Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

138. Использование высших производных.

Мы видели, что если то функция достигает в точке минимума; если же то функция имеет в этой точке максимум.

Случай, когда и был оставлен нами неисследованным.

Предположим теперь, что функция имеет в точке последовательных производных, причем все они, вплоть до в этой точке обращаются в нуль:

между тем как Разложим приращение функции по степеням разности по формуле Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано [124, (10а)]. Так как все производные порядков меньших, чем равны в точке нулю, то

Вследствие того, что при при достаточной близости знак суммы в числителе будет совпадать со знаком как для так и для Рассмотрим два случая.

- нечетное число: При переходе от значений х, меньших, чем к значениям, большим, чем выражение изменит знак на обратный, а так как знак первого множителя при этом не меняется, то и знак разности изменится. Таким образом, в точке функция не может иметь экстремума, ибо вблизи этой точки принимает значения как меньшие, так и большие, чем

- четное число: . В этом случае разность не меняет знака при переходе от х меньших, чем к большим, так как при всех х. Очевидно, вблизи как слева, так и справа знак разности совпадает со знаком числа Значит, если то вблизи точки и в точке функция имеет (собственный) минимум; если же то функция имеет (собственный) максимум.

Отсюда получаем такое правило:

Если первая из производных, не обращающихся в точке в нуль, есть производная нечетного порядка, функция не имеет в точках ни максимума, ни минимума. Если такой производной является производная четного порядка, функция в точке имеет максимум или минимум, смотря по тому, будет ли эта производная отрицательна или положительна.

Например, для функции точка является стационарной, так как в этой точке обращается в нуль производная

Далее:

Так как в нуль не обратилась первой производная четного порядка, то налицо экстремум, а именно минимум, ибо

Замечание. Хотя выведенный выше критерий решает вопрос об экстремуме в весьма широком классе случаев, но, теоретически говоря, он все же не является всеобъемлющим: функция, не будучи тождественно постоянной, может иметь в окрестности испытуемой точки производные всех порядков, которые, однако, в этой точке все зараз обращаются в нуль.

В качестве примера рассмотрим (вместе с Коши) следующую функцию:

При она имеет производные всех порядков:

и, вообще,

где есть целый многочлен (степени ). В общности этого закона легко убедиться по методу математической индукции.

Установим теперь, что и в точке для нашей функции существуют производные всех порядков, причем все равны нулю. Действительно, прежде всего,

так что Допустим, что доказываемое утверждение верно для всех производных до порядка включительно. Тогда [см. (9)]

поскольку числитель представляет собой сумму членов вида Значит, По методу математической индукции утверждение оправдано полностью.

Хотя непосредственно ясно, что данная функция при имеет минимум, но установить этот факт с помощью рассмотрения ее последовательных производных в этой точке - не удалось бы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление