Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Умножение и деление рациональных чисел.

Третья группа свойств связана с умножением, т. е. с операцией нахождения произведения двух чисел. Для каждой пары чисел а и существует (единственное) число, называемое произведением а и (его обозначают а или просто Это понятие обладает свойствами:

(переместительное свойство умножения),

III 2° () (сочетательное свойство умножения).

Особая роль единицы характеризуется свойством:

кроме того,

III 4° для каждого числа а, отличного от 0, существует число (обратное ему), такое, что 1.

Вопрос о делении, как о действии, обратном умножению, решается на основе свойств умножения так же, как выше был решен вопрос о вычитании на основе свойств сложения. Обратное число здесь будет играть ту же роль, какую там играло симметричное число.

Назовем частным чисел а и (где делитель b всегда предполагается отличным от 0) такое число с, что

Этому определению можно удовлетворить, положив гак как [III 2°, 1°, 4°,

Обратно, если число с удовлетворяет определению частного чисел а и так что то, умножив обе части этого равенства на и преобразуя левую часть [III 2°, 4°,

получим, что

Таким образом, доказаны существование и однозначность частного чисел а к (при условии, что ); обозначают его а или

Из однозначности частного выводим, что, кроме числа 1, нет числа, которое обладало бы свойством, аналогичным III 3°. Затем отсюда, как и выше, вытекает единственность обратного числа (как частного 1 и а); кроме того, легко устанавливается, что числа а и являются взаимно обратными.

Следующее свойство связывает оба основных арифметических действия - умножение и сложение:

III 5° (распределительное свойство умножения относительно суммы).

Отсюда легко вывести и распределительное свойство умножения относительно разности:

По определению разности, это прямо следует из того, что

Применим еще свойство III 5° к доказательству того, что

В самом деле [II 3°]

откуда следует а также [III 1°] .

Обратно, если , то необходимо Действительно, но одновременно и как , а частное единственно.

Наконец, укажем свойство, связывающее знак знаком произведения:

III 6° из следует

На этом основывается почленное перемножение неравенств с положительными членами. Отсюда же получается, что при а также и

Заметим, что это следует из того, что

Теперь нетрудно видеть, что, если так что то

то же будет при а Если же то

Таким образом, мы полностью восстановили известное правило знаков при умножении, которое является логическим следствием перечисленных свойств рациональных чисел. Иными словами, правило знаков принудительно навязывается нам, если мы хотим соблюдения упомянутых свойств. То же можно сказать (как это выяснено выше) и относительно правила умножения на 0.

Имея в своем распоряжении свойства сложения и умножения, мы теперь могли бы доказать то свойство плотности области рациональных чисел, которое мы сформулировали выше в числе основных свойств Именно, с помощью их можно показать, например, что из следует

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление