Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры.

Главным предметом изучения в математическом анализе является, однако, не изменение одной переменной самой по себе, а зависимость между двумя или несколькими переменными при их совместном изменении. Здесь мы ограничимся простейшим случаем двух переменных.

В различных областях науки и жизни - в самой математике, в физике, в технике - читатель не раз встречал такие совместно изменяющиеся переменные. Они не могут одновременно принимать любую пару значений (из своих областей изменения): если одной из них (независимой переменной) придано конкретное значение, то этим уже определяется и значение другой (зависимой переменной или функции). Приведем несколько примеров.

1) Площадь круга есть функция от его радиуса ее значение может быть вычислено по заданному значению радиуса с помощью известной формулы:

2) В случае свободного падения тяжелой материальной точки при отсутствии сопротивления - время t (сек.), отсчитываемое от начала движения, и пройденный за это время путь связаны уравнением:

где есть ускорение силы тяжести. Отсюда и определяется значение соответствующее взятому моменту t: путь s является функцией от протекшего времени

3) Рассмотрим некоторую массу (идеального) газа, содержащуюся под поршнем цилиндра. В предположении, что температура сохраняется неизменной, объем и давление (атм) этой массы газа подчиняются закону Бойля-Мариотта:

Если произвольно изменять V, то как функция от V будет всякий раз однозначно определяться по формуле

4) Наконец, остановимся ещё на зависимости давления воздуха (атм) от высоты места над уровнем моря. В физике выводится барометрическая формула:

где - давление на уровне моря, а k - некоторая постоянная. По этой формуле значение , как функции от и определяется, лишь только задано значение

Заметим тут же, что самый выбор независимой переменной из числа двух рассматриваемых иногда бывает безразличен или связан с соображениями простого удобства. В большинстве же случаев он диктуется целенаправленностью производимого исследования.

Например, если - в последнем примере - связь между давлением и высотой используется для того, чтобы дать возможность лётчику по наблюдаемому давлению судить о достигнутой высоте, то естественно обменять роли переменных и барометрическую формулу представить в виде

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление