Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

125. Примеры.

Всего проще выглядит формула Тейлора, если

К этому частному случаю всегда можно свести дело, взяв за новую независимую переменную.

Рассмотрим в виде примера некоторые конкретные разложения по этой формуле для элементарных функций.

1) Пусть тогда при любом Так как в этом случае то, по формуле (11),

2) Если , так что

Поэтому, положив в формуле имеем

3) Аналогично, при

Таким образом (если взять

4) Рассмотрим теперь степенную функцию где - не натуральное число и не нуль. В этом случае при либо сама функция (если либо ее производные (начиная с некоторого порядка, при бесконечно возрастают. Следовательно, здесь уже нельзя брать

Возьмем т. е. станем разлагать по степеням Впрочем, как уже упоминалось, можно ввести в качестве новой переменной мы ее по-прежнему будем обозначать через х, и станем разлагать функцию по степеням х.

Как мы знаем [116, 2)],

так что

Разложение имеет вид

В частности, например, при будем иметь

Первое из этих разложений очень легко получается элементарно - дополнительный член здесь просто равен Второе же и третье Потребовали бы более длинных выкладок [ср. 63].

5) Если перейти к логарифмической функции которая стремится к при то, как и в предыдущем примере, мы предпочтем рассматривать функцию и разлагать ее по степеням х.

Тогда [116, 3)]

Отсюда

6) Пусть теперь . Мы имели в 118, 4) значения ее производных при х = 0:

так что ее разложение представится в виде

7) Для функции закон образования коэффициентов в формуле Тейлора сложен. Тем не менее, несколько первых членов ее написать нетрудно. Так как, например,

то

так что

Пользуясь известными разложениями, можно, уже не вычисляя производных, непосредственно писать разложения и для более сложных функций. Например, предыдущая формула могла бы быть получена из разложений для Приведем новые примеры; при этом все степени х, до назначенной включительно, мы будем точно учитывать, а более высокие степени (не выписывая их) будем сразу включать в дополнительный член.

8) Написать разложение функции до . В силу 1),

но, по 2),

так что

Член с исчезает и, окончательно,

Аналогично,

9) Написать разложение функции до члена с Согласно 5),

При этом, ввиду 3),

отсюда

или - после приведения -

Аналогично,

и

Все эти разложения, полученные без непосредственного использования формулы Тейлора, могли бы, конечно, быть получены и по этой формуле, и притом -в точности с теми же коэффициентами, ввиду установленной выше единственности подобного разложения функции.

Замечание. Так как рассмотренные здесь функции имели в окрестности точки производные всех порядков, то мы ничем не были стеснены в выборе числа в формуле (11), т. е. могли продолжать разложения этих функций вплоть до любой степени х.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление