Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Кривизна плоской кривой

250. Понятие кривизны.

Пусть снова дана простая кривая

где на этот раз функции предполагаются непрерывными вместе со своими производными первого и второго порядка. Рассмотрим дугу этой кривой, без особых точек.

Если в каждой ее точке провести касательную (скажем, в положительном направлении), то вследствие «искривленности» кривой эта касательная с перемещением точки касания будет вращаться; этим кривая существенно отличается от прямой, для которой касательная (совпадающая с ней) сохраняет одно и то же направление для всех точек.

Рис. 154.

Важным элементом, характеризующим течение кривой, является «степень искривленности» или «кривизна» ее в различных точках; эту кривизну можно выразить числом.

Пусть (рис. 154) есть дуга кривой; рассмотрим касательные проведенные (в положительном направлении) в конечных точках этой дуги.

Естественно кривизну кривой характеризовать углом поворота касательной, рассчитанным на единицу длины дуги, т. е. отношением где угол со измеряется в радианах, а длина а - в выбранных единицах длины. Это отношение называют средней кривизной дуги кривой.

На различных участках кривой средняя кривизна ее будет, вообще говоря, различной. Существует впрочем (единственная) кривая, для которой средняя кривизна везде одинакова: это окружность. Действительно, для нее имеем (рис. 155)

о какой бы дуге окружности ни шла речь.

От понятия средней кривизны дуги перейдем к понятию кривизны в точке.

Кривизной кривой в точке М называется предел, к которому стремится средняя кривизна дуги когда точка вдоль по кривой стремится к М.

Обозначив кривизну кривой в данной точке буквой к, будем иметь

Для окружности, очевидно, т. е. кривизна окружности есть величина, обратная радиусу окружности.

Рис. 155.

Рис. 156.

Замечание. Понятия средней кривизны и кривизны в данной точке совершенно аналогичны понятиям средней скорости и скорости в данный момент для движущейся точки. Можно сказать, что средняя кривизна характеризует среднюю скорость изменения направления касательной на некоторой дуге, а кривизна в точке - истинную скорость изменения этого направления, приуроченную к данной точке.

Обратимся теперь к выводу аналитического выражения для кривизны, по которому ее можно было бы вычислять исходя из параметрического задания кривой.

Предположим сначала, что в роли параметра фигурирует дуга. Как мы знаем [249], такое представление всегда осуществимо, если ограничиться дугой кривой, где нет особых точек.

Возьмем на этом участке кривой точку М (заведомо не особую), и пусть ей отвечает значение s дуги. Придав s произвольное приращение получим другую точку (рис. 156). Приращение угла наклона касательной при переходе от М к даст угол со между обеими касательными:

Так как то средняя кривизна будет равна

Устремив к нулю, для кривизны кривой в точке М получим выражение

Важно отметить, впрочем, что эта формула верна лишь с точностью до знака, так как кривизна, по нашему определению, есть число неотрицательное, а справа может получиться и отрицательный результат.

Дело в том, что как так и могут быть отрицательными, так что, строго говоря, следовало бы писать: и, наконец,

Это замечание следует иметь в виду и впредь.

Для того чтобы придать формуле (2) вид, удобный для непосредственного вычисления (а вместе с тем установить самое существование кривизны), обратимся к произвольному параметрическому заданию кривой (1).

Так как рассматриваемая точка не является особой, и то без умаления общности, можно считать, что именно

Перепишем теперь формулу (2) иначе:

Но (10)], остается лишь найти Так как [106 (11)]

то

Подставив в (3) значения и x, придем к окончательной формуле:

Эта формула вполне пригодна для вычисления, ибо все фигурирующие в ней производные легко вычисляются по параметрическим уравнениям кривой.

Если кривая задана явным уравнением то эта формула принимает вид

Наконец, если дано полярное уравнение кривой: то, как обычно, можно перейти к параметрическому представлению в прямоугольных координатах, принимая за параметр . Тогда с помощью (5) получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление