Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

126. Другие формы дополнительного члена.

Формула Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано имеет многообразные приложения (см. следующую главу); но все они, так сказать, «локального» характера, т. е. относятся к самой точке Если в них иной раз и идет речь о других значениях х, то эти значения предполагаются

«достаточно близкими» к и наперед не могут быть взяты по произволу.

Между тем естественно попытаться использовать многочлен как приближение к функции с помощью которого она и может быть вычислена с нужной степенью точности.

Для того чтобы многочлен был пригоден для этой роли, необходимо иметь возможность оценивать разность (7) для данного х. В этом случае форма , характеризующая лишь стремление к 0 при служить не может. Она не позволяет устанавливать для каких значений х многочлен воспроизводит функцию с наперед указанной степенью точности; ничего не говорит она также о том, как можно было бы - при данном х - воздействовать на величину дополнительного члена за счет увеличения , и т. д.

Поэтому мы обратимся к выводу других форм дополнительного члена Для определенности будем рассматривать промежуток вправо от точки и будем считать функцию определенной в этом промежутке; случай, когда функция задана в промежутке исчерпывается аналогично.

На этот раз сделаем более тяжелые предположения, именно, допустим, что во всем промежутке существуют и непрерывны первые производных:

и кроме того, по крайней мере, в открытом промежутке существует и конечна производная

Отметим, что, ввиду (6) и (7),

Фиксируем теперь любое значение х из промежутка , и по образцу правой части формулы (12), заменяя постоянное число на переменную z, составим новую, вспомогательную функцию:

причем независимую переменную z считаем изменяющейся в промежутке . В этом промежутке функция непрерывна и принимает на концах его значения [см. (12)]:

Кроме того, в промежутке существует производная

или, после упрощения,

Возьмем теперь произвольную функцию непрерывную в промежутке и имеющую не обращающуюся в нуль производную по крайней мере, в открытом промежутке

К функциям применим формулу Коши [114]:

где

Так как

то

Теперь, если подставлять вместо любые удовлетворяющие поставленным условиям функции, мы получим различные формы дополнительного члена

Пусть где . Имеем:

Очевидно, эта функция удовлетворяет поставленным требованиям. Поэтому

Так как то и окончательно:

Это выражение называется дополнительным членом в форме Шлемильха и Роша (О. Schlomilch - Roche).

Из него, придавая конкретные значения, можно получать более частные формы дополнительного члена. Положив получим дополнительный член в форме Лагранжа:

который выглядит особенно просто. Он напоминает следующий очередной член формулы Тейлора, лишь вместо того, чтобы вычислить производную в точке эту производную берут для некоторого среднего (между значения с.

Формула Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа, таким образом, имеет вид

Если перенести в ней член налево, то легко усмотреть в ней прямое обобщение формулы конечных приращений [112], которую можно написать так:

Хотя охотнее всего пользуются дополнительным членом именно в форме Лагранжа, ввиду ее простоты, все же в отдельных случаях эта форма оказывается непригодной для оценки дополнительного члена, и приходится прибегать к другим формам, менее простым. Из них упомянем здесь о дополнительном члене в форме Коши, который получается из общей формы Шлемильха и Роша при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление