Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

206. Существование неявной функции.

Теперь установим условия, обеспечивающие существование однозначной и непрерывной неявной функции.

Теорема I. Предположим, что

1) функция определена и непрерывна в некотором прямоугольнике

с центром в точке ;

2) в этой точке обращается в нуль:

3) при постоянном х функция монотонно возрастает (или монотонно убывает) с возрастанием у.

Тогда

а) в некоторой окрестности точки уравнение (1) определяет у как однозначную функцию от

б) при эта функция принимает значение наконец,

в) функция непрерывна.

Доказательство. Станем передвигаться вдоль вертикали, проходящей через точку (рис. 112), т. е. фиксируем тогда рассматриваемая функция сведется к функции от одной переменной у. В силу 2), она при обращается в 0. В то же время по условию 3) функция возрастает вместе с у, так что для ее значения меньше нуля, а для - больше нуля. В частности, следовательно, она будет иметь значения разных знаков в точках , именно

Перейдем теперь к горизонтальным прямым, проходящим через эти точки , т. е. фиксируем на этот раз

или Получатся две функции от одной переменной которые, как мы видели, при имеют: первая - отрицательное значение, а вторая - положительное. Но по условию 1) эти функции непрерывны , а потому найдется некоторая окрестность точки в которой обе функции сохраняют свой знак [80, лемма], так что при

Рис. 112.

Иными словами, на нижнем и верхнем основаниях исходного прямоугольника вдоль отрезков длины 280 с центрами в точках заданная функция имеет отрицательные значения на первом и положительные - на втором.

Фиксируем в промежутке любое значение и рассмотрим вертикальный отрезок, соединяющий точки . Вдоль него наша функция снова сведется к функции от одной переменной у. Так как она, в силу 1), непрерывна и, как сказано, на концах промежутка имеет значения разных знаков:

то, по теореме Больцано-Коши [80], при некотором значении содержащемся между , эта функция обращается в нуль:

И здесь из условия 3) следует, что при будем иметь, соответственно, так что у есть единственное значение у в промежутке , которое совместно с удовлетворяет уравнению (1). На каждом вертикальном отрезке найдется только одна точка обращающая левую часть уравнения в нуль.

Таким образом, в окрестности

точки уравнение (1), действительно, определяет у как однозначную функцию

В то же время предыдущее рассуждение, ввиду 2), показывает также, что Именно, из того, что усматриваем, что и есть то единственное значение у в промежутке , которое совместно с удовлетворяет уравнению (1).

Остается лишь установить непрерывность функции в промежутке Для точки это получается непосредственно из предыдущего рассуждения, которое приложимо и к любому меньшему прямоугольнику с центром в точке Заменив число А любым числом мы нашли бы, как и выше, такое чтобы для любого х из промежутка соответствующее ему единственное значение у, которое совместно с х удовлетворяет уравнению (1), оказалось именно между и . Таким образом, при имели бы

что и доказывает непрерывность функции в точке

Доказательство для любой точки аналогично доказательству для Точка где удовлетворяет таким же условиям, как и точка ибо Поэтому, как и выше, в окрестности точки уравнением (1) переменная у определяется как однозначная функция от х, непрерывная в точке Но, именно ввиду однозначности, эта функция совпадает с и тем устанавливается непрерывность при

Мы доказали теорему существования неявной функции, не задаваясь вопросом о вычислении ее значений или об ее аналитическом представлении; этим мы займемся в главе XII.

Доказанная теорема, очевидно, является обобщением теоремы п° 83.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление