Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

147. Схема построения графика. Примеры.

Итак, пусть функция в рассматриваемом промежутке дважды дифференцируема, исключая отдельные точки, в которых производная имеет бесконечное значение, определенного знака с обеих сторон или разных знаков справа и слева.

Тогда для построения графика функции надлежит выполнить следующее:

1) определить значения х, для которых производная равна нулю или бесконечности, и подвергнуть их исследованию на экстремум;

2) определить значения х, для которых вторая производная равна нулю, и подвергнуть их исследованию на перегиб;

3) вычислить значения самой функции отвечающие всем этим значениям х, а также концам а и рассматриваемого промежутка.

Результаты удобно расположить в виде таблицы [см. ниже примеры], с непременным указанием особенности вычисленной точки графика: максимум, минимум, или или перегиб.

Иногда к названным точкам графика при желании присоединяют еще и некоторые другие, например, точки пересечения графика с осями.

После нанесения на чертеж всех вычисленных точек через них проводят самый график, учитывая при этом все упомянутые их особенности.

Мы имеем в виду, конечно, обычный в практике построения графиков случай, когда первая производная обращается в 0 (или в или вторая производная обращается в 0 - лишь в конечном числе точек.

Тогда в промежутках между ними график идет все время вверх или все время вниз, а также оказывается выпуклым, вниз или вверх.

Вычисления и проведение кривой упрощаются, если функция не изменяет своего значения при изменении знака х (четная функция), так что график симметричен относительно вертикальной оси. Аналогичную услугу может оказать и симметрия относительно начала координат, которая аналитически выражается в том, что функция при изменении знака х также лишь меняет знак (нечетная функция).

Примеры. 1)В 136, 2) мы уже исследовали поведение функции

с помощью ее производной мы установили значения х, доставляющие функции экстремумы, а также вычислили и сами экстремальные значения функции. При этом, ввиду периодичности функции, мы ограничились промежутком изменения х. График функции также достаточно построить для этого промежутка.

Теперь нам нужно найти корни второй производной. Если представить ее в виде

то легко видеть, что первый множитель в скобках обращается в 0 при , а второй - при и во всех случаях знак у" меняется, так что налицо перегиб.

Составляем таблицу: (см. скан)

По этой таблице и построен график, изображенный на рис. 58.

Замечание. Читатель должен иметь в виду, что приводимые в книге чертежи, ввиду малого масштаба, не полностью используют те точные данные, которые получены вычислением. Рекомендуется повторить эти чертежи в большом масштабе. 2) Рассмотрим функцию

Она не только периодична, но и нечетна. Это позволяет сократить еще промежуток изменения х, сведя его к

В этом промежутке производная

обращается в 0, если т. е. при и 2,57 (147°). Так как вторая производная

при первом из этих значений, очевидно, отрицательна, то она доставляет функции максимум; аналогично, при втором значении имеем минимум.

Сама вторая производная обращается в 0 вместе с при или а также вместе с множителем в скобках при - во всех случаях меняя знак (перегиб).

Таблица:

К указанным выше значениям х мы присоединили здесь еще значение , при котором (график пересекает ось

Рис. 75.

График, построенный по этим точкам, изображен на рис. 75; для промежутка он получается двойным перекладыванием: вокруг оси у, а затем - вокруг оси х.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление