139. Разыскание наибольших и наименьших значений.
Пусть функция
определена и непрерывна в конечном замкнутом
промежутке
. До сих пор мы интересовались лишь ее максимумами и минимумами, теперь же поставим вопрос о разыскании наибольшего и наименьшего из всех значений, которые она принимает в этом промежутке; по 2-й теореме Вейерштрасса [85], такие наибольшие и наименьшие значения существуют. Остановимся для определенности на наибольшем значении.
Рис. 63.
Если оно достигается в некоторой точке между
, то это одновременно будет одним из максимумов (очевидно, наибольшим); но наибольшее значение может достигаться и на одном из концов промежутка, а или
(рис. 63). Таким образом, нужно сравнить между собой все максимумы функции
и ее граничные значения
наибольшее из этих чисел и будет наибольшим из всех значений функции
Аналогично разыскивается и наименьшее значение функции.
Пусть, например, разыскиваются наибольшее в наименьшее значения функции
в промежутке
два максимума, равных 1, больше граничных значений
следовательно, 1 и будет наибольшим значением функции в указанном промежутке. Минимум, равный
больше граничных значений, так что наименьшим значением будет 0. Дня промежутка
в качестве наибольшего значения пришлось бы взять больший из двух максимумов
достигаемых при
ибо на концах принимают
значения
меньшие, чем 1. Наименьшее значение достигается на правом конце, в то же время, при
совпадая с минимумом.
Если желают избежать исследования на максимум или минимум, то можно поступить иначе. Нужно лишь вычислить значения функции во всех «подозрительных» по экстремуму точках и сравнить их с граничными значениями
наибольшие и наименьшие из этих чисел, очевидно, и будут наибольшим и наименьшим из всех значений функции.
Например, для промежутка
сравниваем значения
с граничными а для промежутка
сравниваем числа
с граничными значениями
Замечание. В прикладных задачах чаще всего встречается простой случай, когда между а и
оказывается лишь одна «подозрительная» точка
Если в этой точке функция имеет максимум (минимум), то без сравнения с граничными значениями ясно, что это и будет наибольшее (наименьшее) значение функции в промежутке (см. рис. 64). Часто в подобных случаях оказывается более простым произвести исследование на максимум и минимум, чем вычислять и сравнивать частные значения функции (особенно, если в состав ее выражения входят буквенные постоянные).
Рис. 64.
Важно подчеркнуть, что сказанное приложимо в полной мере и к открытому промежутку
также к бесконечному промежутку.