Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

227. Поверхности и кривые в пространстве.

Мы не предполагаем здесь углубляться в приложения дифференциального исчисления к геометрии в пространстве, оставляя эти вопросы для специального курса дифференциальной геометрии. Поэтому в отношении пространственных образов мы ограничимся лишь тем, что необходимо для дальнейших частей самого курса анализа.

Как и выше (напомним это еще раз), все рассматриваемые функции будем предполагать непрерывными и имеющими непрерывные производные по своим аргументам.

Будем исходить из прямоугольной системы координатных осей Нам приходилось уже говорить о том, что поверхность в пространстве может бьггь выражена уравнением между текущими координатами вида

[см., например, 160]. Такое уравнение, равно как и аналогичные ему мы будем называть явным уравнением поверхности.

К этому простейшему случаю, в известном смысле, сводятся и другие способы задания поверхности.

Часто случается, что поверхность выражается уравнением вида

не разрешенным относительно той или иной координаты (неявное задание). Если в точке ему удовлетворяющей, хоть одна из частных производных отлична от 0, то в окрестности этой точки поверхность представима явным уравнением того или иного типа. Действительно, если, например то по теореме III п° 208, по крайней мере в окрестности рассматриваемой точки, уравнение определяет z, как однозначную функцию от (и притом - непрерывную вместе со своими производными по обоим аргументам).

Таким образом, исключение может представиться лишь в особой точке поверхности, удовлетворяющей сразу трем условиям:

Уравнение

не содержащее вовсе одной из координат, также может быть истолковано как уравнение поверхности. Именно, на плоскости ху оно выражает кривую; если на ней, как на направляющей, построить цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси z, то все точки этой поверхности, и только они, будут удовлетворять рассматриваемому уравнению (поскольку z в него не входит и ничем не стеснено).

Аналогично истолковываются уравнения вида или

Обратимся теперь к кривым в пространстве. Простейшим способом задания кривой в пространстве является тот, когда две текущие координаты, например, у и z, задаются в виде функций от третьей, х:

Подобный способ есть естественный аналог явного задания кривой на плоскости. И здесь уравнения указанного типа можно было бы называть явными уравнениями кривой.

Как и в случае плоской кривой, к явному заданию в основном, сводятся и другие аналитические представления пространственной кривой.

Каждое из уравнений (9) может быть истолковано либо как уравнение проекции нашей кривой на координатную плоскость, соответственно, ху или xz, либо как уравнение проектирующего цилиндра [см. (8)] с образующими, параллельными, соответственно, оси z или оси у.

Более общий способ задания пространственной кривой состоит в том, чтобы рассматривать ее как пересечение двух поверхностей вообще. Если эти поверхности выражаются каждая одним из нижеследующих уравнений

то совокупность обоих уравнений дает аналитическое представление кривой пересечения. Уравнения (10) называют неявными уравнениями кривой.

Составим матрицу из частных производных от функций

Пусть какой-нибудь из определителей этой матрицы, например,

отличен от 0 в рассматриваемой точке. Тогда на основании теоремы IV п° 208 в окрестности этой точки уравнения (10) могут быть заменены уравнениями типа (9) (причем фигурирующие в этих уравнениях функции снова оказываются непрерывными вместе со своими производными).

Таким образом, возможность сведения к простейшему способу задания перестает быть обеспеченной лишь в окрестности такой точки кривой (ее называют особой), где все три определителя матрицы (11) одновременно обращаются в нуль.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление