Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

31. Неопределенные выражения.

В предыдущем мы рассматривали выражения

и, в предположении, что варианты стремятся к конечным пределам (из которых, в случае частного, предел не должен был равняться нулю), устанавливали пределы каждого из этих выражений.

Оставлены были без рассмотрения случаи, когда пределы переменных (один или оба) бесконечны или - если речь идет о частном - когда предел знаменателя нуль. Из этих случаев мы здесь остановимся лишь на четырех, представляющих некоторую важную и интересную особенность.

1°. Рассмотрим сначала частное — и предположим, что обе переменные и одновременно стремятся к нулю. Здесь мы впервые сталкиваемся с совсем особым обстоятельством: хотя нам известны пределы , но о пределе их отношения не зная самих этих вариант - никакого общего утверждения мы сделать не можем. Этот предел, в зависимости от частного закона изменения обеих переменных, может иметь различные значения или даже вовсе не существовать. Следующие простые примеры поясняют это.

Пусть, скажем, обе варианты стремятся к нулю. Их отношение также стремится к нулю. Если же, наоборот, положить то хотя они по-прежнему стремятся к нулю, на этот раз их отношение стремится к Взяв же любое отличное от нуля число а и построив две бесконечно малые видим, что отношение их имеет пределом а (так как тождественно равно а).

Наконец, если (обе имеют пределом нуль), то отношение оказывается вовсе не имеющим предела.

Таким образом, одно знание пределов вариант в данном случае не позволяет еще судить о поведении их отношения: необходимо знать сами варианты, т. е. закон их изменения, и непосредственно исследовать отношение Для того, чтобы характеризовать эту особенность, говорят, что когда выражение представляет неопределенность вида

2°. В случае, когда одновременно имеет место подобное же обстоятельство. Не зная самих вариант, общего утверждения о поведении их отношения сделать нельзя. Этот факт иллюстрируется примерами, вполне аналогичными приведённым в

вовсе не имеет предела.

И в этом случае говорят, что выражение — представляет неопределенность - вида —

Обратимся к рассмотрению произведения Если стремится к нулю, в то время как стремится то, исследуя поведение произведения хпуп, мы сталкиваемся с такой же особенностью, как и в пунктах 1° и 2°. Об этом свидетельствуют примеры:

вовсе не имеет предела.

В связи с этим при говорят, что выражение хпуп представляет неопределенность вида

Рассмотрим, наконец, сумму

4° Здесь оказывается особым случай, когда стремятся к бесконечности разных знаков: именно в этом случае о сумме ничего определенного сказать нельзя, не зная самих вариант Различные возможности, представляющиеся здесь, иллюстрируются примерами:

вовсе не имеет предела.

Ввиду этого, при , говорят, что выражение представляет неопределенность вида

Таким образом, поставив себе задачей - определить пределы арифметических выражений (2) по пределам вариант из которых они составлены, мы нашли четыре случая, когда этого сделать нельзя: неопределенности вида

В этих случаях приходится, учитывая закон изменения вариант непосредственно исследовать интересующее нас выражение. Подобное исследование получило название раскрытие неопределенности. Далеко не всегда оно так просто, как в приведенных выше схематических примерах. Ниже мы укажем несколько более интересных примеров этого рода.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление