Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

222. Примеры.

1) Переход к полярным координатам. Пусть z есть функция точки на плоскости Обыкновенно положение точки определяется ее прямоугольными координатами так что z является функцией от переменных х и у. Часто, однако, оказывается более удобным характеризовать положение точки полярными координатами и тогда возникает необходимость преобразования к новым переменным. Проделаем этот переход различными методами.

Прямой метод: независимыми переменными считаются Исходя из формул преобразования

по образцу формул (10) имеем

откуда

так что выражения играют здесь роль коэффициентов Затем,

Аналогично находим

Обратный метод: независимыми переменными считаются х, у. Для того чтобы воспользоваться формулами (11), нужно знать производные

Их можно найти, разрешив предварительно уравнения, связывающие старые переменные с новыми, относительно последних. Но можно воспользоваться методами дифференцирования неявных функций, не разрешая уравнений. Если продифференцировать формулы преобразования по х и по у, считая функциями от х и у, то получим

и

Отсюда

и по формулам (11) - мы возвращаемся к выражению (25), и т. д.

Метод вычисления дифференциалов. Пусть, как и только что, независимыми переменными будут х, у.

Дифференцируем полным образом формулы преобразования

отсюда

так что

что снова приводит к выражениям (25).

Вторичное дифференцирование формул для дает:

Тогда для будем иметь:

откуда для вторых производных получатся те же выражения, что и выше.

Рассмотрим, для примера, выражения

С помощью найденных формул они преобразуются так:

2) Переход к сферическим координатам. В пространстве роль, аналогичную полярным координатам на плоскости, играют так называемые сферические координаты в, с которыми прямоугольные координаты х, у, z связаны с помощью формул

Пусть требуется преобразовать к переменным выражения

где и есть некоторая функция точки в пространстве.

Если преобразование произвести в два приема, полагая сначала (и оставляя z неизменным), а затем (оставляя 0 неизменным), то можно будет воспользоваться результатами примера 1). Например, для второго выражения имеем

Выражение в скобках, на основании того же примера 1), перепишется так:

наконец,

Подставляя все это, окончательно найдем

Аналогично,

3) Показать, что выражения сохраняют свою форму при любом преобразовании прямоугольных координат в прямоугольные же

где коэффициенты с удовлетворяют известным соотношениям

Метод вычисления дифференциалов. Считая х, у, z независимыми переменными, имеем

Тогда

откуда

возводя в квадрат и складывая, в силу (26), получим

Затем,

Выражение есть сумма коэффициентов при с помощью (26) нетрудно установить, что

4) Преобразовать уравнение

к новым переменным t, по формулам

Прямой метод. Считая независимыми переменными t, будем иметь

Отсюда

Далее,

и т. д. Сложив все подобные выражения (и отбросив числовой множитель), получим преобразованное уравнение в виде

До сих пор заменялись лишь независимые переменные; приведем примеры, где замене подвергается и функция.

5) Преобразовать уравнение полагая

Прямой метод. Независимые переменные: . Дифференцируем третью из формул преобразования по t и по и, рассматривая переменные z и как функции от t, и (первую - через посредство

Отсюда

Преобразованное уравнение после сокращения будет иметь вид:

Решим ту же задачу иначе.

Обратный метод. Выразим из формул преобразования новые переменные через старые:

и будем считать независимыми переменными х, у. Дифференцируя третью формулу по х и по зависит от них через посредство , найдем:

или

6) Выражение

преобразовать к переменным

Метод вычисления дифференциалов. Независимые переменные: х, у. Дифференцируем формулы преобразования:

Если рассматривать, как функцию от х, у через посредство t, и, то дифференциал напишется так:

Сопоставляя два выражения для находим

Составим теперь вторые дифференциалы от новых переменных:

С другой стороны,

Приравнивая оба выражения для и заменяя полученным выше его выражением, придем к равенству, из которого определится

Отсюда можно определить производные — как коэффициенты при Но нужный нам результат можно получить проще, заметив, что переходит в если взять Таким путем находим:

7) Преобразование Лежандра. Наподобие 5), 218 мы и здесь приведем преобразование Лежандра как пример более общего преобразования, когда уже формулы, связывающие старые и новые переменные, содержат производные. Положим

Разумея под z некоторую определенную функцию от будем предполагать ее такой, что

Дифференцируя третью из формул преобразования по х и по у (причем рассматриваем как функцию от х, у через посредство , получим

откуда

т. e. преобразование имеет взаимный характер.

Дифференцируя первые две из полученных формул (28) сначала по х, а затем по у, придем к уравнениям

и

Так как [203 (4)]

то из этих уравнений

Если x, у, z и t, u, v трактовать как координаты некоторых точек пространства, то преобразование Лежандра можно рассматривать как преобразование пространства (но не точечное). Поверхность, характеризуемая зависимостью между z и переходит при этом в поверхность, определяемую зависимостью между . Так как — зависят только от то преобразование Лежандра сохраняет касание.

8) Легко обобщить преобразование Лежандра на случай пространства любого числа измерений. Пусть, скажем, z есть функция от Положим

здесь есть новая функция от новых переменных

Будем предполагать и здесь определитель

отличным от нуля.

Продифференцируем формулу, определяющую по (рассматривая при этом как функцию от через посредство

Ввиду , отсюда следует

Таким образом, и

так что в общем случае преобразование также имеет взаимный характер.

9) Наконец, рассмотрим еще один пример преобразования, представляющий некоторое своеобразие. Пусть

будет функция от переменных, однородная 2-й степени относительно переменных Предполагая определитель

отличным от нуля, положим

и введем в качестве новых независимых переменных вместо . Тогда функция преобразуется в некоторую функцию

Доказать, что

Дифференцируя по рассматривая как функцию от через посредство

С другой стороны, производная будет однородной функцией первой степени относительно переменных Тогда по формуле Эйлера [188]

Сопоставляя полученные два разложения для ввиду О, заключаем о справедливости соотношений (а).

Дифференцируя же по получим

Но очевидно, однородная функция второй степени относительно Снова применяя формулу Эйлера, видим, что последняя сумма дает нам

Отсюда и следуют соотношения (б).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление