Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

23. Предел варианты.

Читатель из школьного курса также знаком уже с этим понятием. Вот точное его определение:

Постоянное число а называется пределом варианты если для каждого положительного числа сколь бы мало оно ни было, существует такой номер что все значения которых номер удовлетворяют неравенству

Тот факт, что а является пределом варианты, записывают так:

(lim есть сокращение латинского слова limes, означающего «предел»). Говорят также, что переменная стремится и пишут

Иной раз число а называется пределом последовательности (2), и говорят, что эта последовательность сходится То же определение коротко может быть сформулировано так: Число а есть предел варианты если ее значения отличаются от а сколь угодно мало, начиная с некоторого места.

Неравенство (3), где произвольно, и есть точная запись утверждения, что от а «отличается сколь угодно мало», а номер как раз и указывает то «место, начиная с которого» это обстоятельство осуществляется.

Важно дать себе отчет в том, что номер вообще говоря, может быть указан раз навсегда: он зависит от выбора числа е. Для того чтобы подчеркнуть это, мы иной раз вместо будем писать При уменьшении числа соответствующий номер вообще говоря, увеличивается: чем большей близости значений варианты к а мы требуем, тем более далекие значения ее - в ряду (2) - приходится рассматривать.

Исключение представляет тот случай, когда все значения варианты равны постоянному числу а. Очевидно, что тогда но на этот раз неравенство (3) будет выполняться для любого одновременно при всех значениях

Неравенство (3), как мы знаем [17], равносильно следующим:

или

этим мы часто будем пользоваться впоследствии.

Если изобразить числа и значения нашей варианты точками на числовой оси [21] (рис. 2), то получится наглядное геометрическое истолкование предела варианты.

Рис. 2.

Какой бы малый отрезок (длины 2е) с центром в точке а ни взять, все точки начиная с некоторой из них, должны попасть внутрь этого отрезка (так что вне его может остаться разве лишь конечное число этих точек). Точка, изображающая предел а, является как бы средоточием сгустка точек, изображающих значения варианты.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление