Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

56. Примеры.

1) Обобщая примеры 1) и 2), 32, исследуем поведение многочлена

а затем - и частного двух таких многочленов

при

Путем преобразования

легко установить, что

причем знак предела при к четном определяется лишь знаком а при к нечетном - зависит еще и от знака х.

2) Аналогично находим, что

в зависимости от того, будет ли или Знак предела (в первом случае) устанавливается по знакам а также (при нечетном) - по знаку х.

3) Докажем для любого положительного рационального показателя формулу

Начнем с простейшего случая, когда показатель есть натуральное число: По биному Ньютона

так как при все члены в последней сумме, кроме первого, стремятся к 0, то, действительно, имеем

Пусть теперь (где — натуральное), и рассмотрим выражение

Положим X

Так как (считая

так что, вместе с . А тогда, по предыдущему случаю,

Наконец, общий случай исчерпывается введением той же вспомогательной переменной у:

откуда

4) Найти предел

С помощью той же подстановки преобразуем рассматриваемое выражение к виду

откуда сразу ясно, что искомый предел равен -

5) Предел [54, 7)]

часто используется для нахождения других пределов.

Очевидно,

так как выражение в скобках стремится к 1, то общий предел и будет —

И здесь преобразование легко приводит к уже изученным пределам:

Заметим, что при как это вытекает, например, из предыдущего результата (а).

Здесь удобнее перейти к переменкой очевидно Имеем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление