Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

58. Общий признак Больцано—Коши.

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая - функции заданной в области для которой а служит точкой сгущения. Для существования конечного предела этой функции при стремлении х к а может быть установлен такой же признак, как и в случае варианты [39]. Формулировку его мы дадим параллельно для случая конечного а и для случая

Теорема. Для того чтобы функция при стремлении х к а имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовало такое число чтобы неравенство

выполнялось, лишь только

Доказательство проведем в предположении, что а - конечное число.

Необходимость. Пусть существует конечный предел

Тогда по заданному найдется такое что

если только Пусть и так что и

Отсюда получаем

в предположении, что одновременно

Достаточность может быть установлена с помощью рассуждений, вполне аналогичных тем, которые были применены в случае варианты [39]. Проще, однако, не повторяя этих рассуждений, попросту свести вопрос к уже рассмотренному случаю. Путь для этого нам открывает второе определение понятия предела функции «на языке последовательностей

Итак, пусть условие, сформулированное в теореме, выполнено, и по произвольно взятому установлено соответствующее

Если есть любая последовательность значений х из X, сходящаяся к а, то, по определению предела последовательности, найдется такой номер что для будет: Возьмем, наряду с и другой номер так что одновременно

Тогда, в силу самого выбора числа

Это неравенство, таким образом, выполняется при единственном требовании, чтобы оба номера пил были Это означает, что для варианты выполняется условие 39 и, следовательно, последовательность

имеет конечный предел.

Мы видели в 53 (см. замечание в конце), что этого уже достаточно, чтобы последний предел был одним и тем же, как бы ни выбирать последовательность сходящуюся к а; этот предел и будет пределом функции, существование которого надлежало доказать.

[Легко вывести достаточность высказанного условия и из теоремы Больцано-Вейерштрасса - наподобие того, как это сделано для варианты в конце 41.]

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление