Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13. Свойства сложения.

Легко удостовериться, что для вещественных чисел сохраняются свойства:

Докажем, например, последнее. Если рациональные числа таковы, что

то, очевидно,

Таким образом, а есть вещественное число, заключенное между числами вида между которыми заключена, по определению, и сумма Но такое число может быть только одно; поэтому что и требовалось доказать.

Обратимся к свойству II 4° и докажем, что для каждого вещественного числа а существует (симметричное ему) число -а, удовлетворяющее условию

При этом достаточно ограничиться случаем иррационального числа а.

Предполагая, что число а определяется сечением мы определим число -а следующим образом. К нижнему классу А числа -а мы отнесем все рациональные числа - а, где а - любое число класса А, а к верхнему классу А этого числа отнесем все числа - а, где а - любое число класса А. Нетрудно видеть, что построенное разбиение есть сечение и, действительно, определяет вещественное (в данном случае - иррациональное) число: это число обозначим - а.

Докажем теперь, что оно удовлетворяет указанному выше условию. Пользуясь самим определением числа -а, видим, что сумма есть единственное вещественное число, заключенное между числами вида где рациональны Но, очевидно,

так что и число 0 заключено между только что упомянутыми числами. Ввиду единственности числа, обладающего этим свойством, имеем

что и требовалось доказать.

Наконец, установим свойство:

II 5° из следует .

Если то между ними можно вставить два рациональных числа

По замечанию в 9, существуют такие два рациональных числа с и с, что

Отсюда

а по определению суммы

Сопоставляя все эти неравенства, мы и приходим к требуемому заключению.

Таким образом, по отношению к сложению область вещественных чисел обладает всеми основными свойствами II 1° - 5°, которые в 3 были первоначально сформулированы для рациональных чисел.

Следовательно, на вещественные числа автоматически переносятся и все формально логические следствия из этих свойств. В частности, для вещественных чисел может быть буквально повторено все, сказанное в 3 непосредственно после изложения II группы свойств, т. е. могут быть доказаны существование и однозначность разности чисел установлено понятие абсолютной величины числа а (для которой мы сохраняем обозначение и т. д.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление