Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

119. Дифференциалы высших порядков.

Обратимся теперь к дифференциалам высших порядков; они также определяются индуктивно. Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от ее (первого) дифференциала; в обозначениях

Дифференциалом третьего порядка или третьим дифференциалом называется дифференциал от второго дифференциала:

Вообще, дифференциалом порядка или дифференциалом функции называется дифференциал от ее дифференциала:

Если пользоваться функциональным обозначением, то последовательные дифференциалы могут быть обозначены так:

причем получается возможность указать то частное значение при котором дифференциалы берутся.

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно помнить, что есть произвольное и независящее от х число, которое при дифференцировании по надлежит рассматривать как постоянный множитель. В таком случае, будем иметь (все время - предполагая существование соответствующих производных):

и т. д. Легко угадываемый общий закон

доказывается методом математической индукции. Из него следует, что

так что отныне этот символ можно рассматривать как дробь.

Воспользовавшись равенством (2), легко теперь преобразовать формулу Лейбница к дифференциалам. Достаточно умножить обе части ее на чтобы получить

Сам Лейбниц установил свою формулу именно для дифференциалов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление