Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

199. Условия отсутствия экстремума.

Квадратичная форма (9) называется неопределенной, если она способна принимать значения противоположных знаков. Такова, например, форма

Действительно, например, ее значение равно при при

Теперь мы можем дополнить доказанное в предыдущем п° предложение следующим образом:

Если квадратичная форма (10) будет неопределенной, то в испытуемой точке заведомо нет экстремума.

Пусть при форма (10) принимает положительное значение:

а при отрицательное:

Положим сначала

что отвечает передвижению вдоль по прямой, соединяющей точки Тогда, вынося в (8) за скобки получаем для этого случая

Первая сумма в скобках есть определенное положительное число, ввиду (13). Что же касается второй суммы, то ее коэффициенты стремятся к 0 при ибо при этом, очевидно, и все Значит, при достаточно малом t, выражение в фигурных скобках (а с ним и вся разность А) становится положительным, т. е. в точках упомянутой выше прямой, достаточно близких к будет

С другой же стороны, если взять

т. е. передвигаться вдоль другой прямой, соединяющей точку с точкой то в ее точках, достаточно близких к (т. е. отвечающих достаточно малому окажется

Этим доказано, что в испытуемой точке не может быть ни максимума, ни минимума.

Может случиться, что форма (9), не будучи способна принимать значения разных знаков, все же не является определенной, ибо обращается в 0 не только при нулевых значениях аргументов: в этом случае форму называют полуопределенной. Это относится, например, к форме:

отрицательных значений она не принимает, но в 0 обращается всякий раз, когда

скажем, при

Случай, когда форма (10) оказывается полуопределенной, есть «сомнительный» случай. В зависимости от поведения высших производных, в этом случае может быть экстремум, может его и не быть. В частности, высшие производные должны быть привлечены и тогда, когда все производные второго порядка в испытуемой точке обращаются в 0.

Исследованием «сомнительного» случая мы заниматься не будем.

Замечание. Для функции одной переменной форма (10) сводится к одному члену

где - испытуемая точка. Эта «форма», очевидно, является определенной - положительной и отрицательной при Таким образом, признак п° 137 есть частный случай изложенного в 198.

Переходя к случаю функции двух переменных, заметим, что и результат п° 197 также содержится в том, что было установлено в 198 и 199. Легко усмотреть, что попутно в 197 было доказано, что форма

в случае, если будет определенной (положительной при и отрицательной при в случае же, если неопределенной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление