Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

155. Правило Ньютона (метод касательных).

Вернемся к прежним предположениям относительно функции искомый корень этой функции изолирован в промежутке Отправляясь от какого-нибудь из концов этого промежутка, например, от напишем формулу Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа:

Отбрасывая дополнительный член, приближенно можно положить

откуда

Таким путем мы приходим к приближенному значению корня :

Получение этого значения можно наглядно истолковать и геометрически. Рассмотрим касательную к кривой в точке М, с абсциссой Ее уравнение имеет вид

Полагая здесь найдем абсциссу точки Т пересечения касательной с осью она в точности совпадает с (8). Значит, суть дела в приближенной замене дуги кривой - касательной к ней в одном из ее концов (см. рис. 82).

Это правило, посящее имя Ньютона, называется также методом касательных.

Встает, однако, вопрос, где лежит значение получаемое по формуле (8). Ведь тот же рис. 82 показывает, что точка пересечения касательной с осью может лежать даже вне рассматриваемого помежутка! Мы докажем, что, если значение - одного знака с (т. е. в случаях I и IV), лежит между и

Действительно, так как - одного знака, то из (8) непосредственно ясно, что . С другой стороны, из (7) и (8) следует:

Но в рассматриваемых случаях имеет одинаковый знак с следовательно, Окончательно:

Аналогично, если исходить из точки а, и касательную к кривой провести в конце М (с абсциссой а), то, взамен (8), получим приближенное значение

Относительно вычисленного по этой формуле значения можно установить, как и выше: если значение - одного знака с (т. е. в случаях II и III), лежит между а и

Таким образом, для каждого из четырех возможных случаев указано, с какого конца гарантирована успешность приближения к корню по правилу Ньютона. Повторное применение его дает в случаях I и IV последовательность убывающих значений:

а в случаях II и III - последовательность возрастающих значений:

причем вычисление последующего значения по предыдущему всегда производится по формуле

И здесь легко доказать, что . Монотонная и ограниченная переменная имеет конечный предел переходя же к пределу в (10), с учетом непрерывности обеих функций найдем:

Рис. 84 иллюстрирует приближение к точке Л со стороны точек пересечения последовательных касательных с осью х.

Рис. 84.

Таким образом, и правило Ньютона, повторно примененное, позволяет вычислить корень с любой степенью точности. При этом точность уже вычисленного приближенного значения оценивается, как и выше, по формуле (6).

Чтобы охарактеризовать скорость убывания разностей вернемся к формуле (9); заменим в ней через - через

Обозначая через М наибольшее значение в заданном промежутке (и сохраняя за его прежнее значение), отсюда легко получить теперь:

Поскольку справа стоит квадрат, этим обеспечено весьма быстрое приближение (по крайней мере, начиная с некоторого места), что и делает метод касательных одним из самых эффективных методов приближенного вычисления корня.

Неравенство (11) выполняет еще одну функцию. Если точность вычисленного значения уже оценена, например, с помощью неравенства (6), то неравенство (11) позволяет наперед оценить точность еще невычисленного значения . Это может оказаться полезным при решении вопроса о том, на каком знаке целесообразно его округлить.

Обратимся к примерам. Их решение, разумеется, предполагает использование всех вспомогательных средств вычисления, какие имеются под рукой, как-то: таблиц степеней и корней, таблиц умножения, арифмометра, логарифмических и логарифмотригонометрических таблиц, натуральных таблиц тригонометрических величин, таблиц для перевода градусной меры углов в радианную, и т. п.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление