Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги.

До сих пор мы рассматривали общий случай непрерывной простой кривой (1). Желая дать удобные достаточные условия ее спрямляемости и изучить дальнейшие свойства длины дуги, мы вернемся к обычным в этой главе предположениям о существовании непрерывных производных Докажем, что при сделанных предположениях кривая (1) спрямляема.

Рассмотрим ломаную с вершинами в точках (2), определяемых значениями параметра (3). Координатами точки будут

Тогда периметр ломаной запишется так:

Но по формуле конечных приращений [112]

так что, окончательно,

Если через обозначить, соответственно, наибольшие значения функций в промежутке , то из (7) нетрудно получить оценку:

Множество оказывается ограниченным сверху, значит, кривая имеет конечную длину , т. е. спрямляема, что и требовалось доказать.

Так как то из (8) попутно получаем и оценку для S сверху:

которая нам сейчас понадобится. Впрочем, нам нужна будет и оценка снизу; если ввести наименьшие значения и Т функций в промежутке то из (7), аналогично (8), найдем, что

а тогда тем более

Если изменить ним вместе и положение точки на кривой, то длина переменной дуги окажется функцией от параметра мы будем обозначать ее через

Придадим переменной t положительное приращение точка М переместится вдоль по кривой, по направлению к В, в положение М (рис. 151). Величина S получит положительное же приращение равное длине дуги (по аддитивности длины дуги, доказанной в предыдущем п°). Таким образом, функция оказывается возрастающей.

Рис. 151.

Рассмотрим теперь, вместо промежутка , промежуток и применим к дуге длины оценки (9) и (9:

но здесь под мы вправе разуметь наименьшее и наибольшее значения функции уже в промежутке Отсюда

и, так как - по непрерывности производных - при оба числа а оба числа то оба корня в предшествующем неравенстве стремятся к общему пределу

Следовательно, к тому же пределу стремится и отношение как легко видеть, это справедливо и для Итак, имеем окончательно: длина переменной дуги оказывается дифференцируемой функцией от параметра ее производная по параметру выражается формулой:

или, короче,

Если возвести это равенство в квадрат и умножить почленно на то получим замечательную по простоте формулу

которая к тому же обладает геометрической наглядностью. На рис. 152 в (криволинейном) прямоугольном треугольнике «катетами» служат приращения координат точки а «гипотенузой» - дуга , которая является приращением дуги Оказывается, что если не для самих приращений, то для их главных частей - дифференциалов - имеет место своеобразная «теорема Пифагора».

Рис. 152.

Полезно отметить частные случаи важной формулы (10), отвечающие различным частным типам задания кривой. Так, если кривая задана явным уравнением в декартовых координатах то в роли «параметра» оказывается х, дуга s зависит от и формула (10) принимает вид

Если же кривая задана полярным уравнением то это, как мы знаем, равносильно заданию ее параметрическими уравнениями

где параметром будет в; дуга на этот раз будет функцией от Так как, очевидно,

то

и формула (10) преобразуется так:

Часто представляется удобным взять в качестве начальной точки А для отсчета дуг не один из концов дуги, а какую-либо внутреннюю точку ее. В этом случае естественно дуги, откладываемые от нее в направлении возрастания параметра, считать положительными, а в другом - отрицательными и, соответственно этому, длину дуги в первом случае снабжать знаком плюс, а во втором - знаком минус. Вот эту величину s дуги со знаком мы для краткости будем называть просто дугой. Формулы (10), (11), (10а), (106) имеют место во всех случаях.

[Заметим, что если положительное направление для отсчета дуг выбирать не в сторону возрастания периметра, как это делается

обычно, а в сторону его убывания, то в формулах (10), (10а), (106) пришлось бы перед радикалом поставить знак минус.]

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление