Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

187. Однородные функции.

Как известно, однородными многочленами называются многочлены, состоящие из членов одного и того же измерения. Например, выражение

есть однородный многочлен второй степени. Если умножить здесь х и у на некоторый множитель t, то весь многочлен приобретет множитель t во второй степени. Подобное обстоятельство имеет место для любого однородного многочлена.

Однако и функции более сложной природы могут обладать таким же свойством; если взять, например, выражение

то и оно приобретает множитель при умножении обоих аргументов х и у на t, уподобляясь в этом отношении однородному многочлену второй степени. Подобную функцию естественно также назвать однородной функцией второй степени.

Дадим общее определение:

Функция от аргументов, определенная в области называется однородной функцией степени, если при умножении всех ее аргументов на множитель t функция приобретает этот же множитель в степени, т. е. если тождественно выполняется равенство

Для простоты мы ограничимся предположением, что и t здесь принимают лишь положительные значения. Область в которой мы рассматриваем функцию вместе с любой своей точкой предполагается содержащей и все точки вида при т. е. весь луч, исходящий из начальной точки и проходящий через точку М.

Степень однородности может быть любым вещественным числом; так, например, функция

является однородной функцией степени от аргументов х и у.

Постараемся теперь получить общее выражение однородной функции степени .

Пусть сперва есть однородная функция нулевой степени; тогда

Положив получим

Если ввести функцию от аргументов:

то окажется, что

Итак, всякая однородная функция нулевой степени представляется в виде функции отношений всех аргументов к одному из них. Обратное, очевидно, также верно, так что предшествующее равенство дает общее выражение однородной функции нулевой степени.

Если есть однородная функция степени (и только в этом случае), отношение ее к будет однородной функцией нулевой степени, так что

Таким образом, мы получаем общий вид однородной функции степени

Пример:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление