Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Энтропия еще раз

Соотношение (25) наводит на мысль, что энтропия физической системы связана каким-то образом с распределением вероятностей. И это на самом деле так, что подробно излагается в книгах и учебниках по статистической физике. Мы здесь кратко познакомим читателя с этим вопросом опять-таки на самом простом примере идеального газа.

В статистической физике существует знаменитая формула Больцмана — энтропия равна логарифму числа состояний Г, которые может принимать данная физическая система:

Отметим еще раз, что мы используем здесь энергетические единицы для измерения температуры, и поэтому в приведенной формуле отсутствует постоянная Больцмана. Г — это число возможных микроскопических состояний, которые отвечают одному и тому же макроскопическому состоянию. Предполагается, что при тепловом движении система пробегает все возможные состояния с примерно одинаковой вероятностью. Соответственно, вероятность отдельного состояния приблизительно равна Если вероятности отдельных состояний различаются, то более точное определение для энтропии выглядит следующим образом:

Здесь угловые скобки означают математическое ожидание, т.е. среднее значение.

Для идеального газа вероятности распадаются на конфигурационную и скоростную части, т.е. на вероятности распределения по пространству и по скоростям. Число возможных состояний в пространстве объема V для частиц можно опять найти, вводя элементарный объем Ко. Кажется, что число таких состояний равно просто Однако это не совсем так: атомы газа одинаковы и поэтому их перестановка между собой не создает нового состояния. Поэтому приведенное выше число нужно разделить еще на где в формуле Стирлинга для сохранен только главный член. Что касается скоростной части Г, то она равна просто где

функция Максвелла для распределения одного из атомов по скоро стям:

Здесь — масса атома, — вектор скорости. Итак, по формуле (27) получаем для идеального газа

здесь — просто постоянный множитель, появившийся при усреднении — основание натурального логарифма. В отличие от найденного ранее термодинамического выражения (12) в формуле (29), как мы видим, имеется явное выражение для константы интегрирования, а именно, в формуле

Формально выражение (3) для информации и (27) для энтропии тождественны между собой. Но они имеют совершенно различный смысл. А именно, информация (3) соответствует одной-единственной выборке из огромного, скажем Г, числа возможных состояний. И мера этой информации есть . Энтропия же соответствует возможности нахождения системы с некоторой вероятностью в каждом из доступных состояний. Величина соответствует максимальному "заполнению" всех состояний. Величины I и оказались формально равными именно потому, что I отвечает максимальной информации только одного состояния, определена по множеству всех состояний.

Пусть, например, объем информации I соответствует тексту данной главы. А энтропия этого текста равна нулю, так как мы имеем только одну фиксированную последовательность написания букв и других типографских знаков и, стало быть, Допустим теперь, что весь текст пришел в "тепловое движение", в результате которого буквы начинают быстро перепрыгивать, меняясь местами. Очень скоро вся информация будет полностью потеряна, но зато в тепловом движении будут пробегаться все возможные состояния из общего числа Г, т.е. . В промежуточном варианте, когда часть текста сохраняется, а другая часть переходит в полностью хаотическое "тепловое движение", мы придем к соотношению (25): Энтропия и информация замкнутой системы оказываются как бы взаимными по отношению друг к другу: "забывание" информации автоматически приводит к увеличению энтропии.

В соответствии со вторым началом термодинамики энтропия замкнутой системы не может убывать со временем. В рассмотренном примере это означает, что граница между "тепловой" и "информационной" частями текста может естественно передвигаться только в одном направлении, а именно, в сторону забывания информации. Новая часть информации, т.е. осмысленное "замораживание" части текста может происходить только за счет дополнительного стирания некоторого куска основного текста, если этот процесс происходит без внесения дополнительной информации извне. Порядок может возникать только за счет уничтожения другого порядка (в замкнутой системе).

Из этих рассуждений видно, что вопросы анализа порядка и рождения новой информации требуют, как правило, выхода за пределы некоторой изолированной физической системы. Поэтому основными для нас будут открытые неравновесные системы, к рассмотрению которых мы будем переходить шаг за шагом, от простого к сложному.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление