движения только по оси х.

Допустим, что у нас имеется прибор, который может измерять х-компоненту скорости частиц и с точностью Удобно считать, что пропорциональна и, чтобы ввести некоторое единообразие в последующих оценках. Допустим, что в трубу длиной вдоль оси х влетает частица со скоростью и, и на влете ее скорость измеряется с точностью А и. Выждав время можно ввести заслонку на расстоянии от закрытого торца и запереть там частицу. Мерой локализации служит величина примерно одна и та же для всех частиц максвелловского распределения. Такая локализация вновь уменьшает энтропию на величину и в соответствии со вторым законом термодинамики она обязательно должна сопровождаться возрастанием энтропии в приборе, измеряющем скорость частицы. Другими словами, любое измерение, которое увеличивает

информацию о частице, должно обязательно сопровождаться увеличением энтропии прибора или окружения. Это своеобразная "плата за знание"(более подробно см. в [16-21]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление