Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Формула Тейлора

123. Формула Тейлора для многочлена.

Если есть целый многочлен степени

то, последовательно дифференцируя его

и полагая во всех этих формулах найдем выражения коэффициентов многочлена через значения самого многочлена и его производных при

Подставим эти значения коэффициентов в (1):

Эта формула отличается от (1) записью коэффициентов.

Вместо того чтобы разлагать многочлен по степеням х, можно было бы взять его разложение по степеням где есть некоторое постоянное частное значение х:

Полагая для коэффициентов многочлена

имеем, по доказанному, выражения:

Но

так что

и

т. е. коэффициенты разложения (3) оказались выраженными через значения самого многочлена и его производных при

Подставим в (3) выражения (4):

Формула (5), так же как и ее частный (при случай (2), называется формулой Тейлора (В. Taylor) . Известно, какие важные применения она имеет в алгебре.

Сделаем (полезное для дальнейшего) очевидное замечание, что если многочлен представлен в виде

то необходимо

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление