Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Неявные функции

205. Понятие неявной функции от одной переменной.

Предположим, что значения двух переменных х и у связаны между собой уравнением, которое, если все члены его перенести налево, в общем случае имеет вид

Здесь есть функция двух переменных, заданная в какой-либо области. Если для каждого значения х - в некотором промежутке - существует одно или несколько значений у, которые совместно с х удовлетворяют уравнению (1), то этим определяется, однозначная или многозначная, функция для которой равенство

имеет место уже тождественно относительно х.

Возьмем, например, уравнение

оно, очевидно, определяет у как двузначную функцию от х в промежутке , именно

И, если вместо у подставить в уравнение (1а) эту функцию, то получится тождество.

Здесь удалось найти для у очень простое аналитическое выражение через х, даже в элементарных функциях. Так обстоит дело далеко не всегда. Если взять уравнение

которое нам уже встречалось [при других лишь обозначениях переменных, 83], то мы знаем, что этим уравнением у определяется как однозначная функция от х, хотя в конечном виде она через элементарные функции и не выражается.

Функция называется неявной, если она задана при посредстве неразрешенного (относительно уравнения (1); она становится явной, если рассматривается непосредственная зависимость у от х. Читателю ясно, что эти термины характеризуют лишь способ задания функции и не имеют отношения к ее природе. [Строго говоря, противопоставление неявного и явного задания функции с полной четкостью возможно лишь, если под явным заданием разуметь явное аналитическое задание; если же, в качестве явного, допускать задание с помощью любого правила [45], то задание функции у от х с помощью уравнения (1) ничем не хуже всякого другого.]

В простейшем случае, когда уравнение (1) - алгебраическое, т. е. когда функция есть целый относительно х и у многочлен, определяемая им неявная функция у от х (вообще многозначная) называется алгебраической. Если степень уравнения (относительно не выше четырех, то алгебраическая функция допускает явное выражение в радикалах, при степени выше четырех такое выражение возможно лишь в виде исключения.

Сейчас нас будет интересовать лишь вопрос о существовании и однозначности теявнот функции (равно как и о других ее свойствах), независимо от возможности представить ее в «явном» виде аналитической формулой. Впрочем, в этой постановке вопрос для нас не нов; с частным случаем его мы имели дело, когда речь шла о существовании и о свойствах обратной функции, и уравнением

переменная х определялась как «неявная» функция от у.

Поучительна геометрическая трактовка указанного вопроса. Уравнение (1), при известных условиях, выражает кривую на плоскости [например, уравнение (1а), как известно, выражает эллипс (рис. 111)]; в этом случае оно называется неявным уравнением кривой. Вопрос заключается в том, может ли кривая (1) (или ее часть) быть выражена обычным уравнением вида с однозначной функцией справа; геометрически это означает, что кривая (или ее часть) пересекается прямой, параллельной оси у, лишь в одной точке.

Если мы желаем иметь однозначную функцию, то как видно на примере того же эллипса, нужно ограничить не только область изменения х, но и область изменения у.

Мы будем говорить, для краткости, что в прямоугольнике уравнение (1) определяет у как однозначную

функцию от х, если при каждом значении х в промежутке уравнение (1) имеет один, и только один, корень у в промежутке

Рис. 111.

Обычно нас будет интересовать определенная точка удовлетворяющая уравнению (1) (лежащая на кривой), и в роли упомянутого прямоугольника будет фигурировать окрестность этой точки. Так, например, в случае эллипса (рис. 111), очевидно, можно утверждать, что уравнение (1а) определяет ординату у как однозначную функцию от абсциссы х в достаточно малой окрестности любой точки эллипса, кроме вершин его на большой оси.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление