Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

170. Операции над непрерывными функциями.

Легко сформулировать и доказать теорему о непрерывности суммы, разности, произведения, частного двух непрерывных функций предоставляем это читателю.

Мы остановимся лишь на теореме о суперпозиции непрерывных функций. Как и в п° 164, мы предположим, что кроме функции заданной в множестве -мерных точек нам даны еще функций

в некотором множестве -мерных точек причем точка М с координатами (4) не выходит за пределы упомянутого множества

Теорема. Если функции все непрерывны в точке из , а функция непрерывна в соответствующей точке с координатами

то и сложная функция

будет непрерывна в точке Р.

Действительно, сначала по определится число такое, что из (3) следует (2) (ввиду непрерывности функции Затем по числу (ввиду непрерывности функций найдется число такое, что неравенства

влекут за собой неравенства

Но тогда, при наличии (5), будет также

что и доказывает наше утверждение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление