Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

176. Новые доказательства основных теорем.

1° 1-я теорема Вейерштрасса. Функция предположена непрерывной в ограниченной замкнутой области Следовательно, каждую точку

этой области можно окружить такой окрестностью а, что в ее пределах (если через обозначено наперед взятое число)

или

Таким образом, в области функция оказывается ограниченной.

Применяя лемму Бореля к системе этих окрестностей, можно выделить из конечное число окрестностей, которые в совокупности покрывают всю область . Если

то, взяв в качестве наименьшее из , а в качестве М - наибольшее из будем иметь в

2° Теорема Кантора. Задавшись произвольным числом каждую точку окружим такой окрестностью

что для любой принадлежащей ей точки будет

Если есть другая подобная же точка, так что и

то в результате

Заменим каждый прямоугольник а вчетверо меньшим прямоугольником, с тем же центром,

Система этих открытых прямоугольников покрывает область . По лемме Бореля, из нее выделяем конечную систему прямоугольников

с тем же свойством. Наконец, обозначим через 8 наименьшее из всех чисел

Пусть - любые две точки области для которых

Точка принадлежит одной из окрестностей например, окрестности

так что

Из (10), так как следует, что Отсюда

и точки обе оказываются лежащими в одной из первоначально определенных окрестностей

а тогда, по доказанному, для них выполняется (9).

Итак, удалось по выбрать независимо от положения точки чем и доказано, что функция равномерно непрерывна.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление