Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

151. Неопределенность вида oo/oo

Обратимся к рассмотрению неопределенных выражений вида , т. е. исследуем вопрос о пределе отношения двух функций стремящихся к .

Покажем, что в этом случае применимо то же правило Лопиталя: следующая теорема есть простая перефразировка теоремы 3.

Теорема 4. Пусты 1) функции определены в промежутке существуют в промежутке конечные производные причем и, наконец, 4) существует (конечный или нет) предел

Тогда и

Доказательство. Рассмотрим сначала случай конечного К. Так как производная не обращается в нуль, то по теореме Дарбу [110] она сохраняет знак, и функция изменяется монотонно [132]. Из 2) тогда ясно, что с убыванием х монотонно возрастая стремится к Можно считать, что всегда

Задавшись произвольным числом в силу условия 4), найдем такое что при будет

Положим для краткости и возьмем х между а и . К промежутку применим формулу Коши:

где следовательно,

Напишем теперь тождество (которое легко непосредственно проверить):

откуда

Второе слагаемое справа для будет меньше в силу (1). Ввиду того же, что при первое слагаемое при этом стремится к нулю, и найдется такое (можно считать что для первое слагаемое тоже станет меньше Для указанных значений х будем иметь тогда

что и доказывает требуемое утверждение.

В том случае, когда [и заведомо , по крайней мере, вблизи а], имеем, меняя ролями

откуда, наконец,

так как (по крайней мере вблизи а), очевидно, и

Отметим, что доказательство без существенных изменений распространяется и на случай Точно так же теорема могла бы быть доказана и для промежутка как при конечном а, так и при Таким образом, на случай бесконечного предела аргумента теорема 4 распространяется автоматически.

В виде примера легко получить уже известные нам пределы:

Если то справа снова имеем неопределенность того же типа — но, продолжая этот процесс и повторно применяя теорему 4, в конце концов получим в числителе степень с отрицательным (или нулевым) показателем. Поэтому, во всяком случае,

Сделаем общее замечание относительно теорем . В них устанавливается предел отношения функций в предположении, что существует предел отношения производных. Но обращение этих теорем недопустимо, и первый предел может существовать при отсутствии второго.

Например, существует предел

хотя отношение производных, равное предела при не имеет.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление