Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

219. Функции нескольких переменных. Замена независимых переменных.

Перейдем теперь к задаче о преобразовании выражения

содержащего, кроме независимых переменных и функции от них z, также частные производные z по ее аргументам, до определенного порядка.

По тем же мотивам, что и в простейшем случае, рассмотренном выше, и здесь может понадобиться перейти к новым переменным, которые со старыми связаны с помощью формул преобразования. Если обозначить новые независимые переменные через а функцию от них - через то задача состоит в том, чтобы выразить через и через производные от по ее аргументам. Очевидно, достаточно научиться делать это по отношению к старым производным — Для простоты письма мы будем предполагать, что независимых переменных всего две: старые х и у, а новые t и u.

Начнем и здесь с того случая, когда заменяются лишь независимые переменные, и формулы преобразования непосредственно связывают старые переменные х, у с новыми t, u.

Предположим, что формулы преобразования разрешены относительно старых переменных:

Рассматривая z как сложную функцию от t и u через посредство и у, по правилу дифференцирования сложных функций получим:

Таким образом, для определения старых производных мы имеем систему линейных уравнений; отсюда старые производные линейно выразятся через новые

При этом важно отметить, что коэффициенты составляются из производных функций фигурирующих в формулах (8), но вовсе не зависят от z

Это замечание позволяет применить формулы (10) к производным (вместо ). Таким путем, например, для - получится выражение

Применяя (10) к производным второго порядка (вместо можно получить выражения для производных третьего порядка, и т. д.

Если формулы преобразования разрешены относительно новых переменных:

то удобнее прибегнуть к обратному методу, т. е. рассматривать z как сложную функцию от х, у через посредство , и дифференцировать ее по старым переменным. Это сразу приведет нас к формулам типа (10):

На этот раз коэффициенты

будут функциями от x, у, но также не зависят от z.

Применяя повторно формулы (11), можно и здесь получить выражения дальнейших производных. Например,

Наконец, в общем случае, при произвольных формулах преобразования

можно пользовался как прямым, так и обратным методом, вычисляя частные производные

по правилам дифференцирования неявных функций.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление