Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

38. Лемма о вложенных промежутках.

В заключение этого параграфа, посвященного монотонной варианте, остановимся на сопоставлении двух таких вариант, изменяющихся «навстречу» одна другой:

Пусть даны монотонно возрастающая варианта и монотонно убывающая варианта причем всегда

Если их разность стремится к 0, то обе варианты имеют общий конечный предел:

Действительно, при всех значениях имеем: а значит, ввиду (8), и Возрастающая переменная оказывается ограниченной сверху, следовательно, она имеет конечный предел

Аналогично, для убывающей переменной будем иметь

так что и она стремится к конечному пределу

Но, по теореме 1°, 30, разность обоих пределов

т. е. по условию равна 0, так что это и требовалось доказать.

Доказанному утверждению можно придать другую форму, в которой оно чаще применяется.

Назовем промежутком (где множество всех чисел (или, как говорят, «точек») х, удовлетворяющих неравенствам

Числа («точки») а и называются, соответственно, левым и правым концами промежутка, а их разность - длиной

промежутка. Нетрудно видеть, что на числовой оси промежутку отвечает отрезок (той же длины).

Условимся говорить, что промежуток содержится в промежутке или вложен в него, если все точки первого промежутка принадлежат второму или, что то же самое, если

Геометрический смысл этого ясен.

Пусть имеется бесконечная последовательность вложенных один в другой промежутков

так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 с возрастанием

Тогда концы промежутков (с разных сторон) стремятся к общему пределу

который представляет единственную точку, общую всем промежуткам.

Это есть лишь перефразировка доказанной выше теоремы: согласно условию,

так что левый конец и правый конец промежутка играют здесь роль монотонных вариант

Так как стремится к с возрастая, а - убывая, то

т. е. точка с, действительно, принадлежит всем нашим промежуткам. В то же время другой, отличной от с, точки с тем же свойством быть не может, ибо иначе мы имели бы

и длина промежутка не могла бы стремиться к 0.

Впоследствии нам не раз придется опираться на это предложение, которое мы будем называть «леммой о вложенных промежутках».

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление