Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

117. Формула Лейбница.

Как мы заметили в начале предыдущего п°, правила I и II, 97, непосредственно переносятся и на случай производных любого порядка. Сложнее обстоит дело с правилом III, относящимся к дифференцированию произведения.

Предположим, что функции и, от х имеют каждая в отдельности производные до порядка включительно: докажем, что тогда их произведение также имеет производную, и найдём её выражение.

Станем, применяя правило III, последовательно дифференцировать это произведение; мы найдём:

Легко подметить закон, по которому построены все эти формулы: правые части их напоминают разложение степеней бинома:

вместо степеней и, стоят производные соответствующих порядков. Сходство станет более полным, если в полученных формулах вместо и, писать Распространяя этот закон на случай любого , придем к общей формуле:

Для доказательства её справедливости прибегнем снова к методу математической индукции. Допустим, что при некотором значении она верна. Если для функций и, существуют и производные, то можно ещё раз продифференцировать по мы получим:

Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций (сумма порядков производных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда Произведение входит только в первую сумму (при ); коэффициент его в этой сумме есть Точно так же входит только во вторую сумму (в слагаемое с номером с коэффициентом Все остальные произведения, входящие в эти суммы, имеют вид причём Каждое такое произведение встретится как в первой сумме (слагаемое с номером ), так и во второй сумме (слагаемое с номером ). Сумма соответствующих коэффициентов будет как известно,

Таким образом, окончательно находим:

так как

Мы получили для выражение, вполне аналогичное выражению (1) (только заменилось числом ); этим и доказана справедливость формулы (1) для всех натуральных значений

Установленная формула носит название формулы Лейбница. Она часто бывает полезна при выводе общих выражений для производной.

Заметим, что такую же формулу можно было бы установить и для производной произведения нескольких сомножителей она имеет сходство с разложением степени многочлена

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление