Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

188. Формула Эйлера.

Предположим теперь, что однородная (степени функция имеет в (открытой) области непрерывные частные производные по всем аргументам. Фиксируя по произволу точку из в силу основного тождества (19), будем иметь для любого

Продифференцируем теперь это равенство по V. левую часть равенства - по правилу дифференцирования сложной функции правую - просто как степенную функцию. Получим

Если положить здесь то придем к следующей формуле:

Таким образом, для любой точки имеет место равенство

Это равенство носит название формулы Эйлера (L. Euler).

Мы видели, что этому равенству удовлетворяет любая однородная функция степени имеющая непрерывные частные производные. Покажем теперь, что и обратно - каждая функция, непрерывная вместе со своими частными производными и удовлетворяющая равенству Эйлера (20), необходимо является однородной функцией степени .

Действительно, пусть будет такой функцией. Фиксируя по произволу значения рассмотрим следующую функцию от t (при ):

Она определена и непрерывна при всех Вычислив ее производную по правилу дифференцирования дроби, получим также дробь, числитель которой равен

Заменив в формуле Эйлера на видим, что этот числитель обращается в нуль, так что (при Чтобы определить постоянную с, положим в равенстве, определяющем Получим что

Итак,

или

Можно сказать, что формула Эйлера в такой же мере характеризует однородную функцию степени как и основное равенство (19).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление