Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

244. Другой подход к соприкасающимся кривым.

Пусть даны кривая и семейство кривых (19) с параметрами. Возьмем на кривой произвольные точек с абсциссами Для того чтобы кривая семейства через эти точки проходила, должны выполняться условий:

Обычно отсюда значения параметров определяются однозначно; обозначим их через

Предположим теперь, что когда взятые точек по произвольному закону стремятся к некоторой определенной точке кривой с абсциссой то и значения параметров стремятся к определенным пределам Можно считать, что проходящая через упомянутые точки кривая семейства, перемещаясь или деформируясь, стремится к предельной кривой.

Для того чтобы ее найти, станем рассуждать так. Функция от

обращается в 0 для значений Тогда, по теореме Ролля [111], первая производная обратится в 0 для значений вторая - для значений: - для двух значений: и, наконец, для некоторого значения при этом все упомянутые значения лежат между

Таким образом, имеет место равенств:

Если теперь одновременно и, очевидно, также Переходя к пределу в написанных вьппе равенствах, мы вернемся к уже знакомой нам системе (20), определявшей соприкасающуюся кривую.

Итак, если существует предельное положение для кривой семейства, проходящей через точек данной кривой, то эта предельная кривая и будет соприкасающейся.

В связи с этим иногда говорят (не слишком строго, но образно), что соприкасающаяся кривая - из семейства с параметрами - есть «кривая, проходящая через бесконечно близких точек» данной кривой. В частности, касательная проходит через две бесконечно близкие точки кривой, а соприкасающийся круг - через три.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление